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则(
x3
+ylnxy2=C.
3
8.(ax2+by2)dx+cxydy=0
P(x,y)=ax2+by2,则
(a,b和c为常数)Q(x,y)=cxy,
,即2b=c时,原方程为恰当方程=cy,所以当=2by,=
则ax2dx+(by2dx+cxydy)=0
ax3
+bxy2=C.
而当2b≠c时原方程不是恰当方程.
ss22s1
9.ds+2dt=0
tt
ss22s1解:
P(t,s)=,Q(t,s)=2,
P12sQ12sPQ
,即原方程为恰当方程,=2,=2,所以=
tsyxtt
ss2两边积分得:
=C.
t
10.xf(x2+y2)dx+yf(x2+y2)dy=0,其中f()是连续的可微函数.
P(x,y)=xf(x2+y2),Q(x,y)=yf(x2+y2),则
,即原方程为恰当方程,=2xyf′,所以=2xyf′,=
∫
f(x2+y2)dx=C,
即原方程的解为F(x2+y2)=C(其中F为f的原积分).
习题2-2
1.求解下列微分方程,并指出这些方程在平面上的有意义的区域:
:
dyx2(1)=
dxy
=
原方程即为:
ydy=x2dx两边积分得:
3y22x3=C,
y≠0.
dyx2(2)=
dxy(1+x3)
x2
ydy=dx
1+x3
3y22ln+x3=C,(3)
y≠0,x≠1.
dy
+y2sinx=0dx
当y≠0时
原方程为:
+sinxdx=02y
1+(c+cosx)y=0.
又y=0也是方程的解,包含在通解中,则方程的通解为
1+(c+cosx)y=0.
(4)
=1+x+y2+xy2;
dx
dy1+y2
(1+x)dx
arctgy=x++c,
2x2
即y=tg(x++c).
2
(5)
=(cosxcos2y)2dx
①当cos2y≠0时
原方程即为:
dy2
=(cosx)dx2
(cos2y)
2tg2y2x2sin2x=c.②cos2y=0,即y=(6)x
kππ
+也是方程的解.(k∈N)24
=y2dx
①当y≠±
1时原方程即为:
dyy2
dxx
arcsinylnx=c.②y=±
1也是方程的解.
dyxex
(7).=
dxy+ey
解.原方程即为:
(y+ey)dy=(xex)dx
y2x2y
+e=+ex+c,
原方程的解为:
y2x2+2(eyex)=c.
2.解下列微分方程的初值问题.(1)sin2xdx+cos3ydy=0,y(=
ππ
23
cos2xsin3y
两边积分得:
+=c,即2sin3y3cos2x=c
;
因为y(=
ππ3
所以c=3.
所以原方程满足初值问题的解为:
2sin3y3cos2x=3.
(2).xdx+yexdy=0,y(0)=1;
xexdx+ydy=0,
(x1)edx+dy=c,
因为y(0)=1,所以c=
1,2
2(x1)exdx+y2dy+1=0.(3).
dr
=r,r(0)=2;
dθ
=dθ,两边积分得:
lnrθ=c,
r
因为r(0)=2,所以c=ln2,
lnrθ=ln2即r=2e.(4).
θ
lnxdy
y
(1)=0;
=2
dx1+y
(1+y)dy=lnxdx,
y3
y++xxlnx=c,
因为y
(1)=0,所以c=1,
所以原方程满足初值为:
y++xxlnx=1
(5).+x
=xy3,y(0)=1;
dyx=dx,
2y3+x
12
y=+x2+c,2
因为y(0)=1,所以c=,
2+x+
1
=3.2y
3.解下列微分方程,并作出相应积分曲线的简图.(1).
=cosxdx
y=sinx+c.积分曲线的简图如下:
(2).
=ay,(常数a≠0);
①当y≠0时,
1dy
=dx积分得:
lny=x+c,
aay
即y=ceax
(c0)
②y=0也是方程的解.积分曲线的简图如下:
(3).
=1y2;
1时,
1+ydy
积分得:
ln=2x+c,=dx
1y(1y2)
ce2x1
即y=2x.
ce+1
②y=±
1也是方程的解.积分曲线的简图如下:
(4).
dy1
=yn,(n=,1,2);
3dx
①当y≠0时,)n=
2时,原方程即为n=dx,3y
x+
11n
y=c.n1
=dxy
(c0).
)n=1时,原方程即为
lny=x+c,即y=cex②y=0也是方程的解.积分曲线的简图如下:
4.跟踪:
设某A从xoy平面上的原点出发,沿x轴正方向前进;
同时某B从点开始跟踪A,即B与A永远保持等距b.试求B的光滑运动轨迹.
设B的运动轨迹为y=y(x),由题意及导数的几何意义,则有
dyy
,所以求B的运动轨迹即是求此微分方程满足y(0)=b的解.=22dxbyb+b2+y21
解之得:
x=bln2y2.
