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把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
例如把28分解质因数?
28=2×
2×
7
几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数,例如12的约数有1、2、3、4、6、12;
18的约数有1、2、3、6、9、18。
其中,1、2、3、6是12和1?
8的公因数,6是它们的最大公因数。
公约数只有1的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况:
1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。
两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质,如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质。
如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数。
如果两个数是互质数,它们的最大公因数就是1。
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,如2的倍数有2、4、6?
、8、10、12、?
3的倍数有3、6、9、12、15、18?
其中6、12、18?
是2、3的公倍数,6是它们的最小公倍数。
如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公因数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。
(二)小数?
1?
、小数的意义?
把整数1平均分成10份、100份、1000份?
得到的十分之几、百分之几、千分之几?
可以用小数表示。
一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几?
在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。
2、小数的分类?
循环小数:
一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这个数叫做循环小数。
例如:
3.555?
0.0333?
12.109109?
一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
3.99?
的循环节是“?
9?
”?
,?
0.5454?
54?
(三)分数?
、分数的意义?
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里,中间的横线叫做分数线;
分数线下面的数,叫做分母,表示把单位“1”平均分成多少份;
分数线下面的数叫做分子,表示有这样的多少份。
把单位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位。
、分数的分类?
真分数:
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
假分数:
分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。
假分数大于或等于1。
带分数:
假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。
(四)百分数?
、表示一个数是另一个数的百分之几的数?
叫做百分数,也叫做百分率?
或百分比。
百分数通常用"
%"
来表示。
百分号是表示百分数的符号。
二?
方法?
(一)数的读法和写法?
1.?
整数的读法:
从高位到低位,一级一级地读。
读亿级、万级时,先按照个级的读法去读,再在后面加一个“亿”或“万”字。
每一级末尾的0都不读出来,其它数位连续有几个0都只读一个零。
2.?
整数的写法:
从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0。
3.?
小数的读法:
读小数的时候,整数部分按照整数的读法读,小数点读作“点”,小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
4.?
小数的写法:
写小数的时候,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个位右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
5.?
分数的读法:
读分数时,先读分母再读“分之”然后读分子,分子和分母按照整数的读法来读。
6.?
分数的写法:
先写分数线,再写分母,最后写分子,按照整数的写法来写。
7.?
百分数的读法:
读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数,读数时按照整数的读法来读。
8.?
百分数的写法:
百分数通常不写成分数形式,而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
(二)数的改写?
一个较大的多位数,为了读写方便,常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。
有时还可以根据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数。
准确数:
在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。
改写后的数是原数的准确数。
例如把?
改写成以万做单位的数是?
125430?
万;
改写成?
以亿做单位?
的数?
12.543?
亿。
近似数:
根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个近似数来表示。
省略亿后面的尾数是?
13?
四舍五入法:
要省略的尾数的最高位上的数是4?
或者比4小,就把尾数去掉;
如果尾数的最高位上的数是5或者比5大,就把尾数舍去,并向它的前一位进1。
省略?
345900?
万后面的尾数约是?
35?
万。
亿后面的尾数约是?
47?
(三)数的互化?
小数化成分数:
原来有几位小数,就在1的后面写几个零作分母,把原来的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分。
分数化成小数:
用分母去除分子。
能除尽的就化成有限小数,有的不能除尽,不能化成有限小数的,一般保留三位小数。
一个最简分数,如果分母中除了2和5以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成有限小数;
如果分母中含有2和5?
以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。
小数化成百分数:
只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
百分数化成小数:
把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。
分数化成百分数:
通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。
(四)数的整除?
把一个合数分解质因数,通常用短除法。
先用能整除这个合数的质数去除,一直除到商是质数为止,再把除数和商写成连乘的形式。
求几个数的最大公因数的方法是:
先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所得的商只有公因数1为止,然后把所有的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公约数?
求几个数的最小公倍数的方法是:
先用这几个数(或其中的部分数)的公约数去除,一直除到互质(或两两互质)为止,然后把所有的除数和商连乘求积,这个积就是这几个数的最小公倍数。
成为互质关系的两个数:
1和任何自然数互质?
;
相邻的两个自然数互质;
当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质;
两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质。
(五)?
约分和通分?
约分的方法:
用分子和分母的公约数(1除外)去除分子、分母;
通常要除到得出最简分数为止。
通分的方法:
先求出原来的几个分数分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
三?
性质和规律?
(一)商不变的规律?
商不变的规律:
在除法里,被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍,商不变。
(二)小数的性质?
小数的性质:
在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
(三)小数点位置的移动引起小数大小的变化?
