数学选择性必修一椭圆强化练文档格式.docx
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C3解析:
选C.由题意#知2/?
=8,得b=4,所以b2=a2-c2=16•又幺二厂扌/
解得C二3,二5•又焦点在A-轴上,故椭圆的标准方程为芒+£
二1.
4.已知以Fi(-2,0),F2Q,0)为焦点的椭圆与直线x+V3y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为()
A.3返B.2&
C.2^7D・4^2
选C.设椭圆方程为芋+$=1@>力>0),
b^+ay2-a2b2=0,
得(a?
+3b2))^+8^/3Z?
2y+16b2-a2b2=0#由J=0
x+yj3y+4=0
及c=2f可得/二7#所以2g=2羽•故选C.
分成5:
3的两段,则此椭圆的离心率为(
)
R如
17
u・5
5・若椭圆R+京=1@”>0)的左、右焦点分别为F』,线段F1F2被点(刁0
16
A17
h
…c+25
选D.依题意得、=§
所以c=2b,
c'
2
所以q二寸,+”二逅b,所以e二专二二
6.椭圆£
+耳=1的一个焦点为鬥,点P在椭圆上.如果线段PR的中点
M在y轴上,那么点M的纵坐标是()
选A.由题可得c=万二3,不妨令F,(-3,0),因为PF,的中点
在y轴上,所以设P(3,>-o),由点P在椭圆吉+j=1上,得yo=土誓,所以点
7.已知F为椭圆C:
缶+£
=1(°
>方>0)的左焦点,点F关于直线x+y=0的对称点A在椭圆C±
则椭圆C的离心率为()
A.乎B警
c普D|
选B・设F(-cf0)f由题意知点A的坐标为(0,c)f因为点A在椭圆
C上,所以h=c,所以a2=b2+(r=2c2,即d二,所以椭圆C的离心率为十=
质芈•故选B.
8.若直线mx+ny=4和圆0x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆£
+£
=1的交点个数为()
B.1
A.2
C.0
D.0或1
4
选A.由题意,得-厂,——>
2,所以胪+屆4,所以点P(m,⑴是在A/7H2+H2
以原点为圆心z2为半径的圆内的点,
所以点P(in,”)在椭圆刍+]=1内,则过点P(m,“)的直线与椭圆令+]二1有2个交点.故选A.
9.设Fi,尺是椭圆寺+〒=1的两个焦点,P是椭圆上的点,filPFil:
\PFi\=2:
1,则△FiPE的面积为()
A.5B.4
C.3D.1
选B.由椭圆方程,得"
=3,二2•所以c二帝,所以\PFi\+\PFi\=2a=6.又IPFil:
\PF2\=2:
1,所以IPFil二4,\PFi\=2.又IF1F2I二2逅,22+42=(2^5)2,所以HF'
PF?
是直角三角形,所以△尺PE的面积为*IPF|l・IPF2l=*X4X2二4•故
选B.
10.若O和F分别为椭圆亍+才T的中心和左焦点,P为椭圆上的任意一点,则丽•序的最大值为()
A.2B.3
C.6D.8
选C.由题意得点F(-1,0),设点P(ao,yo),则有予+¥
二1,可得)6=3|1-屮)(-2Wx°
W2).
因为帀=(xo+1zyo),OP=(x0,>
-o),
所以OPFP=xQ(x0+\)+yl
此二次函数的图象的对称轴为直线也二-2.
a一92
又-2WxoW2z所以当xo=2时'
OP•序取得最大值;
最大值为亍+2+3=
二、填空题
22
11.已知椭圆和+£
=1(加>
0)的左焦点为F1C-4,0),则它的离心率为
解析:
由题意,得亦二9+42二25,因为/n>
0f所以m=5,所以椭圆的离心率为壬
答案:
5
12.已知椭圆的焦点在y轴上,椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为8,焦距为2作,则此椭圆的标准方程为.
由题意,知2«
=8,2c=2\[\5,所以a=4,c=y[\5,所以b2=a2-宀16-15=1.又椭圆的焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为話+宀1.
話+疋=1
13•椭圆mx2+ny2=1与直线y=1—x交于M,N两点,过原点与线段MTV
中点所在直线的斜率为罟,则扌的值是
mx2+ny2=1;
由〈消去y得,
V=1-X
(m+n)%2-2nx+n-1二0.
设M(xi,yi),N(X2,户),
MN中点为(xotyo)t
nil2n
贝!
Jx\+xi=f
由题武缨,所吧逹
X2V2\3
14.在平面直角坐标系2)冲,椭圆C:
卩+戸=l(Qb>
0)的离心率为于直线)=x被椭圆c截得的线段长为警,则椭圆C的方程为.
可得a2=4b2.
