C语言经典算法大全Word格式.docx
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,&
n);
hanoi(n,'
A'
'
B'
C'
return0;
说明
Fibonacci为1200年代的欧洲数学家,在他的着作中曾经提到:
「若有一只免子每个月生一只小免子,一个月后小免子也开始生产。
起初只有一只免子,一个月后就有两只免子,二个月后有三只免子,三个月后有五只免子(小免子投入生产)......。
如果不太理解这个例子的话,举个图就知道了,注意新生的小免子需一个月成长期才会投入生产,类似的道理也可以用于植物的生长,这就是Fibonacci数列,一般习惯称之为费氏数列,例如以下:
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89......
解法
依说明,我们可以将费氏数列定义为以下:
fn=fn-1+fn-2 ifn>
1
fn=n ifn=0,1
#defineN20
intmain(void){
intFib[N]={0};
inti;
Fib[0]=0;
Fib[1]=1;
for(i=2;
i<
N;
i++)
Fib[i]=Fib[i-1]+Fib[i-2];
for(i=0;
Fib[i]);
\n"
#defineN12
longcombi(intn,intr){
longp=1;
for(i=1;
=r;
p=p*(n-i+1)/i;
returnp;
voidmain()
{
intn,r,t;
for(n=0;
n<
=N;
n++){
for(r=0;
r<
=n;
r++){
/*排版设定开始*/
if(r==0){
=(N-n);
}else{
}/*排版设定结束*/
%3d"
combi(n,r));
三色旗的问题最早由所提出,他所使用的用语为DutchNationFlag(Dijkstra为荷兰人),而多数的作者则使用Three-ColorFlag来称之。
假设有一条绳子,上面有红、白、蓝三种颜色的旗子,起初绳子上的旗子颜色并没有顺序,您希望将之分类,并排列为蓝、白、红的顺序,要如何移动次数才会最少,注意您只能在绳子上进行这个动作,而且一次只能调换两个旗子。
在一条绳子上移动,在程式中也就意味只能使用一个阵列,而不使用其它的阵列来作辅助,问题的解法很简单,您可以自己想像一下在移动旗子,从绳子开头进行,遇到蓝色往前移,遇到白色留在中间,遇到红色往后移,如下所示:
只是要让移动次数最少的话,就要有些技巧:
如果图中W所在的位置为白色,则W+1,表示未处理的部份移至至白色群组。
如果W部份为蓝色,则B与W的元素对调,而B与W必须各+1,表示两个群组都多了一个元素。
如果W所在的位置是红色,则将W与R交换,但R要减1,表示未处理的部份减1。
注意B、W、R并不是三色旗的个数,它们只是一个移动的指标;
什幺时候移动结束呢?
一开始时未处理的R指标会是等于旗子的总数,当R的索引数减至少于W的索引数时,表示接下来的旗子就都是红色了,此时就可以结束移动,如下所示:
#defineBLUE'
b'
#defineWHITE'
w'
#defineRED'
r'
#defineSWAP(x,y){chartemp;
\
temp=color[x];
color[x]=color[y];
color[y]=temp;
charcolor[]={'
'
\0'
};
intwFlag=0;
intbFlag=0;
intrFlag=strlen(color)-1;
strlen(color);
%c"
color[i]);
while(wFlag<
=rFlag){
if(color[wFlag]==WHITE)
wFlag++;
elseif(color[wFlag]==BLUE){
SWAP(bFlag,wFlag);
bFlag++;
rFlag&
&
color[rFlag]==RED)
rFlag--;
SWAP(rFlag,wFlag);
说明老鼠走迷宫是递回求解的基本题型,我们在二维阵列中使用2表示迷宫墙壁,使用1来表示老鼠的行走路径,试以程式求出由入口至出口的路径。
解法老鼠的走法有上、左、下、右四个方向,在每前进一格之后就选一个方向前进,无法前进时退回选择下一个可前进方向,如此在阵列中依序测试四个方向,直到走到出口为止,这是递回的基本题,请直接看程式应就可以理解。
intvisit(int,int);
intmaze[7][7]={{2,2,2,2,2,2,2},
{2,0,0,0,0,0,2},
{2,0,2,0,2,0,2},
{2,0,0,2,0,2,2},
{2,2,0,2,0,2,2},
{2,2,2,2,2,2,2}};
intstartI=1,startJ=1;
;
voidbacktrack(inti){
intj;
if(i>
N){
showAnswer();
for(j=1;
j<
j++){
if(column[j]==1&
rup[i+j]==1&
lup[i-j+N]==1){
queen[i]=j;
hanoihanoihanoihanoihanoihanoihanoihanoihanoihanoihanoihanoihanoihanoihanoi