2bb2y2
5.设微分方程
=f(y)(2.27),其中f(y)在y=a的某邻域(例如,区间dx
yaε)
内连续,而且f(y)=0y=a,则在直线y=a上的每一点,方程(2.27)的解局部唯一,
当且仅当瑕积分
证明:
()
a±
ε
a
=∞(发散).f(y)
首先经过域R1:
∞x+∞,aε≤ya和域R2:
∞x+∞,
ay≤a+ε内任一点(x0,y0)恰有方程(2.13)的一条积分曲线,它由下式确定
∫y
=xx0.(*)f(y)
这些积分曲线彼此不相交.其次,域R1(R2)内的所有积分曲线∫
dydy
=x+c都可由其中一条,比如∫=x+c0f(y)f(y)
沿着x轴的方向平移而得到。
因此只需详细考虑经过R1内某一点
(x0,aε)的积分曲线,它由(*)式确定.
若
∫aε
收敛,即存在x=x1,使得f(y)
=x1x0,f(y)
即所讨论的积分曲线当x=x1时达到直线y=a上点(x1,a).由(*)式易看出,所论积分曲线在(x1,a)处与y=a相切,在这种情形下,经过此直线上的
()一点就不只有一条积分曲线,与局部唯一矛盾,所以
发散.f(y)
若积分
发散,此时由(*)式易看出,所论的经过(x0,aε)的积分f(y)
曲线,不可能达到直线y=a上,而以直线y=a为渐近线,又注意到y=a也是(2.13)的积分曲线,所以(2.13)过(x0,aε)的解是唯一的.注:
对于R2内某点(x0,a+ε)完全可类似地证明.
6.作出下列微分方程积分曲线族的大致图形.(1)
.
dy=dx
y;
ylny=dx0
y≠0y=0
习题2-3
1.求解微分方程:
(1)
+2y=xex;
p(x)=2,q(x)=xex,
由公式得:
y=e2x(c+∫
xexe2xdx)=ce2x+xexex,
y=ce2x+xexex.(2)
+ytgx=sin2x;
p(x)=tgx,q(x)=sin2x,
∫p(x)dx=∫tgxdx=∫
sinxcosx=∫d(cosx)
cosx
=lncosx+c,y=e
lncosx
(c+∫sin2xe
dx)
=cosx(c+∫sin2x
)=cosx(c2cosx)=ccosx2cos2cosx
y=ccosx2cos2
x.
(3)x
dx+2y=sinx,y(π)=1π
dy2sinx
2sinxdx+xy=
x,则p(x)=x,q(x)=x,∫p(x)dx=∫2x=lnx2
+c,则有y=elnx2
(c+∫sinxlnx2
e)
x2(c+∫xsinxdx)
=1
2(cxcosx+sinx)因为y(π)=
π
,所以c=0.
原方程满足初值问题的解为:
y=1xcosx+1
2sinx.(4)
dx11x
2y=1+x,y(0)=1;
则有
p(x)=
1x1
,q(x)=1+xpxdx=()ln∫2
1__+1
则y=e
1x12ln
x+1
(c+∫(1+x)e
1x+12ln
x1
(c+∫x21dx)x1
(c+∫x2dx)1x
x1
要求满足初值问题y(0)=1的解
只需求
(c+∫x2dx)
1x
x+111
(c+arcsinx+xx2)1x22
代入初值得c=1
所以满足初值问题的解为y=
(1+arcsinx+xx2).1x22
2.将下列方程化为线性微分方程:
dyx2+y2(1);
dx2y
令y=z,则原方程化为:
(2)
dz
=z+x2.dx
d__+y
dx1d__+y2
即解:
由原方程得:
,==x+y.
dyydyy
(3)3xy
+y3+x3=0;
dz1
=zx2.d__
dy1=+xtgy;
dxcosy
dy1siny
=+x
dxcosycosy
即
cosydydz=1+xsiny.令z=siny,则=xz+1.dxdx
a(s)ds
∫3.设y=φ(x)满足微分不等式y′+a(x)y≤0,(x≥0).求证:
φ(x)≤φ(0)e0
(x≥0)
∫a(s)ds则有
将y′+a(x)y≤0两边同乘e0
a(s)dsa(s)dse∫0y′+e∫0a(x)y≤0
d(e∫0
φ(x))
≤0从0到x积分得:
a(s)dse∫0φ(x)≤φ(0),得证.
4.用常数变易法求解非齐次线性方程
+p(x)y=q(x).dx
p(x)dx
的解,将其代入方程则有解:
设方程有形如y=c(x)e∫
p(x)dxp(x)dxdc(x)∫p(x)dx
ec(x)p(x)e∫+c(x)p(x)e∫=q(x)dx
p(x)dxdc(x)∫p(x)dx
即+c,e=q(x),则c(x)=∫q(x)e∫
p(x)dxp(x)dx
所以方程的解为y=e∫(q(x)e∫+c).
5.考虑方程
+p(x)y=q(x),其中p(x)和q(x)都是以ω0为周期的连续函数.dx
试证:
(1)若q(x)=0,则方程的任一非零解以ω为周期p(x)的平均值
ω
p(x)dx=0.
(2)若q(x)≠0,则方程的有唯一的ω周期解≠0.试求出此解.
