高中数学 第二章 统计 21 随机抽样 211 简单随机抽样教学案 新人教A版必修3.docx
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2019-2020年高中数学第二章统计2.1随机抽样2.1.1简单随机抽样教学案新人教A版必修3
预习课本P34~45,思考并完成以下问题
(1)如何求a,b,c的最大公约数?
(2)如何求两个数的最小公倍数?
1.辗转相除法
(1)辗转相除法,又叫欧几里得算法,是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法.
(2)辗转相除法的算法步骤:
第一步,给定两个正整数m,n.
第二步,计算m除以n所得的余数r.
第三步,m=n,n=r.
第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步.
2.更相减损术
(1)更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法.
(2)其基本过程是:
第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数.若是,用2约简;若不是,执行第二步.
第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数,继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
[点睛]
辗转相除法与更相减损术的区别与联系
两种方法
辗转相除法
更相减损术
计算法则
除法
减法
终止条件
余数为0
减数与差相等
最大公约数的选取
最后一步中的除数
最后一步中的减数
计算特点
步骤较少,运算复杂
步骤较多,运算简单
相同点
同为求两个正整数最大公约数的方法,都是递归过程
3.秦九韶算法
把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改写成如下形式:
f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,…,vn=vn-1x+a0,这种求n次多项式f(x)的值的方法叫秦九韶算法.
1.用更相减损术求98与63的最大公约数时,需做减法的次数为( )
A.4 B.5
C.6D.7
解析:
选C (98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7),∴共进行6次减法.
2.用“辗转相除法”求得168与486的最大公约数是( )
A.3B.4
C.6D.16
解析:
选C 486=168×2+150,168=150×1+18,150=18×8+6,18=3×6,故168与486的最大公约数为6.
3.有关辗转相除法下列说法正确的是( )
A.它和更相减损之术一样是求多项式值的一种方法
B.基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m=nq+r,直至r C.基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m=nq+r(0≤r D.以上说法皆错 解析: 选C 辗转相除法和更相减损之术都是求最大公约数的方法,故A错,而C中0≤r 4.已知多项式f(x)=4x5+3x4+2x3-x2-x-,用秦九韶算法求f(-2)等于( ) A.-B. C.D.- 解析: 选A ∵f(x)=((((4x+3)x+2)x-1)x-1)x-,∴f(-2)=-. 求最大公约数 [典例] 求228与1995的最大公约数. [解] 法一: (辗转相除法)1995=8×228+171,228=1×171+57,171=3×57, 所以228与1995的最大公约数为57. 法二: (更相减损术)1995-228=1767,1767-228=1539, 1539-228=1311,1311-228=1083, 1083-228=855,855-228=627, 627-228=399,399-228=171, 228-171=57,171-57=114, 114-57=57. 所以228与1995的最大公约数为57. 辗转相除法计算次数少,步骤简捷,更相减损术计算次数多,步骤复杂,但是更相减损术每一步的计算都是减法,比做除法运算要简单一些,一般当数较小时可以考虑用更相减损术,当数较大时可以考虑用辗转相除法. [活学活用] 用辗转相除法和更相减损术求1515与600的最大公约数,需要运算的次数分别为( ) A.4,15 B.5,14 C.5,13D.4,12 解析: 选B 辗转相除法: 1515=600×2+315;600=315×1+285,315=285×1+30,285=30×9+15,30=15×2,故最大公约数为15,且需计算5次.用更相减损术: 1515-600=915,915-600=315,600-315=285,315-285=30,285-30=255,255-30=225,225-30=195,195-30=165,165-30=135,135-30=105,105-30=75,75-30=45,45-30=15,30-15=15.故最大公约数为15,且需计算14次. 秦九韶算法的应用 [典例] 用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1,当x=2时的值. [解] 根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=8x7+5x6+0·x5+3·x4+0·x3+0·x2+2x+1=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1. 