椭圆C的方程可化简为X2+4),2二«
2.
将)uA代入可得A=土芈^,
因此,可得"
二2.
因此b二1.
所以椭圆C的方程为£
+)2=1.
壬+〉2=1
三、解答题
15.求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2);
(2)离心率为咅,且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26.
解:
⑴由焦距是4可得c二2,
又焦点在y轴上,则焦点坐标为(0,-2),(0f2).
由椭圆的定义,知2。
二<
3?
+(2+2尸+寸3?
+(2-2尸二8,所以a=4,所以Z?
2=rr-c2=16-4=12.
所以椭圆的标准方程为召+注1•
⑵由题意,知2a=26,即a=13,
r5
又e二方二訝/所以c=5,
所以/?
2=«
2-c2=132-52=144,
因为焦点所在的坐标轴不确定z
16•设Fi,E分别是椭圆E:
卩+京=l@>
b>
0)的左、右焦点,过点Fi
的直线交椭圆E于A,B两点,L4Fil=3IBFil.
⑴若L4BI=4,△ABF2的周长为16,求LAFzl;
(2)若cosZAF2B=y求椭圆E的离心率.
(1)由IAFil=3IFiBI,\AB\=4,
得L4Fil=3,IF/I二1.
因为△ABE的周长为16,
所以由椭圆定义可得4。
二16,
L4F1I+IAF2I=2a=S・
KLAFzl=2a-LAFil二8-3二5.
(2)设IFiBI二J则斤>
0,
且L4Fil=3k,\AB\=4k.
由椭圆定义可得IAF2I=加-3J13門二2“-化
在△A3F2中,由余弦定理可得L4BP=IAF2I2+IBF2卩-2\AF^\BF^cqsAAFiB,即(4灯2=(2a-3k)2+(2a-k)~-|(2t/-3灯・(2“-灯,化简可得(a+k)(a-3R)二0,而a+k>
0,古攵a二3R.
于是有UF2I=3A:
=IAFiI,IBF2I=5k.
因此1阴卩=IF2AI2+L4BI2,
可彳耳FiA丄F2A,
故△4尺尺为等腰直角三角形.
所以椭圆E的离心率e二十二¥
•
17.已知椭圆C:
亍+尸=1.
(1)求椭圆c的离心率;
(2)已知定点E(-l,0),若直线)=匕+2伙工0)与椭圆交于A,B两点,是否存在实数匕使得以为直径的圆过点E?
若存在,求出k的值;
若不存在,请说明理山.
解:
(1)由题意,知a2=3,b2=1,
则。
二羽,c=yja2-b2二-\[2,
所以椭圆c的离心率为十=曙=晋.
⑵假设存在实数k满足条件,
{
y=kx+2,
得(1+3Q)x2+12也+9=0z
所以丿=(12^)2-36(1+3f)>
0,即k>
l或Rv-1.
设,yi),B(xi,yi),
而y\72=g\+2)(te+2)=lcx\X2+2k(x\+xi)+4.
要使以A3为直径的圆过点E(-1f0),只需AE丄BEz
即=0fB卩yi》2+(x>
+1)(%2+1)=0,所以(Q+1)X1X2+(2k+1)(X1+X2)+5=0.②将①代入②,解得4,满足题意.
7
综上,存在2「使得以AB为直径的圆过点E.
V2V2、&
18.如图,椭圆E:
/>
/7>
0)的离心率是专,点P(0,1)在短轴
CD上,且花•PD=-\.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点,是否存在常数久,使得鬲・OB^XPA•两为定值?
若存在,求2的值;
若不存在,请说明理由.
(1)由已知,点C,D的坐标分别为(0,-b),(0,b).
又点P的坐标为(0z1)z
fipc-pb=-1,
"
1-Z?
2=-1z
于是覽二半,解得a=2,b=d
^a2-b2=(r,
所以椭圆E的方程为占+£
(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=/oc+\,点A,3的坐标分别为gfVl)z(X2tV2)・
联立直线与椭圆方程得
得(2以+1用+4尬-2二0・
其判别式J=(4好+8(2/+1)>
0恒成立.
由根与系数的关系可得,
从而#OAOB+XPAPB=x\X2+y\yi+A[xi%2+(yi-1)(^2-1)]二(1+2)(1+(-22-4)Z:
2+(-2x・])A-1
lc)xiX2+k(x\+x?
)+1=;
=--:
2-2,
2疋+12k2+\
A-\
所以当久=1时,-「z-2=-3.
2^+1
此时,OAOB+^PB=-3为定值.
当直线AB的斜率不存在时z直线AB即直线CD.
此时,OAOB+XPAPB=OCOD+PCPD=-2-1=-3.
故存在常数久二1,使得OAOB+a^PB为定值-3.
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