专题16数列中项数问题Word格式.docx

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−2+𝑛

−1（𝑛

≥3）（3）57

【解析】

（I）𝐴

∗}={3,5,7,9,11,13,⋅⋅⋅,2𝑛

+1,⋅⋅⋅},

∗}={1,2,4,8,16,32,⋅⋅⋅,2𝑛

−1,⋅⋅⋅}，

={1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,⋅⋅⋅}.

因为𝑎

≥2,𝑛

∗，𝑎

−1}，

所以𝑎

1=1,𝑎

2=2,𝑎

3=3,𝑎

4=4,𝑎

5=5,𝑎

6=7,𝑎

7=8,𝑎

8=9.

（II）对于任意𝑛

所以对于任意𝑛

−1，

即数列{𝑎

}为单调递增数列.

因为对于任意𝑛

所以𝑘

1<

𝑘

2<

3<

┅<

<

┅．

𝑛

+1

=2𝑛

−1，𝑎

，所以对于任意𝑛

∗，有𝑘

1=1，𝑘

2=2，𝑘

3=4，所以，当𝑛

≥2时，有𝑘

+1−

=2𝑛

−2𝑛

−1+1=2𝑛

−2+1，

2

即𝑘

3−𝑘

2=20+1，

4−𝑘

3=21+1，

5−𝑘

4=22+1，

…………

−𝑘

−1=2𝑛

−3+1，

所以当𝑛

≥3时，

有𝑘

−𝑘

=20+21+22+⋅⋅⋅+2𝑛

−3+（𝑛

−2）=1−2𝑛

−2+（𝑛

−2）=2𝑛

−3（𝑛

≥3），

1−2

≥3）.

又𝑘

2=2，

数列{𝑘

}的通项公式为：

1,  𝑛

=1,

=�2𝑛

−1,  𝑛

≥2

.

（III）若∀ 𝑛

∗，∃ 𝑘

+1，

令2𝑚

𝑚

−1≤2𝑛

，𝑚

∗，解得𝑚

−1≤log2（2𝑛

），即𝑚

≤log2𝑛

+2，

得𝑚

max=[log2𝑛

+2]=[log2𝑛

]+2，其中[log2𝑛

+2]表示不超过log2𝑛

+2的最大整数，

+1=𝑛

+𝑚

max=𝑛

+（[log2𝑛

]+2）,𝑘

=𝑛

]+1）.

+1=[3+5+7+⋯+（2𝑛

+1）]+[1+2+⋯+2[log2𝑛

]+1]=𝑛

（𝑛

+2）+（2[log2𝑛

]+2−1），

依题意𝑆

+1，

+2）+2[log2𝑛

]+2−1>

27（2𝑛

+1），

即𝑛

2−52𝑛

−28+2[log2𝑛

]+2>

0，（𝑛

−26）2+4×

2[log2𝑛

]>

704.

当[log2𝑛

]=0时，即𝑛

=1时，（𝑛

]=629<

704，不合题意；

]=1时，即𝑛

=2,3时，（𝑛

]≤242+8<

]=2时，即4≤𝑛

≤7时，（𝑛

]≤222+16<

]=3时，即8≤𝑛

≤15时，（𝑛

]≤182+4×

8<

当[log2𝑛

]=4时，即16≤𝑛

≤31时，（𝑛

]≤102+4×

16<

]=5时，即32≤𝑛

≤63时，

由（𝑛

]≤372+4×

32=1497,1497>

704,

此时，（𝑛

−26）2>

576.

而𝑛

=50时，（𝑛

−26）2=576.所以𝑛

50.

又当𝑛

=51时，（51−26）2+4×

2[log251]=753>

704；

+[log2𝑛

]+1≥51+[log251]+1=51+5+1=57.

综上所述，符合题意的𝑘

的最小值为𝑘

=57.