小数点向右移动一位,原来的数就扩大10倍;
小数点向右移动两位,原来的数就扩大100倍;
小数点向左移动一位,原来的数就缩小10倍;
小数点向左移动两位,原来的数就缩小100倍;
小数点向左移或者向右移位数不够时,要用“0"
补足位。
(四)分数的基本性质?
分数的基本性质:
分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(零除外),分数的大小不变。
(五)分数与除法的关系?
被除数÷
除数=?
被除数/除数?
因为零不能作除数,所以分数的分母不能为零。
被除数相当于分子,除数相当于分母。
四?
运算的意义?
(一)整数四则运算?
整数加法:
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在加法里,相加的数叫做加数,加得的数叫做和。
加数是部分数,和是总数。
加数+加数=和?
一个加数=和-另一个加数?
整数减法:
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫做减法。
在减法里,已知的和叫做被减数,已知的加数叫做减数,未知的加数叫做差。
被减数是总数,减数和差分别是部分数。
3?
整数乘法:
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
在乘法里,相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。
相同加数的和叫做积。
在乘法里,0和任何数相乘都得0.?
1和任何数相乘都的任何数。
一个因数×
一个因数?
=积?
一个因数=积÷
另一个因数?
整数除法:
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里,已知的积叫做被除数,已知的一个因数叫做除数,所求的因数叫做商。
在除法里,0不能做除数。
因为0和任何数相乘都得0,所以任何一个数除以0,均得不到一个确定的商。
除数=商?
除数=被除数÷
商?
被除数=商×
除数?
(二)小数四则运算?
小数加法:
小数加法的意义与整数加法的意义相同。
是把两个数合并成一个数的运算。
小数减法:
小数减法的意义与整数减法的意义相同。
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算.?
小数乘法:
小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算;
一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几?
是多少。
小数除法:
小数除法的意义与整数除法的意义相同,就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
(三)分数四则运算?
分数加法:
分数加法的意义与整数加法的意义相同。
分数减法:
分数减法的意义与整数减法的意义相同。
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。
分数乘法:
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算。
乘积是1的两个数叫做互为倒数。
分数除法:
分数除法的意义与整数除法的意义相同。
就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
(四)运算定律?
加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即a+b=b+a?
加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;
或者先把后两个数相加,再和第一个数相加它们的和不变,即(a+b)+c=a+(b+c)?
乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变,即a×
b=b×
a。
乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数;
或者先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变,即(a×
b)×
c=a×
(b×
c)?
乘法分配律:
两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加,即(a+b)×
c+b×
c?
减法的性质:
从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去所有减数的和,差不变,即a-b-c=a-(b+c)?
(五)运算法则?
回顾整数加法、减法、乘法的计算法则:
整数除法计算法则:
先从被除数的高位除起,除数是几位数,就看被除数的前几位;
如果不够除,就多看一位,除到被除数的哪一位,商就写在哪一位的上面。
如果哪一位上不够商1,要补“0”占位。
每次除得的余数要小于除数。
小数乘法法则:
先按照整数乘法的计算法则算出积,再看因数中共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点;
如果位数不够,就用“0”补足。
除数是整数的小数除法计算法则:
先按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐;
如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添“0”,再继续除。
除数是小数的除法计算法则:
先移动除数的小数点,使它变成整数,除数的小数点也向右移动几位(位数不够的补“0”),然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
异分母分数加减法计算方法:
先通分,然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
带分数加减法的计算方法:
整数部分和分数部分分别相加减,再把所得的数合并起来。
分数乘法的计算法则:
分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
9.?
分数除法的计算法则:
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
(六)?
运算顺序?
没有括号的混合运算:
同级运算从左往右依次运算;
两级运算?
先算乘、除法,后算加减法。
有括号的混合运算:
先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
第二章?
度量衡?
长度?
单位之间的换算?
1厘米?
=10?
毫米1分米?
厘米?
1米?
=1000?
毫米?
1千米?
=?
1000?
米?
面积?
(一)什么是面积:
面积,就是物体所占平面的大小。
对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。
(二)常用的面积单位?
平方厘米?
平方分米平方米平方千米?
(三)面积单位的换算?
1平方分米=100平方厘米?
1平方米?
=100?
平方分米?
1公倾?
=10000?
平方米?
1平方千米?
公顷?
体积和容积?
(一)什么是体积、容积?
体积,就是物体所占空间的大小。
容积,箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,通常叫做它们的容积。
(二)常用单位?
体积单位?
立方米立方分米?
立方厘米?
容积单位:
升?
毫升?
(三)单位换算?
1、体积单位?
1立方米=1000立方分米?
1立方分米=1000立方厘米?
2、容积单位?
1升?
=1000毫升?
=1立方米?
1毫升=1立方厘米?
质量?
1吨=1000千克?
1千克?
=?
1000克?
五?
