武汉市届高中毕业生二月调研测试理科数学试题及答案.docx
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武汉市届高中毕业生二月调研测试理科数学试题及答案
武汉市2018届二月调研测试理科数学全解全析
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.
1.已知复数满足,则()
A.B.C.D.
2.已知集合,,则()
A.B.
C.D.
3.在等差数列中,前项和满足,则()
A.7B.9C.14D.18
4.根据如下程序框图,运行相应程序,则输出的值为()
A.3B.4C.5D.6
5.某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为()
A.B.C.D.
6.已知不过原点的直线交抛物线于,两点,若,的斜率分别为,,则的斜率为()
A.3B.2C.-2D.-3
7.已知函数的最大值为2,且满足,则()
A.B.C.或D.或
8.将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中,每个小盒中至少有1个小球,那么甲盒中恰好有3个小球的概率为()
A.B.C.D.
9.已知平面向量,,满足,,,,则的最大值为()
A.-1B.-2C.D.
10.已知实数,满足约束条件,若不等式恒成立,则实数的最大值为()
A.B.C.D.
11.已知函数,若在恒成立,则实数的取值范围为()
A.B.C.D.
12.已知直线与曲线相交,交点依次为,,,且,则直线的方程为()
A.B.C.D.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.在的展开式中,的系数为.
14.已知是等比数列的前项和,,,成等差数列,,则.
15.过圆:
外一点作两条互相垂直的直线和分别交圆于、和、点,则四边形面积的最大值为.
16.已知正四面体中,,,分别在棱,,上,若,且,,则四面体的体积为.
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分.
17.在中,角,,的对边分别为,,,且满足.
(1)求角;
(2)若,,求边的长.
18.如图,在四棱锥中,,底面为平行四边形,,,,.
(1)求的长;
(2)求二面角的余弦值.
19.从某工厂的一个车间抽取某种产品50件,产品尺寸(单位:
)落在各个小组的频数分布如下表:
数据分组
频数
3
8
9
12
10
5
3
(1)根据频数分布表,求该产品尺寸落在的概率;
(2)求这50件产品尺寸的样本平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)根据频数分布对应的直方图,可以认为这种产品尺寸服从正态分布,其中近似为样本平均值,近似为样本方差,经计算得.利用该正态分布,求.
附:
(1)若随机变量服从正态分布,则
,;
(2).
20.已知、为椭圆:
的左、右顶点,,且离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点为直线上任意一点,,交椭圆于,两点,求四边形面积的最大值.
21.已知函数,其中为常数.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)当时,求的最大值.
(二)选考题:
共10分.请考生在22,23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数),直线与曲线交于,两点.
(1)求的值;
(2)若为曲线的左焦点,求的值.
23.已知函数,,.
(1)若,求不等式的解集;
(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
武汉市2018届高中毕业生二月调研测试
理科数学参考答案及评分细则
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
B
D
D
C
C
D
A
C
B
二、填空题
13.2114.215.16.
5.
截面将长方体一分为二得到半个长方体,从下面半个长方体中再截去三棱锥
得到所求几何体,故几何体体积为
6.设,则
由
即
7.的最大值为
所以
因为,所以对称轴为
,因为,所以或
8.将7个相同的小球投入4个盒子中,每个小盒至少有1个球的方法数为
其中甲盒中恰有3个小球,其余每个小盒放入1个小球,剩余1个小球可放入乙丙丁中的任何一个盒子中
此时有3种方法,故所求概率为
9.不妨设,则,,
所以,
所以
10.
令,令
则
易知,所以,,所以
12.因为是由函数先向右平移个单位,再向上平移个单位得到,而函数是奇函数,对称中心为,所以函数对称中心为,由可知为对称中心,故,不妨设
则由
即,令,则
即
所以,所以
当时,,,又过,所以直线方程为
当时,,又过直线方程为
综上,方程为
13.,所以的系数为
14.已知是等比数列的前项和,,,成等差数列,,则.
显然,由
所以,
,所以
15.
即,注意到,
根据柯西不等式得
代入,所以,即面积的最大值为
16.不妨设,则由余弦定理得
观察可知是方程的两个根,则
易知若正四面体的棱长为,则高,所以到平面的距离为
所以四面体的体积
三、解答题
17.解:
(1)由及正弦定理可知:
,
而,.
(2)由余弦定理可得:
,,.
18.解:
(1)过作于垂足,..
过点在平面内作交于,建立以为坐标交点.为轴,为轴,为轴的空间直角坐标系.,,,,
,,,,,,
,所求之长为.
(2)设平面的法向量,而,,
由及可知:
,取,则,,
.设平面的法向量,,,
由得,可取.
设二面角的平面角为..
二面角的余弦值为.
19.解:
(1)根据频数分布表可知,产品尺寸落在内的概率.
(2)样本平均数
.
(3)依题意.
而,,则..
..即为所求.
20.解:
(1)依题意,则,又,.
椭圆方程为:
.
(2)设,(不妨设),则直线方程:
,直线方程.
设,,由得,
则,则,于是.
由,得,则,
则,于是,
.
设,则,,
在递减,故.
21.解:
(1)对求导数得到:
,.
①时,即时,
或时,,单增.
时,,单减.
②时,即时,.在上单增.
③时,即时,
或时,,在,上单增.
时,.在上单减.
(2),
在上最大值等价于在上最大值,
记为.
.
由
(1)可知时,在上单减,,
,从而在上单减.,在上单增.
,的最大值为.
22.解:
(1)由(为参数),消去参数得:
.
由消去参数得:
.
将代入中得:
.
设,,则.
.值为.
(2)
.
23.解:
(1)在时,.
.
①在时,恒成立..
②在时,,即,即或.
综合可知:
.
③在时,,则或,综合可知:
.
由①②③可知:
.
(2)在时,,取大值为.
要使,故只需.则..
在时,,最大值为.
要使,故只需..从而.
综合以上讨论可知:
.
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