类型二存在性问题

典例2已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且Sn

（1）求a1；

=n（an-a1）．

（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；

（3）设lgbn

=an+1，试问是否存在正整数p，q（其中1<

p<

q），使b1，bp，bq成等比数列？

若存在，求出所

3n

有满足条件的数组（p，q）；

若不存在，说明理由．

（1）0

（2）an=n－1（3）p=2，q=3

（1）令n=1，则a1=S1=1（a1-a1）=0．

（2）由S

=n（an-a1），即S=nan，①

n2n2

得Sn+1

=（n+1）an+1．②

②－①，得（n-1）an+1=nan．③

于是，nan+2=（n+1）an+1．④

③+④，得nan+2+nan=2nan+1，即an+2+an=2an+1．又a1=0，a2=1，a2－a1=1，

所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．

所以，an=n－1．

（3）解法1：

假设存在正整数数组（p，q），使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于

是，2p=1+q．

3p33q

p≥2时，2（p+1）-2p=2-4p<

0，故数列{2p}（

p≥2）为递减数列，

3p+13p3p+13p

q≥3时，（1+q+1）-（1+q）=1-2q<

0，故数列{1+q}（q≥3）为递减数列，

33q+1

33q

3q+1

（2p）

=4，（1+q）

=4，即p=2,q=3时，2p=1+q

3pmax9

max9

又当p≥3时，2p≤2⨯3=2<

1，故无正整数q使得2p=1+q成立．

3p2793

解法2：

同上有，2p=1+q>

1，且数列{2p}（

3p33q33p

当p=2时，2p=4>

1成立；

当p≥3时，2p≤2⨯3=2<

1，

3p933p2793

因此，由2p>

1得，p=2，此时q=3

3p3

类型三否定性问题

典例3等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=1+

（1）求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

2，S3=9+3．

（2）

设b=Sn（n∈N*），求证：

数列{b}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

nnn

（1）an=2n-1+

2，Sn=n（n+

2）．

（2）见解析

⎨

（1）由已知得⎧⎪a1=+1，，∴d=2，

⎪⎩3a1+3d=9+3

故an=2n-1+

2）．

（2）由

（1）得bn

=Sn

n

=n+．

假设数列{b}中存在三项b，b，b（p，q，r互不相等）成等比数列，则b2=bb．

npqrqpr

即（q+

2）2=（p+

2）（r+

∴（q2-pr）+（2q-p-r）=0

p，q，r∈N*，

∴

⎧q2-pr=0，

⎛p+r⎫2

∴ç

⎪

=pr，（p-r）2=0，∴p=r．

⎩2q-p-r=0

与p≠r矛盾．

⎝2⎭

所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．

1.公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2＋2，S3＝12＋32．

（1）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn；

记cn＝Sn，试问：

在数列{cn}中是否存在三项cr，cs，ct（r＜s＜t，r,s,t∈N*）恰好成等比数列？

若存在，求出此三项；

若不存在，请说明理由.

（1）an=2n+

，S=n2+（

+1）n

（2）见解析

（1）a1=2+

，S3=3a1+3d=12+3

，∴d=2

所以an=2n+

+1）n

（2）易知c=n++1，假设存在三项c,c,c成等比数列，则c2=c

⋅c，

nrst

srt

即[s+（

+1）]2=[r+（

+1）][t+（

+1）],

整理得（2s-r-t）=rt+r+t-s2-2s

⎧

s2=rt

⎩

2s-r-t=0且rt+r+t-s2-2s=0，

综上所述，不存在满足题意的三项cr,cs,ct

⎨2s-r-t=0

解得r=t,这与r<

t矛盾.

2.已知各项均为正数的等比数列{a}的公比为q，且0<

q<

1.在数列{a}中是否存在三项，使其成等差数

n2n

列？

说明理由；

【答案】见解析

1

【解析】由an>

0,0<

2知，数列{an}是递减数列，

假设存在a,a,a成等差数列，不妨设k<

m<

n，则2a

=a+a

，即2aqm-1=aqk-1+aqn-1即

kmn

2qm-k=1+qn-k

m

kn

111

而2qm-k≤2q<

1，1+qn-k>

1，故矛盾．因此在数列{an}中不存在三项成等差数列．

3.

nn

设c=2n，试问数列{c}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？

若存在，求出这三项；

若不存在，

说明理由．

【解析】解：

假设数列{cn}中存在三项，它们可以够成等差数列；

不妨设为第p,r,q（p<

r<

q）项，

由⑴得bn

=n，∴cn

=2n，∴2⋅2r=2p+2q，∴2r+1-p=1+2q-p

又2r+1-p为偶数，1+2q-p为奇数．故不存在这样的三项，满足条件．

4.已知数列{a}满足：

a

=1,3（1+an+1）=2（1+an），aa

<

0（n≥1），数列{b}满足：

n121-a

1-a

nn+1n

nn+1

b=a2-a2（n≥1）．

nn+1n

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）证明：

数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．

（1）

a=（-1）n-1

，bn

1

（2）n-1．

（2）见解析

=

43

1-3

（2）n-1

（1）由题意可知，1-a2=2（1-a2）令c=1-a2，则c=2c

n+13nnnn+13n

又c=1-a2=3，则数列{c}是首项为c=3，公比为2的等比数列，即

114

n143

c=

3⎛2⎫n-1

，故1-a2=

n-1

323⎛2⎫

（）n-1⇒a2=1-



，又a=>

0，aa<

0

nç

⎝⎭

故a=（-1）n-1

n43

，b

=12

n-1．

12nn+1

nn（）

（2）假设数列{b}存在三项b,b,b（r<

s<

t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b}是首项为1，公比

nrstn4

为3的等比数列，于是有br>

bs>

bt，则只有可能有2bs=br+bt成立

1⎛2⎫s-1

∴2⋅4ç

3⎪

1⎛2⎫r-1

=4ç

1⎛2⎫t-1

+4ç

⎛2⎫s

，即2ç

⎛2⎫r

=ç

⎛2⎫t

+ç

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

即：

2s+1-t3t-s=3t-r+2t-r

由于r<

t，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾．因此数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．

