复变函数与积分变换精彩试题和问题详解.docx
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复变函数与积分变换精彩试题和问题详解.docx
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复变函数与积分变换精彩试题和问题详解
复变函数与积分变换试题〔一〕
一、填空〔3分×10〕
1.的模.幅角.
2.-8i的三个单根分别为:
...
3.Lnz在的区域连续.
4.的解极域为:
.
5.的导数.
6..
7.指数函数的映照特点是:
.
8.幂函数的映照特点是:
.
9.假如=F[f
10.假如f〔tL[f
二、<10分>
.求函数使函数f<0>=0.
三、〔10分〕应用留数的相关定理计算
四、计算积分〔5分×2〕
1.
2.C:
绕点i一周正向任意简单闭曲线.
五、〔10分〕求函数在以下各圆环的罗朗展式.
1.
2.
六、证明以下命题:
〔5分×2〕
〔1〕与构成一对傅氏变换对.
〔2〕
七、〔10分〕应用拉氏变换求方程组满足x<0>=y<0>=z<0>=0的解y
八、〔10分〕就书中容.函数在某区域解析的具体判别方法有哪几种.
复变函数与积分变换试题答案〔一〕
一、1..2.-i2i-i
3.Z不取原点和负实轴4.空集5.2z6.07.将常形域映为角形域
8.角形域映为角形域9.10.
二、解:
∵∴〔5分〕
∵f<0>=0c=0〔3分〕
∴〔2分〕
三、解:
原式=〔2分〕
〔2分〕
=0
∴原式=〔2分〕=
四、1.解:
原式〔3分〕z1=0z2=1
=0〔2分〕
2.解:
原式=
五、1.解:
〔2分〕
2.解:
〔1分〕〔2分〕
六、1.解:
∵〔3分〕∴结论成立
〔2〕解:
∵〔2分〕
∴与1构成傅氏对
∴〔2分〕
七、解:
∵〔3分〕
S〔2〕-〔1〕:
∴〔3分〕
∴
八、解:
①定义;②C-R充要条件Th;③v为u的共扼函数10分
复变函数与积分变换试题〔二〕
一、填空〔3分×10〕
1.函数f
2.w=z2在z=-i处的伸缩率为〔〕.
3.的指数表示式为〔〕.
4.Ln<-1>的主值等于〔〕.
5.函数ez以〔〕为周期.
6.设C=〔〕.
7.假如z0为f
8.假如Ff
9.与〔〕构成一个付立叶变换对.
10.L.如此L〔〕.
二、计算题<7分×7>
1.求p.m.n的值使得函数为解析函数.2.计算
3.调和函数.求解析函数使得.
4.把函数在展开成罗朗级数.
5.指出函数在扩大复平面上所有孤立奇点并求孤立奇点处的留数.
6.计算
7.利用留数计算积份
三、积分变换〔7分×3〕
1.设〔为常数〕.求F[f
2.设f
3.求方程满足条件的解.
〔L[e-t]=〕.
复变函数与积分变换试题答案〔二〕
一、1.充要条件2.23.4.
5.6.原式=
7.8.
9.10.
二、1.解:
〔3分〕
3m=p
∴〔1分〕
2.原式=〔25分〕
3.原式=〔2分〕
〔2分〕
∴
〔2分〕
∴〔1分〕
4.解:
〔2分〕
〔2分〕
∴〔3分〕
5.解:
〔2分〕
〔2分〕
〔2分〕
〔1分〕
6.解:
原式〔3分〕
〔1分〕
7.解:
原式=〔2分〕=〔1分〕
=〔1分〕
=〔2分〕
=〔1分〕
三、1.解:
F[f
〔4分〕
2.解:
L[f
〔2分〕==〔2分〕
〔1分〕=
3.解:
F=F[e-t]〔1分〕
〔2分〕
=〔2分〕
=〔2分〕
复变函数与积分变换试题〔三〕
1.〔5〕复数与点对应,请依次写出的代数、几何、三角、指数表达式和的3次方根.
2.〔6〕请指出指数函数、对数函数、正切函数的解析域.并说明它们的解析域是哪类点集.
3.〔9〕讨论函数在可导点解析吗?
是或否请说明理由.
4.〔7〕解析函数的实部.求函数.
5.〔6×2〕计算积分:
〔1〕,
其中为以为圆心,为半径的正向圆周,为正整数;
〔2〕.
6.〔5×2〕分别在圆环〔1〕.<2>将函数
展为罗朗级数.
7.〔12〕求如下各函数在其孤立奇点的留数.
<1>;<2>;<3>.
8.〔7〕分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么.
9.〔6分〕求将上半平面保形映照成单位圆的分式线性函数.
10.〔5×2〕〔1〕己知F.求函数的傅里叶变换;
〔2〕求函数的傅里叶逆变换
11.〔5×2〕〔1〕求函数的拉普拉斯变换;
〔2〕求拉普拉斯逆变换L-1.
12.〔6分〕解微积分方程:
.
