新人教版必修四高中数学121任意角的三角函数教案Word格式.docx
- 文档编号:20810453
- 上传时间:2023-01-25
- 格式:DOCX
- 页数:7
- 大小:24.86KB
新人教版必修四高中数学121任意角的三角函数教案Word格式.docx
《新人教版必修四高中数学121任意角的三角函数教案Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《新人教版必修四高中数学121任意角的三角函数教案Word格式.docx(7页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
另外,这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接,数形结合更加紧密,这就为后续内容的学习带来方便,也使三角函数更加好用了.
教学用具:
投影机、三角板、圆规、计算器
四、教学设想
第一课时
【创设情境】
提问:
锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示?
借助右图直角三角形,复习回顾.
引入:
锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
如图,设锐角?
的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那
么它的终边在第一象限.在?
的终边上任取一点(,)Pab,它与原点的距离220rab?
?
.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.则sinMPbOPr?
;
cosOMaOPr?
tanMPbOMa?
.
思考:
对于确定的角?
,这三个比值是否会随点P在?
的终边上的位置的改变而改变呢?
显然,我们可以将点取在使线段OP的长1r?
的特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:
y
P(a,b)
r?
OMa的终边
P(x,yO
x
y
3/8
sinMPbOP?
cosOMaOP?
tanMPbOMa?
.思考:
上述锐角?
的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后,我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢?
本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】
1.探究:
结合上述锐角?
的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:
在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:
如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
如图,设?
是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)Pxy,那么:
(1)y叫做?
的正弦(sine),记做sin?
即siny?
;
(2)x叫做?
的余弦(cossine),记做cos?
即cosx?
(3)yx叫做?
的正切(tangent),记做tan?
即tan(0)yxx?
注意:
当α是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在);
当α不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点(,)Pxy,从而就必然能够最终算出三角函数值.
3.思考:
如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离22rxy?
那么22sinyxy?
22cosxxy?
tanyx?
.所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.
4/8
4.例题讲评
例1.求53?
的正弦、余弦和正切值.例2.已知角?
的终边过点0(3,4)P?
,求角?
的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题,主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:
如例2:
设3,4,xy?
则22(3)(4)5r?
于是
4sin5yr?
3cos5xr?
4tan3yx?
.5.巩固练习17P第1,2,3题
6.探究:
请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表;
再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中:
三角函数定义域第一象限第二象限第三象限第四象限角度制弧度制
sin?
cos?
tan?
7.例题讲评
例3.求证:
当且仅当不等式组sin0{tan0?
成立时,角?
为第三象限角.
8.思考:
根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?
显然:
终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
sin
(2)sink?
cos
(2)cosk?
(其中kZ?
)tan
(2)tank?
9.例题讲评
例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:
(1)cos250?
(2)sin()4?
(3)tan(672)?
(4)tan3?
5/8
例5.求下列三角函数值:
(1)'
sin148010?
(2)9cos4?
(3)11tan()6?
利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2?
(或0?
到360?
)角的三角函数值.另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题.
10.巩固练习
11.学习小结
(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?
(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?
(3)请写出各三角函数的定义域;
(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?
你在解题时会准确熟练应用公式一吗?
五、评价设计
1.作业:
习题1.2A组第1,2题.
2.比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?
要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.
第二课时
【复习回顾】
1、三角函数的定义;
2、三角函数在各象限角的符号;
3、三角函数在轴上角的值;
4、诱导公式
(一):
终边相同的角的同一三角函数的值相等;
5、三角函数的定义域.
要求:
记忆.并指出,三角函数没有定义的地方一定是在轴上角,所以,凡是碰到轴上角时,要结合定义进行分析;
并要求在理解的基础上记忆.
6/8
【探究新知】
1.引入:
角是一个图形概念,也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数——三角函数是一个数量概念(比值),但它是否也是一个图形概念呢?
换句话说,能否用几何方式来表示三角函数呢?
2.[边描述边画]以坐标原点为圆心,以单位长度1为半径画一个圆,这个圆就叫做单位圆(注意:
这个单位长度不一定就是1厘米或1米).当角?
为第一象限角时,则其终边与单位圆必有一个交点(,)Pxy,过点P作PMx?
轴交x轴于点M,则请你观察:
根据三角函数的定义:
|||||sin|MPy?
|||||cos|OMx?
随着?
在第一象限内转动,MP、OM是否也跟着变化?
3.思考:
(1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段MP、OM规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致?
(2)你能借助单位圆,找到一条如MP、OM一样的线段来表示角?
的正切值吗?
我们知道,指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角?
的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点,规定:
当线段OM与x轴同向时,OM的方向为正向,且有正值x;
当线段OM与x轴反向时,OM的方向为负向,且有正值x;
其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有
cosOMx?
同理,当角?
的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点,规定:
当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正向,且有正值y;
当线段MP与y轴反向
时,MP的方向为负向,且有正值y;
其中y为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有O
xy
PT
MA
7/8
sinMPy?
4.像MPOM、这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段(directlinesegment).
5.如何用有向线段来表示角?
的正切呢?
如上图,过点(1,0)A作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与?
的终边交于点T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OAAT、,我们有
tanyATx?
我们把这三条与单位圆有关的有向线段MPOMAT、、,分别叫做角?
的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.
6.探究:
(1)当角?
的终边在第二、第三、第四象限时,你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗?
(2)当?
的终边与x轴或y轴重合时,又是怎样的情形呢?
7.例题讲解
例1.已知42?
,试比较,tan,sin,cos?
的大小.
处理:
师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质.8.练习
8/8
9学习小结
(1)了解有向线段的概念.
(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角?
的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.
(3)体会三角函数线的简单应用.【评价设计】
比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)
(1)sin15?
、tan15?
(2)'
cos15018?
、cos121?
(3
)5?
、tan5?
2.练习三角函数线的作图.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 新人 必修 高中数学 121 任意 三角函数 教案
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)