ize;
s<
=LIMIT;
s++){
p=s-a[i].size;
newvalue=value[p]+a[i].price;
if(newvalue>
value[s]){ize){
%s\t%d\n"
a[item[i]].name,a[item[i]].price);
合计\t%d\n"
value[LIMIT]);
Java
classFruit{
privateStringname;
privateintsize;
privateintprice;
publicFruit(Stringname,intsize,intprice){
=name;
=size;
=price;
publicStringgetName(){
returnname;
publicintgetPrice(){
returnprice;
publicintgetSize(){
returnsize;
publicclassKnapsack{
publicstaticvoidmain(String[]args){
finalintMAX=8;
finalintMIN=1;
int[]item=newint[MAX+1];
int[]value=newint[MAX+1];
Fruitfruits[]={
newFruit("
李子"
4,4500),
苹果"
5,5700),
橘子"
2,2250),
草莓"
1,1100),
甜瓜"
6,6700)};
for(inti=0;
i++){
for(ints=fruits[i].getSize();
=MAX;
intp=s-fruits[i].getSize();
intnewvalue=value[p]+
fruits[i].getPrice();
value[s]){etSize()){
\t"
+fruits[item[i]].getPrice());
合计\t"
+value[MAX]);
说明蒙地卡罗为摩洛哥王国之首都,该国位于法国与义大利国境,以赌博闻名。
蒙地卡罗的基本原理为以乱数配合面积公式来进行解题,这种以机率来解题的方式带有赌博的意味,虽然在精确度上有所疑虑,但其解题的思考方向却是个值得学习的方式。
解法蒙地卡罗的解法适用于与面积有关的题目,例如求PI值或椭圆面积,这边介绍如何求PI值;
假设有一个圆半径为1,所以四分之一圆面积就为PI,而包括此四分之一圆的正方形面积就为1,如下图所示:
如果随意的在正方形中投射飞标(点)好了,则这些飞标(点)有些会落于四分之一圆内,假设所投射的飞标(点)有n点,在圆内的飞标(点)有c点,则依比例来算,就会得到上图中最后的公式。
至于如何判断所产生的点落于圆内,很简单,令乱数产生X与Y两个数值,如果X^2+Y^2等于1就是落在圆内。
#defineN50000
inti,sum=0;
doublex,y;
srand(time(NULL));
x=(double)rand()/RAND_MAX;
y=(double)rand()/RAND_MAX;
if((x*x+y*y)<
1)
sum++;
PI=%f\n"
(double)4*sum/N);
说明除了自身之外,无法被其它整数整除的数称之为质数,要求质数很简单,但如何快速的求出质数则一直是程式设计人员与数学家努力的课题,在这边介绍一个着名的Eratosthenes求质数方法。
解法首先知道这个问题可以使用回圈来求解,将一个指定的数除以所有小于它的数,若可以整除就不是质数,然而如何减少回圈的检查次数?
如何求出小于N的所有质数?
首先假设要检查的数是N好了,则事实上只要检查至N的开根号就可以了,道理很简单,假设A*B=N,如果A大于N的开根号,则事实上在小于A之前的检查就可以先检查到B这个数可以整除N。
不过在程式中使用开根号会精确度的问题,所以可以使用i*i<
=N进行检查,且执行更快。
再来假设有一个筛子存放1~N,例如:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21........N
先将2的倍数筛去:
2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21........N
再将3的倍数筛去:
2 3 5 7 11 13 17 19 ........N
再来将5的倍数筛去,再来将7的质数筛去,再来将11的倍数筛去........,如此进行到最后留下的数就都是质数,这就是Eratosthenes筛选方法(EratosthenesSieveMethod)。
检查的次数还可以再减少,事实上,只要检查6n+1与6n+5就可以了,也就是直接跳过2与3的倍数,使得程式中的if的检查动作可以减少。
实作
C
#defineN1000
inti,j;
intprime[N+1];
prime[i]=1;
i*i<
i++){....]-
[4/239-4/(3*2393)+4/(5*2395)-4/(7*2397)+......]
可以将这个公式整理为:
PI=[16/5-4/239]-[16/(53)-4/(2393)]/3+[16/(55)-4/(2395)]/5+......