而x=2,所以有 v0=8, v1=8×2+5=21, v2=21×2+0=42, v3=42×2+3=87, v4=87×2+0=174, v5=174×2+0=348, v6=348×2+2=698, v7=698×2+1=1397. 所以当x=2时,多项式的值为1397. 应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题 (1)要正确将多项式的形式进行改写. (2)计算应由内向外依次计算. (3)当多项式函数中间出现空项时,要以系数为零的齐次项补充. [活学活用] 用秦九韶算法写出当x=3时,f(x)=2x5-4x3+3x2-5x+1的值. 解: 因为f(x)=((((2x+0)x-4)x+3)x-5)x+1, v0=2,v1=2×3+0=6,v2=6×3-4=14,v3=14×3+3=45,v4=45×3-5=130,v5=130×3+1=391, 所以f(3)=391. 进位制 [典例] (1)把二进制数101101 (2)化为十进制数为________. (2)将十进制数458转化为四进制数为________. (3)比较85(9)和210(6)的大小. [解析] (1)101101 (2)=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20=32+8+4+1=45, 所以二进制数101101 (2)转化为十进制的数为45. (2) 所以458=13022(4). 答案: (1)45 (2)13022(4) (3)解: 因为85(9)=5+8×9=77, 210(6)=0+1×6+2×62=78, 而78>77,所以210(6)>85(9). 十进制数转化为其他进制数的方法步骤 [活学活用] (1)将101111011 (2)转化为十进制的数; (2)将235(7)转化为十进制的数; (3)将137(10)转化为六进制的数; (4)将53(8)转化为二进制的数. 解: (1)101111011 (2)=1×28+0×27+1×26+1×25+1×24+1×23+0×22+1×21+1×20=379(10). (2)235(7)=2×72+3×71+5×70=124(10). (3) ∴137(10)=345(6). (4)53(8)=5×81+3×80=43(10). ∴53(8)=101011 (2). [层级一 学业水平达标] 1.用辗转相除法求294和84的最大公约数时,需要做除法运算的次数是( ) A.1 B.2 C.3D.4 解析: 选B 294=84×3+42,84=42×2,故需要做2次除法运算. 2.三位四进制数中的最大数等于十进制数的( ) A.63B.83 C.189D.252 解析: 选A 三位四进制数中的最大数为333(4),则333(4)=3×42+3×41+3=63. 3.把389化为四进制数,则该数的末位是( ) A.1B.2 C.3D.4 解析: 选A 由389=4×97+1,97=4×24+1,24=4×6+0,6=4×1+2,1=4×0+1,389化为四进制数的末位是第一个除法代数式中的余数1. 4.在对16和12求最大公约数时,整个操作如下: 16-12=4,12-4=8,8-4=4.由此可以看出12和16的最大公约数是( ) A.4B.12 C.16D.8 解析: 选A 根据更相减损术的方法判断. [层级二 应试能力达标] 1.4830与3289的最大公约数为( ) A.23 B.35 C.11D.13 解析: 选A 4830=1×3289+1541; 3289=2×1541+207; 1541=7×207+92; 207=2×92+23;92=4×23; ∴23是4830与3289的最大公约数. 2.用辗转相除法求72与120的最大公约数时,需要做除法次数为( ) A.4B.3 C.5D.6 解析: 选B 120=72×1+48, 72=48×1+24, 48=24×2. 3.用更相减损术求459与357的最大公约数,需要做减法的次数为( ) A.4B.5 C.6D.7 解析: 选B 459-357=102,357-102=255,255-102=153,153-102=51,102-51=51,所以459与357的最大公约数为51,共做减法5次. 4.下列各数,化为十进制后,最大的为( ) A.101010 (2)B.111(5) C.32(8)D.54(6) 解析: 选A 101010 (2)=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+0×20=42,111(5)=1×52+1×51+1×50=31,32(8)=3×81+2×80=26,54(6)=5×61+4×60=34. 故转化为十进制后,最大的是101010 (2). 5.阅读程序框图,利用秦九韶算法计算多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,当x=x0时,框图中A处应填入________. 解析: f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,先用秦九韶算法改为一次多项式, f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. f1=an;k=1,f2=f1x0+an-1; k=2,f3=f2x0+an-2;…; 归纳得第k次fk+1=fkx0+an-k.故A处应填an-k. 答案: an-k 6.三进制数2012(3)化为六进制数为abc(6),则a+b+c=________. 解析: 2012(3)=2×33+0×32+1×31+2×30=59. 三进制数2012(3)化为六进制数为135(6),∴a+b+c=9. 答案: 9 7.三位七进制数表示的最大的十进制数是______
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