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出入相补原理最新教学文档
出入相补原理
其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?
尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
作者:
吴文俊
这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
要求学生抽空抄录并且阅读成诵。
其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。
如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。
如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?
我国古代几何学不仅有悠久的历史,丰富的内容,重大的成就,而且有一个具有我国自己的独特风格的体系,和西方的欧几里得体系不同。
这一几何体系的全貌还有待于发掘清理,本文仅就出入相补原理这一局部方面,就所知提出几点,主要根据是流传至今的以下各经典著作:
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?
还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。
《周髀算经》(简称《周髀》),
“师”之概念,大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰:
“师教人以道者之称也”。
“师”之含义,现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称,隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》,有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制,老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”,其只是“老”和“师”的复合构词,所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称,虽能从其身上学以“道”,但其不一定是知识的传播者。
今天看来,“教师”的必要条件不光是拥有知识,更重于传播知识。
《九章算术》(简称《九章》),
要练说,得练听。
听是说的前提,听得准确,才有条件正确模仿,才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中,注意听说结合,训练幼儿听的能力,课堂上,我特别重视教师的语言,我对幼儿说话,注意声音清楚,高低起伏,抑扬有致,富有吸引力,这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时,就随时表扬那些静听的幼儿,或是让他重复别人说过的内容,抓住教育时机,要求他们专心听,用心记。
平时我还通过各种趣味活动,培养幼儿边听边记,边听边想,边听边说的能力,如听词对词,听词句说意思,听句子辩正误,听故事讲述故事,听谜语猜谜底,听智力故事,动脑筋,出主意,听儿歌上句,接儿歌下句等,这样幼儿学得生动活泼,轻松愉快,既训练了听的能力,强化了记忆,又发展了思维,为说打下了基础。
刘徽《九章算术注》(简称《刘注》),
《海岛算经》(简称《海岛》),
赵爽《日高图说》和《勾股圆方图说》(简称《日高说》和《勾股说》)。
田亩丈量和天文观测是我国几何学的主要起源,这和外国没有什么不同,二者导出面积问题和勾股测量问题。
稍后的计算容器容积、土建工程又导出体积问题。
我国古代几何学的特色之一是,依据这些方面的经验成果,总结提高成一个简单明白、看起来似乎极不足道的一般原理──出入相补原理,并且把它应用到形形色色多种多样的不同问题上去。
以下将列举这些不同的应用。
简单应用和比例理论
所谓出入相补原理,用现代语言来说,就是指这样的明显事实:
一个平面图形从一处移置他处,面积不变。
又若把图形分割成若干块,那么各部分面积的和等于原来图形的面积,因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。
立体的情形也是这样。
应用这一原理,容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常的公式,由此以定任意多角形的面积。
作为另一简单实例,可以观察左图,如果看作把△ACD移置△ACB处,又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ'、Ⅱ',那么依出入相补原理有:
Ⅲ=Ⅲ',□PC=□RC,……(指面积相等)
由此得
PO×OS=RO×OQ,PO×QC=RB×BC,……
而PO=AR,OS=QC,PQ=AB,RB=OQ,……
因而AR∶OQ=RO∶QC,AB∶OQ=BC∶QC,……
就是相似勾股形ARO和OQC、ABC和OQC的相应勾股成比例。
并且可以导出其他相应部分的比例关系。
以上这些极简单的结果虽然没有在《九章》中明白说出,但是曾经多处用这些关系来解决各种具体问题,参看《刘注》。
测望术和重差理论
在《周髀》中,就有用两表测日影以求日高的方法,计算的公式是:
见上图,其中A是日,BI是地平面,ED、GF是先后两表,DH和FI是日影。
《海岛》改测日高为测海岛的高,同图AB是海岛,H、I是人目望岛顶和两表上端相参合的地方,于是日高公式成为:
刘徽证明和所用的图都已经失传,但是据现存《日高说》和残图以及其他佐证,原证当大致如下:
由出入相补原理,得
□JG=□GB,
(1)
□KE=□EB,
(2)
相减得□JG-□KE=□GD,
所以(FI-DH)×AC=ED×DF,
