初一升初二数学暑期衔接教辅.docx
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初一升初二数学暑期衔接教辅
初一升初二暑期数学辅导资料
第一讲三角形总复习
第二讲如何做几何证明题
第三讲勾股定理
第四讲平方根
第五讲立方根
第六讲实数
第七讲非负数的性质及应用
第八讲分母有理化
第九讲二次根式的混合运算
第十讲平行四边形的性质
第十一讲平行四边形的判定
第十二讲菱形
第十三讲《勾股定理》质量检测
第十四讲《实数》质量检测
第十五讲《二次根式》质量检测
第十六讲综合评估
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乐教、诚毅、奉献、创新
第一讲、三角形总复习
【知识精读】
1.三角形的求证:
说明:
在角度不定的情况下比较两角大小,如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。
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乐教、诚毅、奉献、创新
2.三角形三边关系的应用
说明:
在分析此问题时,首先将求证式变形,得2AMABAC,然后通过倍长中线的方法,相当于将AMC绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形,把AC、AB、2AM转化到同一三角形中,利用三角形三边不等关系,达到解决问题的目的。
很自然有11ABACAMABAC。
请同学们自己试着证明。
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3.角平分线定理的应用
说明:
本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG=MB。
同时要注意不必证明三角形全等,否则就是重复判定定理的证明过程。
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乐教、诚毅、奉献、创新
4.全等三角形的应用
(1)构造全等三角形解决问题
例4.已知如图4,△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC是顶角(∠BDC)为
交AC于N,MNBMCN。
采用旋转构造全等的方法来解决。
说明:
通过旋转,使已知图形中的角、线段充分得到利用,促进了问题的解决。
(2)“全等三角形”在综合题中的应用
例5.如图5,已知:
点C是∠FAE的平分线AC上一点,CE⊥AE,CF⊥AF,E、F为垂10。
求AC
乐教、诚毅、奉献、创新分析:
要求AC的长,需在直角三角形ACE中知AE、CE的长,而AE、CE均不是已知长度的线段,这时需要通过证全等三角形,利用其性质,创设条件证出线段相等,进而求出AE、CE的长,使问题得以解决。
5、中考点拨
例1.
如图,在ABC中,已知∠B和∠C的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC,交AB
6、题型展示
例1.已知:
如图6,ABC中,AB=AC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE垂直BD的延长线于E,AE1BD。
2
求证:
BD平分∠ABC
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说明:
通过补形构造全等,沟通了已知和未知,打开了解决问题的通道。
例2.某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。
如图7,在正三角形ABC,求∠BPD=?
在解此数学问题时,要用到全等三角形的知识。
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乐教、诚毅、奉献、创新
【实战模拟】
1.填空:
等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm,则这个等腰三角形底边的长为____________。
2.在锐角ABC中,高AD和BE交于H
3.如图所示,D是ABC的∠ACB与∠B的大小关系。
4.如图所示,AB=AC,∠BAC=90°,M是求证:
∠AMB=∠CMD
5.设三个正数a、b、c满足abc某个三角形三边的长。
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乐教、诚毅、奉献、创新
第二讲、如何做几何证明题
【知识精读】
1.几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种基本类型:
一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2.掌握分析、证明几何问题的常用方法:
(1)综合法(由因导果),从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐步向前推进,直到问题的解决;
(2)分析法(执果索因)从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实为止;
(3)两头凑法:
将分析与综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论的距离,最后达到证明目的。
3.掌握构造基本图形的方法:
复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目的。
【分类解析】
1、证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质,其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
例1.已知:
如图1求证:
DE=DF
乐教、诚毅、奉献、创新分析:
由ABC是等腰直角三角形可知,AB45,由D是AB中点,可考虑连结CD,易得CDAD,DCF45。
从而不难发现DCFDAE
说明:
在直角三角形中,作斜边上的中线是常用的辅助线;在等腰三角形中,作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。
显然,在等腰直角三角形中,更应该连结CD,因为CD既是斜边上的中线,又是底边上的中线。
本题亦可延长ED到G,使DG=DE,连结BG,证EFG是等腰直角三角形。
有兴趣的同学不妨一试。
说明:
利用三角形全等证明线段求角相等。
常须添辅助线,制造全等三角形,这时应注意:
(1)制造的全等三角形应分别包括求证中一量;
(2)添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。
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2、证明直线平行或垂直
在两条直线的位置关系中,平行与垂直是两种特殊的位置。
证两直线平行,可用同位角、求证:
FD⊥
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说明:
有等腰三角形条件时,作底边上的高,或作底边上中线,或作顶角平分线是常用辅助线。
证明二:
如图5
说明:
证明两直线垂直的方法如下:
(1)首先分析条件,观察能否用提供垂直的定理得到,包括添常用辅助线,见本题证二。
(2)找到待证三直线所组成的三角形,证明其中两个锐角互余。
(3)证明二直线的夹角等于90°。
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3、证明一线段和的问题
(一)在较长线段上截取一线段等一较短线段,证明其余部分等于另一较短线段。
(截长法)
例5.已知:
如图6所示在ABC中,B60,∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。
60,,得:
(二)延长一较短线段,使延长部分等于另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证明该线段等于较长线段。
(补短法)
例6.已知:
如图7所示,正方形ABCD中,F在DC上,E在BC上,EAF45。
求证:
EF=BE+分析:
使BG=DF。
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4、中考题:
如图8所示,已知ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=例题:
已知:
如图9所示,12,ABAC。
DF
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3.已知:
如图13所示,过ABC的顶点A,在∠A内任引一射线,过B、C作此射线的垂线BP和CQ。
设M为BC的中点。
求证:
MP=MQ
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4.ABC中,BAC90,ADBC于D,求证:
AD
1
ABACBC4
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第三讲勾股定理
[情景引入]
【知识要点】
1、勾股定理是:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,即:
a2b2c2
2、勾股定理逆定理:
如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2那么这个三角形是直角三角形。
【典型习题】
例1、如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于()
A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm
例2、求下列各图字母中所代表的正方形的面积。
SASBSCSD例3、如图,一次“台风”过后,一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断,倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处,那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高?
2.8
9.6
例4、如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形
的边和长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm
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米
乐教、诚毅、奉献、创新例5、在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵
齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水深是________m。
例6、为丰富少年儿童的业余文化生活,某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书阅览室,该社区有两所学校,所在的位置分别在点C和点D处。
CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,已知AB=25km,CA=15km,DB=10km,试问:
阅览室E建在距A点多远时,才能使它到C、D两所学校的距离相等?
C
D
例7、如图所示,MN表示一条铁路,A、B是两个城市,它们到铁路的所在直线MN的垂直距离分别AA1=20km,BB1=40km,A1B1=80km.现要在铁路A1,B1=80km。
现要在铁路A1,B1之间设一个中转站P,使两个城市到中转站的距离之和最短。
请你设计一种方案确定P点的位置,并求这个最短距离。
例8、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:
小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时,如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方30米B处,过了2秒后,测得小汽车C与车速检测仪A间距离为50米,这辆小汽车超速了吗?
例9、如图是一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为20分米、3分米、2分米,A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短的路程是多少?
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乐教、诚毅、奉献、创新
例10、直角三角形的周长为24,斜边长为10,则其面积为_______
例11、如图,一个长为10米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直高度为8米,
梯子的顶端下滑2米后,底端也水平滑动2米吗?
试说明理由。
BC
例12、如图2—5—4所示,某市住宅社区在相邻两楼之间修建一个仿古通道,它的上方是一个半圆,下方是长方形,现有一辆卡车装满家具后,高4米,宽2.8米,请问这辆送家具的卡车能通过这个通道吗?
图2—5—4
例13、甲、乙两船同时从A港出发,甲朝北偏东60°方向行驶,乙朝南偏东30°方向行驶。
已知甲、乙两船的航速分别为45千米/时和50千米/时,经2小时航行后,试估算两船相距多少千米?
(精确到0.1千米)
例14、如图1—3—10,已知直角三角形ABC的三边分别为6、8、10,分别以它的三边为直径向上作三个半圆,求图中阴影部分的面积。
、
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图1—3—10
乐教、诚毅、奉献、创新
【随堂练习】
一、填空
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- 初一 初二 数学 暑期 衔接 教辅