全国区级联考北京市东城区学年高二下学期期末教学统一检测数学理试题.docx
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全国区级联考北京市东城区学年高二下学期期末教学统一检测数学理试题
绝密★启用前
【全国区级联考】北京市东城区2016-2017学年高二下学期期末教学统一检测数学理试题
考试范围:
xxx;考试时间:
120分钟;命题人:
xxx
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项.
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
评卷人
得分
一、选择题(题型注释)
1、复数,则在复平面内对应的点所在象限为
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】复数在复平面内对应的点为,则在复平面内对应的点所在象限在第二象限,选
2、直线(为参数)的斜率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】削去参数得:
,直线的斜率为 ,选A.
3、在的展开式中,的系数为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ,令 ,则 ,的系数为,选A.
4、一名老师和四名学生站成一排照相,学生请老师站在正中间,则不同的站法为
A.4种 B.12种 C.24种 D.120种
【答案】C
【解析】一名老师和四名学生站成一排照相,老师站在正中间,则不同的站法为种,选C.
5、在极坐标系中,点到直线的距离为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】把极坐标化为直角坐标为,直线极坐标方程化为直角坐标方程为,点到直线的距离1,选.
6、袋子中装有大小完全相同的6个红球和4个黑球,从中任取2个球,则所取出的两个球中恰有1个红球的概率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】从大小完全相同的6个红球和4个黑球,从中任取2个球,有 种取法,所取出的两个球中恰有1个红球有种取法,则所取出的两个球中恰有1个红球的概率为,故选.
7、函数的图象大致为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由于函数满足,故函数为偶函数,函数图象关于轴对称,排除B,当 时,, ,若时, ,当时, ,而 ,显然 ,从而可知,函数在上为增函数,选 .
8、甲、乙两人约好一同去看《变形金刚5》,两人买完了电影票后,偶遇丙也来看这场电影,此时还剩9张该场电影的电影票,电影票的座位信息如下表.
1排4号
1排5号
1排8号
2排4号
3排1号
3排5号
4排1号
4排2号
4排8号
丙从这9张电影票中挑选了一张,甲、乙询问丙所选的电影票的座位信息,丙只将排数告诉了甲,只将号数告诉了乙.下面是甲、乙关于丙所选电影票的具体座位信息的一段对话:
甲对乙说:
“我不能确定丙的座位信息,你肯定也不能确定.”
乙对甲说:
“本来我不能确定,但是现在我能确定了.”
甲对乙说:
“哦,那我也能确定了!
”
根据上面甲、乙的对话,判断丙选择的电影票是
A.4排8号 B.3排1号 C.1排4号 D.1排5号
【答案】B
【解析】甲不能确定故排除2排4号,甲肯定乙一定不能确定,所以拿到的排数必然不是乙能直接确定的的4排2号所在的排数,故排除4排;然后乙说那么他能确定了,由于3号对应两个位置,而4号,1号,8号对应的位置唯一确定,所以必是三个中的一个;甲思考乙既然能确定,必然是上述三个,根据最后甲也确定,1排有两个可以,而3排唯一,所以是3排1号.
第II卷(非选择题)
评卷人
得分
二、填空题(题型注释)
9、是虚数单位,复数_________.
【答案】
【解析】.
10、定积分的值为______.
【答案】0
【解析】.
11、在高台跳水运动中,某运动员相对于水面的高度(单位:
)与起跳后的时间(单位:
)存在函数关系.则该运动员在时的瞬时速度为
___.
【答案】1.6
【解析】根据导数的几何意义知:
,.
12、若,则的值为___________.
【答案】-1
【解析】令 得:
则 .
【点睛】高考二项式定理部分主要考查问题有:
二项式展开式中某指定项或系数、二项式系数,系数得最值、赋值法等,本题主要考查赋值法.
13、随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识,网购鲜花速递行业迅速兴起.佳佳为祝福母亲的生日,准备在网上定制一束混合花束.客服为佳佳提供了两个系列,如下表:
粉色系列
黄色系列
玫 瑰
戴安娜、粉佳人、糖果、桃红雪山
假日公主、金辉、金香玉
康乃馨
粉色、小桃红、白色粉边
火焰、金毛、黄色
配 叶
红竹蕉、情人草、满天星
散尾叶、栀子叶、黄莺、银叶菊
佳佳要在两个系列中选一个系列,再从中选择2种玫瑰、1种康乃馨、2种配叶组成混合花束.请问佳佳可定制的混合花束一共有________种.
【答案】108
【解析】若选粉色系列有 种选法,若选黄色系列有 种选法,佳佳可定制的混合花束一共有 种.
14、已知平面向量,平面向量,(其中).
定义:
.若,,则=_____________;
若,且,,则_________,__________(写出一组满足此条件的和即可).
【答案】 (0,5)
【解析】本题自定义:
,,(其中) ,
已知若,,则=.