即表目距的差×(岛高-表高)=表高×表距。
这就得到上述公式。
按《海岛》共九题都属测望之类,所得公式分母上都有两测的差,“重差”这一名称可能由此而来。
其余八题公式都可依出入相补原理用和上面类似的方法证明,现在从略。
元朱世杰《四元玉鉴》中有和《海岛》完全类似的几个题,朱世杰对这些题的解法应该有古代相传下来的一定来历。
依据朱对海岛一题的解法,我们认为原证比上面所示的可能稍复杂一些。
如下图,现在重作证明如下:
由出入相补原理,除
(1)、
(2)外又有
□PG=□GD,(3)
由
(1)、
(2)、(3)得
□JN=□EB=□KE,
所以MI=DH,(4)
FM=FI-MI=FI-DH=表目距的差。
由(3)式就得到海岛公式。
如果依照欧几里得几何体系的习惯证法,那就自然应该添一平行线GM'‖AH,如下图,再利用相似三角形和比例理论作证。
清代李璜以及近代中外数学史家大都依这一方法补作海岛公式的证明,这当然不是刘徽的原意,也和我国古代几何的传统相违背。
注意作平行线的时候应有FM'=DH,和前面(4)式相比,M和M'的位置完全不同。
明末耶稣会传教士利玛窦(1552—1610)来我国,他的主要学术工作之一是介绍欧几里得几何体系。
他曾口授《测量法义》一书,其中载有和海岛题完全类似的一题。
在他所作的证明中,需要在FI上取一点M使(4)式成立,再用比例理论作证,见本页上图。
按常理来说,利玛窦应该作平行线而取M'使FM'=DH,但是他一反欧几里得惯例而和我国古代传统不谋而合,颇使人迷惑不解。
现在提出这一问题,希望大家共同探讨。
勾股定理
在《周髀》和《九章》中,都已经明确给出了勾股定理的一般形式:
勾2+股2=弦2。
虽然原证不传,但是据《勾股说》以及《刘注》,都依出入相补原理证明,并且有遗留到现在可以用来作证的赵爽残图,这几方面互相参照,原证应该大致如下:
如下图所示,勾股形是ABC,BCED是勾方,EFGH是股方,把二者的和DBCFGH中的△IBD移到△ABC,△GIH移到△GAF,就得到ABIG=弦2,由此就得到勾股定理。
欧几里得《几何原本》中勾股定理的证明如下图所示,其中要先证有关三角形全等形以及三角形面积的一些定理,为此要作不少准备工作,因而在《几何原本》中直到卷一之末出现这一定理,而在整个《几何原本》中几乎没有用到。
而在我国,勾股定理在《九章》中已经有多种多样的应用,成为两千来年数学发展的一个重要出发点,参阅以下各节和文末附表。
在东西方的古代几何体系中,勾股定理所占的地位是颇不相同的。
勾、股、弦和它们的和差互求
勾、股、弦和它们之间的和差共九个数,只须知道其中的二个就可以求得其他几个。
除勾、股、弦互求就是开平方之外,《九章》勾股章中有不少这方面的问题:
第一,知股弦差、勾,求股、弦(五题);
第二,知勾股差、弦,求勾、股(一题);
第三,知股弦差、勾弦差,求勾、股、弦(一题);
第四,知股弦和、勾,求股、弦(一题)。
各题都列出了一般公式,《勾股说》的许多命题也属这一类,《刘注》还给出了证明,公式的来历和证明的方法都依据出入相补原理,有的也用比例原理作别证。
试以勾股章第十三折竹题为例。
题设竹高已知,竹在某处折断,竹梢着地,着地处和竹根距离也已知。
求折断处的高度,见上图。
如果以竹梢着地处和竹根的距离作为勾,就是从股弦和、勾求股的问题,《九章》原文给出的公式是:
股弦差=勾2/股弦和,
《刘注》又给出了另一公式:
为了证明前一公式,可以考虑上图,其中正方形ABCD和AEFG的边各是勾股形的弦和股。
依勾股定理曲尺形EBCDGF的面积应该等于勾2。
现在把□FD如图移到□CH,那么依出入相补原理,□BH的面积是勾2,而它的边长各是股弦和、股弦差,就得到上面的前一公式。
另一公式的刘徽证明也相类似。
试考察下图,其中右下角曲尺部分的面积依勾股定理等于勾2,所以粗黑线围成部分的面积等于股弦和2-勾2。
把长方形Ⅰ移到Ⅱ,依出入相补原理,这一面积是斜线部分面积的两倍,就是2×股×股弦和,由此就得到另一公式。
秦九韶公式
秦九韶《数书九章》中有一题是已知不等边三角形田地三边的长(称大斜、中斜、小斜,以下简记为大、中、小),求田地面积。
秦九韶的解法相当于下面的一般公式:
秦的公式来历不明,证明也失传了。
现在补作一证如下:
作大斜上的高分大斜成两部分,作为勾股形的股和弦,见上图。
由
求高,或怎样求股。
由于
股弦和=大,
勾2=弦2-股2=中2-小2,
所以问题归结为怎样从股弦和、勾求股。
依上节的刘徽公式,得
由此就得到秦的公式。
按秦公式的形式十分古怪,当是依某种思路自然引导到这一形式的。
上面的证法颇为自然,也符合我国古代几何的传统特色,说它是原证,也是不无可能的。
在西方有所谓海伦公式(a、b、c是三角形三边的长):
三角形面积=
这一公式形式十分漂亮。
正因为这样,如果已知海伦公式而再来推出秦的公式,将是不可思议的。
相反,从秦的公式化简成海伦的公式,却是比较自然的发展。
据此我们至少可以断言,秦的公式是独立于海伦公式而得来的。
关于海伦的生平,从公元前二世纪到公元后十世纪以后,数学史家聚讼纷纭。
至于海伦留传到现在的著作,也已经人指出,历代都经过重新编纂,有所增改,已经不是本来面目。
这是熟悉希腊数学史的应予澄清的事,这里就不考虑了。
开平、立方
从勾、股求弦,先把勾、股平方后相加,再开平方就得弦。
因而勾股定理的应用自然导致开平方的问题。
事实上,《周髀》中已经给出了若干具体数目的平方根,而在《九章》中,更详细说明了开平方的具体方法步骤。
这一方法的根据是几何的,就是出入相补原理。
试以求55225的平方根为例。
这相当于已知正方形ABCD的面积是55225,求边AB的长,见上图。
按我国记数用十进位位值制。
因AB显然是一个百位数,所以求AB的方法就是依次求出百位数字、十位数字和个位数字。
先估计(《九章》中用“议”字)百位数字是2,因而在AB上截取AE=200,并且作正方形AEFG,它
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