(1)设y=φ(x)是方程的任一非零解则y=ce
∫x0p(x)dx
且y=ce
∫x0p(x+w)dx
x+w
也是解e
e
=e
=e
∫xp(x)dx
∫0p(x)dx
=1∫0p(x)dx=0
(2)方程的通解为y=ce选择常数c使y(x)成为
+
∫0q(s)e
p(t)dt
∫s
ω周期函数,即y(x+w)=y(x)(*)
我们先来证明,要使(*)对所有x成立,其实只需对某一特定x(例如x=0)成立,即只需y(ω)=y(0).事实上,由于y(x)是方程的解,且p(x+w)=p(x)q(x+w)=q(x),所以y(x+w)也是解.因此,函数u(x)=y(x+w)y(x)是相应齐次方程y′+p(x)y=0满足初始条件y(0)=0的解。
又因为此齐次方程的解或者恒等于0,或者恒不
等于0,所以u(x)=0,从而y(w)=y(0),由x的任意性,则有y(x+w)=y(x)。
∫p(x)dx+即ce0
w
∫0
q(s)e∫0ds=c.
p(x)dx∫0
q(x)edx.
wx
所以c=
1e∫0
6.连续函数f(x)在区间∞x+∞上有界,证明:
方程y′+y=f(x)在区间
∞x+∞有并且只有一个有界解.试求出这个解.并进而证明:
当f(x)还是以ω为
周期函数时,这个解也是以ω为周期的周期函数.
显然方程为一阶线性微分微分方程,由一阶线性微分微分方程解的求解公式得其解表达式为:
y=ce∫0
1dx
+∫f(s)e∫sds
0x0
,
=cex+∫f(s)e(sx)ds
因为f(x)有界,所以要使y有界,当且仅当c=从而原方程的唯一有界解为
∞
f(s)eds.
y=ce
+∫f(s)e
(sx)
ds=∫f(s)e
sx
ds+
f(s)e
ds=∫f(s)e(sx)ds.
下面说明当f(x)是以ω为周期函数时,这个解也是以ω为周期的周期函数.
y(x+ω)=∫
x+ω
∞x+ω
f(s)e(sxω)ds,令t=sω,则f(s)e(sxω)ds=
7.令空间H
f(t+ω)e(tx)dt=∫f(t)e(tx)dt=y(x),
所以此解为一周期函数.
.易知H0关于实数域,构成一个={f(x)|f是以2π为周期的连续函数}
线性空间.f∈H0,定义它的模f=max0≤x≤2πf(x).证明H0是一个完备的空间.利用式(2.40)可以在空间H0中定义一个变换φ,它把f变成y.试证:
φ是一个从H0到H0的线性算子,而且它是有界的.
(1)先证H是一个完备的空间.设{fn(x)}是(H,)中的一个基本列.那么ε0,
00
N(ε),m,nN(ε)有
fm(x)fn(x)=max0≤x≤2πfm(x)fn(x)ε
所以0x2π,fm(x)fn(x)ε(*),固定x∈[0,2π],则{fn(x)}是基本的,从而limn→∞fn(x)存在,记为f0(x),在()中令m→∞,得到f0(x)fn(x)ε,所以fn(x)一致收敛到f0(x),从而在H0中fn收敛到f0,所以定义的空间是完备的。
(2)证φ是一个线性有界算子。
①φ(c1f1+c2f2)=
e2aπ1x
11x+2πa(xs)x+2πa(xs)
=c12aπef(s)ds+cef2(s)ds122aπ∫∫__
e1e1
=c1φ(f1)+c2φ(f2)所以φ是一个线性算子。
x+2π
ea(xs)(c1f1+c2f2)(s)ds
②(f)=max0≤x≤2π
1e2aπ
∫1
ea(xs)f(s)ds
≤max0≤x≤2π≤f
1e
2aπ
ma__≤s≤x+2πf(s)ds∫x
ea(xs)ds
12aπe4aπ
=kf
e1a
所以φ是有界算子.
习题2-4
1.求解下列微分方程:
(1)y′=
2yx
2xy
du2u1
,+u=
dx2u
令y=ux,则原方程化为x
2udx1u12
,积分得:
=dulnlnu=lnx+c2
x1+u2u1
还原变量并化简得:
(yx)=c(x+y)3(2)y′=
2yx+5;
2xy4
2yx+5=0x=1
得
2xy4=0y=2
v=y+2,则有
由
令u=x1,
dv2vu
,由第一题的结果知此方程解为(vu)=c(u+v)3,=
du2uv
yx+3=c(x+y+1)3.(3)y′=
x+2y+1
2x+4y1
dvdyv+1
,=1+2=1+2
dxdx2v1
令v=x+2y,则即
dv4v+1
,此方程为变量分离方程,=
dx2v1
13
分离变量并积分得:
vln4v+=x+c,
28
8y4x3ln4x+8y+=c.
(4)y′=xyxy.
①当y≠0时,方程两边同时乘以2y3,则2y3y′=2x3+2xy2,令
dzx23
则由公式得:
z=ce+x2+1z=y,=2x
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