初一第5章几何证明专题训练卷平行线性质教师版教学文案文档格式.docx
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∵AB∥CD(已知),
∴∠4=∠BAE(两直线平行,同位角相等);
∵∠3=∠4(已知),
∴∠3=∠BAE(等量代换);
∵∠1=∠2(已知),
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF(等量代换),
即∠BAF=∠DAC,
∴∠3=∠DAC(等量代换),
∴AD∥BE(内错角相等,两直线平行).
本题考查平行线的性质及判定定理,即两直线平行,同位角相等;
内错角相等,两直线平行.
3.填空或填写理由.
如图,直线a∥b,∠3=125°
,求∠1、∠2的度数.
∵a∥b(已知),∴∠1=∠4( 两直线平行,同位角相等 ).
∵∠4=∠3( 对顶角相等 ),∠3=125°
(已知)
∴∠1=( 125 )度(等量代换).
又∵∠2+∠3=180°
,
∴∠2=( 55 )度(等式的性质).
平行线的性质;
对顶角、邻补角.1458448
根据两直线平行,同位角相等这一平行线的性质和对顶角相等,邻补角互补即可解答.
∵a∥b(已知),
∴∠1=∠4(两直线平行,同位角相等).
∵∠4=∠3(对顶角相等),∠3=125°
∴∠1=(125)度(等量代换).
∴∠2=(55)度(等式的性质).
主要考查了平行线、对顶角、邻补角的性质,比较简单.
4.如图,已知AB∥CD,求证:
∠B+∠D=∠BED,试完成下列的证明过程.
证明:
过E点作EF∥AB(已作)
∴∠1=∠B( 两直线平行,内错角相等 )
又∵AB∥CD( 已知 )
∴EF∥CD( 平行的传递性 )
∴ ∠2=∠D
∴∠B+∠D=∠1+∠2
∴∠BED=∠B+∠D( 等量代换 )
平行公理及推论.1458448
此题应用平行线的性质,注意两直线平行,内错角相等.由EF∥AB,可得∠1=∠B,又因为AB∥CD,可得EF∥CD,所以∠2=∠D,问题得证.
过E点作EF∥AB,(已作)
∴∠1=∠B,(两直线平行,内错角相等)
又∵AB∥CD,(已知)
∴EF∥CD,(平行的传递性)
∴∠2=∠D,
∴∠B+∠D=∠1+∠2,
∴∠BED=∠B+∠D.(等量代换)
此题考查了平行线的性质,要注意证明题中各部分的解题依据.此题在解题时要注意辅助线的作法.
5.阅读下面的证明过程,指出其错误.
已知△ABC.
求证:
∠A+∠B+∠C=180度.
过A作DE∥BC,且使∠1=∠C
∵DE∥BC(画图)
∴∠2=∠B(两直线平行,内错角相等)
∵∠1=∠C(画图)
∴∠B+∠C+∠3=∠2+∠1+∠3=180°
即∠BAC+∠B+∠C=180°
.
阅读型.
注意作辅助线的方法,不能同时让它满足两个条件.只能作平行线后,根据平行线的性质得到角相等.
错误:
过A作DE∥BC,且使∠1=∠C,应改为:
过A作DE∥BC.∵∠1=∠C(画图),应改为∴∠1=∠C(两直线平行,内错角相等).
过A作DE∥BC,
∵DE∥BC(画图),
∴∠2=∠B,∠1=∠C(两直线平行,内错角相等),
注意掌握作辅助线的叙述方法.
6.已知:
如图,AC平分∠DAB,∠1=∠2,填定下列空白:
∵AC平分∠DAB(已知)
∴∠1= ∠CAB (角平分线的定义)
∵∠1=∠2
∴∠2= ∠CAB (等量代换)
∴AB∥ CD (内错角相等,两直线平行)
先根据角平分线的定义可求出∠1=∠CAB,再通过等量代换可求出∠2=∠CAB,再由内错角相等,两直线平行即可得出AB∥CD.
∵AC平分∠DAB(已知),
∴∠1=∠CAB(角平分线的定义),
∵∠1=∠2,
∴∠2=∠CAB(等量代换),
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
本题比较简单,考查的是平行线的性质及角平分线的定义.
7.请把下列证明过程补充完整:
已知:
如图,DE∥BC,BE平分∠ABC.求证:
∠1=∠3.
因为BE平分∠ABC(已知),
所以∠1= ∠2 (角平分线性质).
又因为DE∥BC(已知),
所以∠2= ∠3 (两直线平行,同位角相等).
所以∠1=∠3(等量代换).