也就是说第n项,若为奇数则为正数,为偶数则为负数,而项数表示方式为:
[16/52*n-1-4/2392*n-1]/(2*n-1)
如果我们要计算圆周率至10的负L次方,由于[16/52*n-1-4/2392*n-1]中16/52*n-1比4/2392*n-1来的大,具有决定性,所以表示至少必须计算至第n项:
[16/52*n-1]/(2*n-1)=10-L
将上面的等式取log并经过化简,我们可以求得:
n=L/(2log5)=L/
所以若要求精确度至小数后L位数,则只要求至公式的第n项,其中n等于:
n=[L/]+1
在上式中[]为高斯符号,也就是取至整数(不大于L/的整数);
为了计简方便,可以在程式中使用下面这个公式来计简第n项:
[Wn-1/52-Vn-1/(2392)]/(2*n-1)
这个公式的演算法配合大数运算函式的演算法为:
div(w,25,w);
div(v,239,v);
sub(w,v,q);
div(q,2*k-1,q)
至于大数运算的演算法,请参考之前的文章,必须注意的是在输出时,由于是输出阵列中的整数值,如果阵列中整数位数不满四位,则必须补上0,在C语言中只要使用格式指定字%04d,使得不足位数部份自动补上0再输出,至于Java的部份,使用NumberFormat来作格式化。
#defineL1000
#defineNL/4+1
s[0]);
for(k=1;
k<
k++)
%04d"
s[k]);
voidadd(int*a,int*b,int*c){
inti,carry=0;
for(i=N+1;
i>
=0;
i--){
c[i]=a[i]+b[i]+carry;
if(c[i]<
10000)
carry=0;
else{....,这只要使用除法与余数运算就可以了,例如输入input为abc,则:
a=input/100
b=(input%100)/10
c=input%10
inta,b,c;
intinput;
寻找Armstrong数:
for(input=100;
input<
=999;
input++){
a=input/100;
b=(input%100)/10;
c=input%10;
if(a*a*a+b*b*b+c*c*c==input)
input);
现将举行一个餐会,让访客事先填写到达时间与离开时间,为了掌握座位的数目,必须先估计不同时间的最大访客数。
这个题目看似有些复杂,其实相当简单,单就计算访客数这个目的,同时考虑同一访客的来访时间与离开时间,反而会使程式变得复杂;
只要将来访时间与离开时间分开处理就可以了,假设访客i的来访时间为x[i],而离开时间为y[i]。
在资料输入完毕之后,将x[i]与y[i]分别进行排序(由小到大),道理很简单,只要先计算某时之前总共来访了多少访客,然后再减去某时之前的离开访客,就可以轻易的解出这个问题。
#defineMAX100
#defineSWAP(x,y){intt;
t=x;
x=y;
y=t;
intpartition(int[],int,int);
voidquicksort(int[],int,int);
1953年三月十七日
....
[7]80......
[]......
[]708080......
[70]8080......
[7080]80......
插入排序
像是玩朴克一样,我们将牌分作两堆,每次从后面一堆的牌抽出最前端的牌,然后插入前面一堆牌的适当位置,例如:
排序前:
67
[7792]854367将77插入92前
[677792]4367将67插入77前
[8677792]367将8插入67前
[]67将6插入8前
[92]将84插入92前
[8492]854367将55插入67前
[848592]4367......
[]67......
[92]......
气泡排序法
顾名思义,就是排序时,最大的元素会如同气泡一样移至右端,其利用比较相邻元素的方法,将大的元素交换至右端,所以大的元素会不断的往右移动,直到适当的位置为止。
基本的气泡排序法可以利用旗标的方式稍微减少一些比较的时间,当寻访完阵列后都没有发生任何的交换动作,表示排序已经完成,而无需再进行之后的回圈比较与交换动作,例如:
50
[95]95浮出
691850[9095]90浮出
1850[809095]80浮出
50[]......
[95]......
691827[9095]......
6918[809095]由于接下来不会再发生交换动作,排序提早结束
在上面的例子当中,还加入了一个观念,就是当进行至i与i+1时没有交换的动作,表示接下来的i+2至n已经排序完毕,这也增进了气泡排序的效率。
#defineMAX10
voidselsort(int[]);
3)\n"
voidselsort(intnumber[]){
inti,j,k,m;
MAX-1;
m=i;
for(j=i+1;
MAX;
j++)
if(number[j]<
number[m])
m=j;
if(i!
=m)
SWAP(number[i],number[m])
第%d次排序:
i+1);
for(k=0;
number[k]);
voidinsort(intnumber[]){
inti,j,k,tmp;
tmp=number[j];
i=j-1;
while(tmp<
number[i]){
number[i+1]=number[i];
i--;
if(i==-1)
break;
number[i+1]=tmp;
j);
voidbubsort(intnumber[]){
inti,j,k,flag=1;
MAX-1&
flag==1;
flag=0;
for(j=0;
MAX-i-1;
if(number[j+1]<
number[j]){
SWAP(number[j+1],number[j]);
flag=1;
插入排序法由未排序的后半部前端取出一个值,插入已排序前半部的适当位置,概念简单但速度不快。
排序要加快的基本原则之一,是让后一次的排序进行时,尽量利用前一次排序后的结果,以加快排序的速度,Shell排序法即是基于此一概念来改良插入排序法。
Shell排序法最初是于1959所提出,假设要
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