类型二 面积问题.docx
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类型二面积问题
题型四二次函数与几何图形综合题
类型二面积问题
针对训练
1.(2014宿迁26题)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0,c<0)交x轴于点A、B,交y轴于点C,设过A、B、C三点的圆与y轴的另一个交点为D.
(1)如图①,已知点A、B、C的坐标分别为(-2,0),(8,0),(0,-4);
①求此抛物线的表达式与点D的坐标;
②若点M为抛物线上的一动点,且位于第四象限,求△BDM面积的最大值;
(2)如图②,若a=1,求证:
无论b、c取何值,点D均为定点,并求出该定点坐标.
第1题图
2.(2017苏州28题)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC,点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.
(1)求b、c的值;
(2)如图①,连接BE,线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上,求点F的坐标;
(3)如图②,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N,试问:
抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?
如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.
第2题图
3.(2017黔东南)如图:
⊙M的圆心M(-1,2),⊙M是经过坐标原点O,与y轴交于点A,经过点A的一条直线l解析式为y=-x+4与x轴交于点B,以M为顶点的抛物线经过x轴上点D(2,0)和点C(-4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求证:
直线l是⊙M的切线;
(3)点P为抛物线上一动点,且PE与直线l垂直,垂足为E.PF∥y轴,交直线l于点F,是否存在这样的点P,使△PEF的面积最小,若存在,请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值;若不存在,请说明理由.
第3题图第4题图
4.(2016聊城)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),B(9,0)和C(0,4),CD垂直于y轴,交抛物线于点D,DE垂直于x轴,垂足为E,l是抛物线的对称轴,点F是抛物线的顶点.
(1)求出该二次函数的表达式以及点D的坐标;
(2)若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合,再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合,得到Rt△A1O1F,求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积;
(3)若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度(0<t≤6)得到Rt△A2O2C2,Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S.求S与t之间的函数表达式,并写出自变量t的取值范围.
答案
1.解:
(1)①∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,0),B(8,0),C(0,-4),
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为y=x2-x-4,
∵OA=2,OB=8,OC=4,
∴AB=10,
如解图①,连接AC,BC,
第1题解图①
由勾股定理得AC=,BC=,
∵AC2+BC2=AB2=100,
∴∠ACB=90°,
∴AB为圆的直径,
由垂径定理可知,点C、D关于直径AB对称,
∴D(0,4);
②设直线BD的解析式为y=kx+b,
∵B(8,0),D(0,4),
∴,
解得,
∴直线BD解析式为y=-x+4.
设M(x,x2-x-4),
如解图②,过点M作ME∥y轴,交BD于点E,则E(x,-x+4),
第1题解图②
∴ME=(-x+4)-(x2-x-4)=-x2+x+8,
∴S△BDM=S△MED+S△MEB=ME(xE-xD)+ME(xB-xE)=ME(xB-xD)=4ME,
∴S△BDM=4(-x2+x+8)=-x2+4x+32=-(x-2)2+36,
∴当x=2时,△BDM的面积有最大值为36;
(2)如解图③,连接AD,BC.
第1题解图③
由圆周角定理得∠ADO=∠CBO,∠DAO=∠BCO,
∴△AOD∽△COB,
∴=.
设A(x1,0),B(x2,0).
∵已知抛物线y=x2+bx+c(c<0),
∵OC=-c,x1x2=c,
∴=,
∴OD==1,
∴无论b,c取何值,点D均为定点,该定点坐标为D(0,1).
2.解:
(1)∵CD∥x轴,CD=2,
∴抛物线对称轴为直线l∶x=1,
∴-=1,b=-2,
∵OB=OC,C(0,c),∴B点坐标为(-c,0),
∴0=c2+2c+c,
解得c=-3或c=0(舍去),
∴c=-3;
(2)设点F坐标为(0,m),
∵对称轴是直线l∶x=1,抛物线解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴点F关于直线l的对称点F′的坐标为(2,m),顶点坐标E为(1,-4),
设直线BE的解析式为y=kx+b,
∵直线BE经过点B(3,0),E(1,-4),
∴,
解得,
∴直线BE的解析式为y=2x-6,
∵点F′在BE上,
∴m=2×2-6=-2,即点F坐标为(0,-2);
(3)存在点Q满足题意.
解法一:
如解图,设点P坐标为(n,0),则PA=n+1,PB=PM=3-n,PN=-n2+2n+3,
作QR⊥PN,垂足为R,
∵S△PQN=S△APM,
∴(n+1)(3-n)=(-n2+2n+3)·QR,
∴QR=1,
①点Q在直线PN的左侧时,Q点坐标为(n-1,n2-4n),R点坐标为(n,n2-4n),N点坐标为(n,n2-2n-3),
∴由勾股定理得,NQ2=1+(2n-3)2,
∴当n=时,NQ取得最小值1,
此时Q点坐标为(,-);
②点Q在直线PN的右侧时,Q点坐标为(n+1,n2-4),
同理NQ2=1+(2n-1)2,
∴当n=时,NQ取得最小值1,
此时Q点坐标为(,-),
综上所述,满足题意的点Q的坐标为(,-)和(,-).