又,且,,则, ,不妨在内任取两组数和,为了满足,即,取和,此时恰好满足,则.
15、已知数列的前项和为,且满足,求数列的通项公式.勤于思考的小红设计了下面两种解题思路,请你选择其中一种并将其补充完整.
思路1:
先设的值为1,根据已知条件,计算出_________,__________,_________.
猜想:
_______.
然后用数学归纳法证明.证明过程如下:
①当时,________________,猜想成立
②假设(N*)时,猜想成立,即_______.
那么,当时,由已知,得_________.
又,两式相减并化简,得_____________(用含的代数式表示).
所以,当时,猜想也成立.
根据①和②,可知猜想对任何N*都成立.
思路2:
先设的值为1,根据已知条件,计算出_____________.
由已知,写出与的关系式:
_____________________,
两式相减,得与的递推关系式:
____________________.
整理:
____________.
发现:
数列是首项为________,公比为_______的等比数列.
得出:
数列的通项公式____,进而得到____________.
【答案】 2 2
【解析】试题分析:
思路1.由于,令,可求出的值,再令 ,可求出的值,再令,可求出的值,利用不完全归纳法,归纳猜想出,再用数学归纳法加以证明,这是一种“归纳—猜想—证明”思维方式,从特殊到一般的归纳推理方式;思路2.采用构造法直接求出数列得通项公式.
试题解析:
思路1.由于,令,;令 , , ,令 , ,则
,由此猜想 ;下面用数学归纳法证明,证明过程如下:
①当时, ,得 ,符合 ,猜想成立.
②假设(N*)时,猜想成立,即,
那么,当时,由已知,得 ,
又,两式相减并化简,得 , (用含的代数式表示).所以,当时,猜想也成立.
根据①和②,可知猜想对任何N*都成立.
思路2.先设的值为1,根据已知条件,计算出,
由已知,写出与的关系式:
,
两式相减,得与的递推关系式:
,
整理:
,
发现:
数列是首项为2,公比为2的等比数列.
得出:
数列的通项公式 ,进而得到 .
【点睛】本题给出了两种求数列通项公式的思维途径,一是构造法,直接利用转化思想解题,通过转化,把普通数列转化为特殊数列(等比数列),借助等比数列的通项公式解题,可以体会到数学的化归与转化思想在解题中的应用价值,二是不完全归纳法求数列的通项公式,这是一种“归纳—猜想—证明”思维方式,从特殊到一般的思维方式,这种归纳思想在探索、研究各科学领域中广为应用.
评卷人
得分
三、解答题(题型注释)
16、已知函数.
(I)求函数在点处的切线方程;
(II)求函数的极值.
【答案】
(1);
(2)详见解析.
【解析】试题分析:
利用导数的几何意义,对函数求导,求出函数在的导数值,借助点斜式求出切线方程;对函数求导,解出极值点,研究函数单调性,求出出极值.
试题解析:
(I),.
则,则函数在点处的切线方程为,化简得.
(II)令,解得.
当变化时,,的变化情况如下表:
0
+
0
-
0
+
单调递增
1
单调递减
单调递增
因此,当时,有极大值,并且极大值为;
当时,有极小值,并且极小值为.
17、电视连续剧《人民的名义》自2017年3月28日在湖南卫视开播以来,引发各方关注,收视率、点击率均占据各大排行榜首位.我们用简单随机抽样的方法对这部电视剧的观看情况进行抽样调查,共调查了600人,得到结果如下:
其中图1是非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众年龄的频率分布直方图;表1是不同年龄段的观众选择不同观看方式的人数.
观看方式
年龄(岁)
电视
网络
150
250
120
80
求:
(I)假设同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替,求非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众的平均年龄;
(II)根据表1,通过计算说明我们是否有99%的把握认为观看该剧的方式与年龄有关?
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
附:
【答案】
(1)41;
(2)详见解析.
【解析】试题分析:
根据频率分布直方图计算每个区间的频数和频率,再利用平均值公式计算;再填写列联表中的总计数,计算随机变量的观测值 ,根据临界值表,利用独立检验思想,判断是否具有相关关系.
试题解析:
(I)平均年龄为:
.
(II)根据列联表中的数据,利用公式可得的观测值
. ,
有99%把握认为观看该剧的方式与年龄有关.
18、为响应市政府“绿色出行”的号召,王老师每个工作日上下班由自驾车改为选择乘坐地铁或骑共享单车这两种方式中的一种出行.根据王老师从2017年3月到2017年5月的出行情况统计可知,王老师每次出行乘坐地铁的概率是0.4,骑共享单车的概率是0.6.乘坐地铁单程所需的费用是3元,骑共享单车单程所需的费用是1元.记王老师在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X元,假设王老师上下班选择出行方式是相互独立的.
(I)求X的分布列和数学期望;
(II)已知王老师在20
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