时间?
1世纪=100年?
1年=365天?
平年?
一年=366天?
闰年?
1天=?
24小时?
1小时=60分?
1分=60秒?
第三章?
代数初步知识?
一、用字母表示数?
用字母表示数的意义和作用?
用字母表示数,可以把数量关系简明的表达出来,同时也可以表示运算的结果。
2、用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式?
(1)常见的数量关系?
路程用s表示,速度v用表示,时间用t表示,三者之间的关系:
s=vt?
v=s/t?
t=s/v?
总价用a表示,单价用b表示,数量用c表示,三者之间的关系:
a=bc?
b=a/c?
c=a/b?
(2)运算定律和性质?
a+b=b+a?
(a+b)+c=a+(b+c)?
ab=ba?
(ab)c=a(bc)?
(a+b)c=ac+bc?
a-(b+c)?
=a-b-c?
(3)用字母表示几何形体的公式?
长方形的长用a表示,宽用b表示,周长用c表示,面积用s表示。
c=2(a+b)?
s=ab?
正方形的边长a用表示,周长用c表示,面积用s表示。
c=?
4a?
s=a2?
平行四边形的底a用表示,高用h表示,面积用s表示。
s=ah?
三角形的底用a表示,高用h表示,面积用s表示。
s=ah/2?
梯形的上底用a表示,下底b用表示,高用h表示,面积用s表示。
s=(a+b)h/2?
圆的半径用r表示,直径用d表示,周长用c表示,面积用s表示。
c=∏d=2∏r?
s=∏?
r2?
扇形的半径用r表示,n表示圆心角的度数,面积用s表示。
nr2/360?
长方体的长用a表示,宽用b表示,高用h表示,表面积用s表示,体积用v表示。
v=sh?
s=2(ab+ah+bh)?
v=abh?
正方体的棱长用a表示,底面周长c用表示,底面积用s表示,?
体积用v表示.?
s=?
6a?
v=a3?
圆柱的高用h表示,底面周长用c表示,底面积用s表示,?
s侧=ch?
s表=s侧+2s底?
圆锥的高用h表示,底面积用s表示,?
v=sh/3?
3、用字母表示数的写法?
数字和字母、字母和字母相乘时,乘号可以记作“.”,或者省略不写,数字要写在字母的前面。
当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写。
、将数值代入式子求值?
把具体的数代入式子求值时,要注意书写格式:
先写出字母等于几,然后写出原式,再把数代入式子求值。
字母表示的是数,后面不写单位名称。
二、简易方程?
(一)方程和方程的解?
1、方程:
含有未知数的等式叫做方程。
注意方程是等式,又含有未知数,两者缺一不可。
方程和算术式不同。
算术式是一个式子,它由运算符号和已知数组成,它表示未知数。
方程是一个等式,在方程里的未知数可以参加运算,并且只有当未知数为特定的数值时?
,方程才成立?
、方程的解:
使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
三、解方程?
解方程,求方程的解的过程叫做解方程。
四、列方程解应用题?
先找出等量关系,再根据具体建立等量关系的需要,把应用题中已知数(量)和所设的未知数(量)列成有关的代数式进而列出方程。
比和比例?
1比的意义和性质?
(1)?
比的意义?
两个数相除又叫做两个数的比。
“:
”是比号,读作“比”。
比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商。
比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数。
比的后项不能是零。
根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。
(2)比的性质?
比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。
(3)?
求比值和化简比?
求比值的方法:
用比的前项除以后项,它的结果是一个数值可以是整数,也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。
它的结果必须是一个最简比,即前、后项是互质的数。
(4)比例尺?
图上距离:
实际距离=比例尺?
要求会求比例尺;
已知图上距离和比例尺求实际距离;
已知实际距离和比例尺求图上距离。
线段比例尺:
在图上附有一条注有数目的线段,用来表示和地面上相对应的实际距离。
(5)按比例分配?
在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法:
首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少。
2、比例的意义和性质?
比例的意义?
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。
(2)比例的性质?
在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积。
这叫做比例的基本性质。
(3)解比例?
根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项,叫做解比例。
3、正比例和反比例?
成正比例的量?
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示y/x=k(一定)?
(2)成反比例的量?
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示x×
y=k(一定)?
第四章?
几何的初步知识?
线和角?
(1)线
直线:
直线没有端点;
长度无限;
过一点可以画无数条,过两点只能画一条直线。
射线:
射线只有一个端点;
长度无限。
线段:
线段有两个端点,它是直线的一部分;
长度有限;
两点的连线中,线段为最短。
平行线:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
两条平行线之间的垂线长度都相等。
垂线:
两条直线相交成直角时,这两条直线叫做互相垂直,其中一条直线叫做另
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