第2题解图
3.
(1)解:
∵点M(-1,2)是抛物线的顶点,
∴设抛物线解析式为y=a(x+1)2+2,
又∵点D(2,0)在抛物线上,
∴代入得0=a(2+1)2+2,
解得a=-,
∴抛物线的解析式为y=-(x+1)2+2=-x2-x+;
(2)证明:
∵点A是y=-x+4与y轴的交点,∴令x=0,得y=4,
∴A(0,4),
∴OA=4.
将y=0代入y=-x+4,得x=8,
∴B(8,0).
如解图,连接MA,MB,
则MA==,MA2=5,
MB==,
MB2=85,
AB==,AB2=80.
∵MA2+AB2=MB2.
∴MA⊥AB.
又∵M是⊙M的圆心,MA是⊙M的半径,
∴AB是⊙M的切线,
即直线l是⊙M的切线;
第3题解图
解法二:
如解图,过点M作MG⊥OA于点G,
∵M(-1,2),
∴MG=1,AG=2,
∴tan∠MAG==,
∵OB=8,
∴tan∠ABO==,
∵∠MAG与∠ABO均为锐角,
∴∠MAG=∠ABO,
∵∠ABO+∠OAB=90°,
∴∠MAG+∠OAB=90°,即∠MAB=90°,
∵AM为⊙M的半径,
∴直线l是⊙M的切线;
解法三:
如解图,连接AM并延长,交x轴于点H,则H也是⊙M与x轴的交点,且AH为直径,
∵M是⊙M的圆心,
∴AH=2MA=2=2,
∴HO==2,
∴H的坐标为(-2,0),则HB=10,
又∵AB==4,
∴HB2=AH2+AB2,
又∵M是⊙M的圆心,MH是⊙M的直径,
∴直线l是⊙M的切线;
(3)解:
存在,点P的坐标为(,),△PEF面积的最小值为.
理由如下:
∵PF∥y轴,且∠PEF=∠AOB=90°,
∴∠OAB=∠EFP,
∴∠EPF=∠ABO,
∵OA=4,OB=8,
∴AB==4,
sin∠EPF=sin∠ABO==,
cos∠EPF=cos∠ABO==,
∴S△PEF=(PF·sin∠EPF)·(PF·cos∠EPF)=PF2.
∵点P在抛物线上,设P(m,-m2-m+),PF∥y轴,点F在直线y=-x+4上,
∴F(m,-m+4),
∴PF=-m+4-(-m2-m+)=(m-)2+,
∴当m=时,PF有最小值,PF最小值为,
将PF=,代入S△PEF=PF2中,解得S△PEF=,
此时将m=-代入-m2-m+=,
即P(,).
4.解:
(1)把A(-3,0),B(9,0),C(0,4)代入y=ax2+bx+c中,
得,
解得,
∴二次函数的表达式为y=-x2+x+4,
∵CD⊥y轴,C(0,4),
∴-x2+x+4=4,
解得x1=0,x2=6,
∴点D的坐标为(6,4);
(2)∵-=-=3,
==,
∴顶点F的坐标为(3,),
如解图①,设CD与对称轴l的交点为H,CD与A1F的交点为G,
由平移的性质得FO1=OC=4,A1O1=AO=3,FH=-4=.
第4题解图①
∵CD垂直于y轴,
∴GH∥x轴,
又∵Rt△A1O1F由Rt△AOC平移得到,
∴A1O1∥AO∥GH,
∴△FA1O1∽△FGH,
∴=,即=,
∴GH=1,
∴S四边形A1O1HG=S△FA1O1-S△FGH=×3×4-×1×=;
(3)当0<t≤3时,如解图②,设O2C2与OD交于点K,则OO2=t,△OO2K∽△OED,
∴=,即=,
∴KO2=t,
∴S=S△OO2K=OO2·KO2=×t×t=t2(0<t≤3);
第4题解图②
当3<t≤6时,如解图③,设A2C2与OD交于点M,O2C2交OD于点N,
第4题解图③
作MG⊥CD于点G,延长GM交x轴于点H,则GH⊥x轴.
易知△C2MD∽△A2MO,△DMG∽△OMH,△ODE∽△ONO2,C2D=6-t,OA2=t-3,O2O=t,GH=4,
∴==,=,
∴=,=,
∴MH=,NO2=t,
∴S=S四边形A2O2NM=S△OO2N-S△OA2M
=×t×t-(t-3)×
=t2-t2+4t-6
=-t2+4t-6(3<t≤6).
∴S与t之间的函数表达式为
S=.
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