复变函数与积分变换试题答案〔三〕
1.〔5分〕请依次写出的代数、几何、三角、指数表达式和的3次方根.
:
2.〔6分〕请指出指数函数、对数函数、正切函数的解析域.并说明它们的解析域是哪类点集.
指数函数、对数函数、正切函数的解析域
分别为:
整个复平面,无界开区域;除去原点与负半实轴.无界开区域.;除去点.无界开区域.
3.〔9分〕讨论函数在可导点解析吗?
是或否请说明理由.
解:
.可微
所以.
因为函数在可到点的任一邻域均不可导.所以可导点处不解析.
4.〔6分〕解析函数的实部.求函数.
解:
5.〔6×2〕计算积分:
〔1〕,
其中为以为圆心,为半径的正向圆周,为正整数;
〔2〕.
解〔1〕设的方程为,如此
所以〔当时〕
〔当时〕.
〔2〕
.
6.〔5×2〕分别在圆环〔1〕.<2>将函数展为罗朗级数.
解:
〔1〕
.
<2>,
.
7.〔12〕求如下各函数在其孤立奇点的留数.
<1>;<2>;<3>.
解:
〔1〕为的可去奇点,
;
〔2〕为的三阶极点,为的一阶极点,
;
〔3〕为的本性奇点,
.
8.〔7〕分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么.
分式线性函数具有保角性、保圆性、保对称性的映照特点.
指数函数具有将带形域映照为角形域的映照特点.
幂函数具有将带形域映照带形域的映照特点.
9.〔6分〕求将上半平面保形映照成单位圆的分式线性函数.
解:
10.〔5×2〕〔1〕己知F.求函数的傅里叶变换;
〔2〕求函数的傅里叶逆变换.
解〔1〕F,
F;
〔2〕
F-1F-1
11.〔5×2〕〔1〕求函数的拉普拉斯变换;
〔2〕求拉普拉斯逆变换L-1.
解〔1〕LL
;
〔2〕L-1=L-1=L-
=L-12L-1
=〔〕.
12.〔6分〕解微积分方程:
.
解:
,.
复变函数与积分变换试题与答案〔四〕
一、填空题:
〔每题3分共21分〕
1.的三角表达式.
2..
3.设如此1.
4.幂级数的和函数的解析域空集.
5.分式线性函数、指数函数的映照特点分别是:
保角性、保圆性、保对称性、
保伸缩性.将带形域映照为角形域.
6.假如L.如此L.
二、简答题:
〔每题6分共18分〕
1.表示函数在区域解析的几种等价定义.
答〔1〕区域在区域<2分>
〔2〕假如的实部、虚部均为—为在的解析函数.<2分>
〔3〕假如在区域解析.<2分>
2.假如分别为与的阶与在具有什么性质.
答假如.如此为的阶零点;<2分>
假如.如此为的可去奇点;<2分>
假如.如此为的阶极点;<2分>
3.表示将上半平面保形映照为单位圆盘且将映照为的分式线性函数产生的关键步骤.
答〔1〕映照为.映照为.有<3分>
〔2〕当时..有<2分>
〔3〕使得映为<1分>
三、计算题:
〔每题7分共49分〕
解1.求的解析点;
...仅在处成立<5分>
处处不解析.<2分>
2.求在时的罗朗级数;
解
3.求积分为沿单位圆的左半圆从到的曲线.
解
4.求积分.
解
5.求积分
解
6、求函数的傅里叶变换.
解
FFF
F
7.求函数的拉普拉斯逆变换.
解
L-1
四、证明与解方程〔每题6分共12分〕
1.证明:
.
证明
2.解方程:
.
解
复变函数与积分变换试题与答案〔五〕
一、填空题〔每题4分.共20分〕
1、
2、0
3、幂级数的收敛半径2
4、=
5、设.如此付氏变换
二、单项选择题〔每题4分.共20分〕
1、是函数的
A.极点.B.本性奇点.C.可去奇点.D.一级零点 [ B ]
2、函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和:
A.1B.4 C.-1 D.2 [ A ]
3、设C为正向圆周.如此积分等于
A.24.B..C.0.D. [ D ]
4、设.如此为.
A.1.B.2.C.0.D.. [ C ]
5、设.如此拉氏变换为
A..B..C..D..[ A ]
三、解答如下各题〔1-2每一小题6分.3-6每一小题7分.共40分〕
1、设.
解:
2、映射把圆周变成什么曲线?
写出曲线的方程.
答:
变成圆
3、求积分.其中.
解:
4、求积分.其中.
解:
5、求函数的Fourier变换.
解:
6、求函数的Laplace变换.
解:
四、解答如下各题〔1、3每一小题7分.2小题6分.共20分〕
1、将函数在圆环域展开成Laurent级数.
解:
4、求一个函数.使得它把上半单位圆盘共形地映射成上半平面.
解:
函数将上半单位圆盘映照为第一象限
将第一象限映照为上半平面
故将上半单位圆盘映照为上半平面
3、用Laplace变换解微分方程的初值问题:
...
解:
方程两边同时施加Laplace变换得:
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