5.已知等比数列{an}的首项是1，公比为2，等差数列{bn}的首项是1，公差为1，把{bn}中的各项按照如下

规则依次插入到{an}的每相邻两项之间，构成新数列{cn}：

a1,b1,a2,b2,b3,a3,b4,

和an+1两项之间依次插入{bn}中n个项，则c2013=.

【答案】1951

b5,b6,a4，……，即在an

【解析】对数列{cn}分组（a1）,（b1,a2）,（b2,b3,a3）,（b4,b5,b6,a4），……，前n组的个数之和靠近2013即可，可能前63组之和为2016，用2013个数剔除an中的项即可

6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5+a13=34，S3=9．

（1）求数列{an}的通项公式及前n项和公式；

（2）设数列{b}的通项公式为b=an

，问：

是否存在正整数t，使得b，b，b

a

nn+t

12m

（m≥3，m∈N）成等差数列？

若存在，求出t和m的值；

若不存在，请说明理由．

a=2n-1,S=n2

（2）当t=2时，m=7；

当t=3时，m=5；

当t=5时，m=4．

（1）a=2n-1,S=n2

=+

2n-1

（2）bn=2n-1+t，要使得b1,b2,bm成等差数列，则2b2b1bm

2

3=1+2m-1

m=3+4

3+t1+t2m-1+t

t-1

∵m,t∈N*，∴t只能取2，3，5当t=2时，m=7；

当t=5时，m=4．

7.设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且

23457

a2+a2=a2+a2,S=7．

（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；

试求所有的正整数m，使得amam+1为数列{a}中的项．

am+2

（1）a=2n-7,S=n2-6n

（2）2．

（1）设公差为d，则

a2-a2=a2-a2，由性质得-3d（a+a）=d（a+a），因为d≠0，

所以a+a=0，即2a

25434343

+5d=0，又由S=7得7a+7⨯6d=7，解得a=-5，d=2,所以

431

7121

{a}的通项公式为a=2n-7，前n项和S=n2-6n．

（2）

amam+1=（2m-7）（2m-5），若其是{a}中的项，则（2m-7）（2m-5）=2n-7，

2m-3n

2m-3

令t=2m-3，则amam+1=（t-4）（t-2）=t+8-6=2n-7,

am+2tt

8

2n=t++1

t

所以t为8的约数．因为t是奇数，所以t可取的值为±

1，

当t=1，即m=2时，n=5；

当t=-1，即m=1时，n=-4（舍去）．所以满足条件的正整数m=2．

8.若𝐴

=𝑎

1𝑎

2⋯𝑎

（𝑎

𝑖

=0或1,𝑖

=1,2,⋯,𝑛

），则称𝐴

为0和1的一个𝑛

位排列，对于𝐴

，将排列

−1记为𝑅

𝑅

1（𝐴

），将排列𝑎

−1𝑎

1⋯𝑎

−2记为𝑅

2（𝐴

），依此类推，直至𝑅

（𝐴

）=𝐴

，对于排列𝐴

和𝑅

）（𝑖

−1），它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的数，叫做𝐴

）的相关值，记作𝑡

𝑡

𝑅

）），例如𝐴

3=110，则𝑅

3）=011，𝑡

3,𝑅

3））=−1，若𝑡

））=−1（𝑖

=

1,2,⋯,𝑛

−1），则称𝐴

为最佳排列．

（Ⅰ）写出所有的最佳排列𝐴

3．

（Ⅱ）证明：

不存在最佳排列𝐴

5．

（Ⅲ）若某个𝐴

2𝑘

+1（𝑘

是正整数）为最佳排列，求排列𝐴

+1中1的个数．

【答案】详见解析

（Ⅰ）最佳排列𝐴

3为110、101、100、011、010、011．

（Ⅱ）设𝐴

5=𝑎

2𝑎

3𝑎

4𝑎

5，则𝑅

5）=𝑎

5𝑎

4，因为𝑡

5,𝑅

5））=−1，

所以|𝑎

1−𝑎

5|，|𝑎