角平分线的定义.1458448
由BE平分∠ABC可得∠1=∠2,再由平行线性质即可得证.
∵BE平分∠ABC,
∴∠1=∠2;
∵DE∥BC,
∴∠2=∠3;
∴∠1=∠3.
本题涉及角平分线定义和两直线平行,内错角相等的性质,比较简单.
8.如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,DE=3cm,AE=2.5cm.求AC.
∵CD平分∠ACB
∴∠3= ∠2
∵DE∥BC
∴∠3= ∠1 ( 两直线平行,内错角相等 )
∴∠1= ∠2
∴ DE =EC( 等角对等边 )
∵DE=3cm,AE=2.5cm
∴AC= AE + EC =AE+DE=2.5+3=5.5cm.
根据角平分线的定义,平行线的性质(两直线平行,内错角相等),等角对等边的性质依次填空即可.
∵CD平分∠ACB(已知)
∴∠3=∠2(角平分线定义)
∵DE∥BC(已知)
∴∠3=∠1(两直线平行,内错角相等)
∴∠1=∠2(等量代换)
∴DE=EC(等角对等边)
∵DE=3cm,AE=2.5cm(已知)
∴AC=AE+EC=AE+DE=2.5+3=5.5cm(等量代换).
主要考查了角平分线的定义和平行线的性质.结合图形找到其中的等量关系是解题的关键.
9.已知直线l1∥l2,直线l3与直线l1、l2分别交于C、D两点.
(1)如图①,有一动点P在线段CD之间运动(不与C、D两点重合),问在点P的运动过程中是否始终具∠3+∠1=∠2这一相等关系?
试说明理由;
(2)如图②,当动点P在线段CD之外运动(不与C、D两点重合),问上述结论是否还成立?
若不成立,试写出新的结论并说明理由.
动点型;
开放型.
(1)相等关系成立.过点P作PE∥l1,则有∠1=∠APE,又因为PE∥l2,又有∠3=∠BPE,因为∠BPE+∠APE=∠2,所以∠3+∠1=∠2;
(2)原关系不成立,过点P作PE∥l1,则有∠1=∠APE;
又因为PE∥l2,又有∠3=∠BPE,困为此时∠BPE﹣∠APE=∠2,则有∠3﹣∠1=∠2.
(1)∠3+∠1=∠2成立.
理由如下:
过点P作PE∥l1,
∴∠1=∠APE;
∵l1∥l2,
∴PE∥l2,
∴∠3=∠BPE;
又∵∠BPE+∠APE=∠2,
∴∠3+∠1=∠2.
(2)∠3+∠1=∠2不成立,新的结论为∠3﹣∠1=∠2.
又∵∠BPE﹣∠APE=∠2,
∴∠3﹣∠1=∠2.
本题主要考查平行线的性质:
两直线平行内错角相等,解题的关键在于作出正确的辅助线.
10.已知,直线AB∥CD,E为AB、CD间的一点,连接EA、EC.
(1)如图①,若∠A=20°
,∠C=40°
,则∠AEC= 60 °
(2)如图②,若∠A=x°
,∠C=y°
,则∠AEC= 360﹣x﹣y °
(3)如图③,若∠A=α,∠C=β,则α,β与∠AEC之间有何等量关系.并简要说明.
计算题;
探究型.
首先都需要过点E作EF∥AB,由AB∥CD,可得AB∥CD∥EF.
(1)根据两直线平行,内错角相等,即可求得∠AEC的度数;
(2)根据两直线平行,同旁内角互补,即可求得∠AEC的度数;
(3)根据两直线平行,内错角相等;
两直线平行,同旁内角互补,即可求得∠AEC的度数.
如图,过点E作EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EF.
(1)∵∠A=20°
∴∠1=∠A=20°
,∠2=∠C=40°
∴∠AEC=∠1+∠2=60°
;
(2)∴∠1+∠A=180°
,∠2+∠C=180°
∵∠A=x°
∴∠1+∠2+x°
+y°
=360°
∴∠AEC=360°
﹣x°
﹣y°
(3)∠A=α,∠C=β,
∴∠1+∠A=180°
,∠2=∠C=β,
∴∠1=180°
﹣∠A=180°
﹣α,
∴∠AEC=∠1+∠2=180°
﹣α+β.
此题考查了平行线的性质:
两直线平行,内错角相等;
两直线平行,同旁内角互补.解此题的关键是准确作出辅助线:
作平行线,这是此类题目的常见解法.
11.已知如图,AB∥CD,试解决下列问题:
(1)∠1+∠2= 180°
;
(2)∠1+∠2+∠3= 360°
(3)∠1+∠2+∠3+∠4= 540°
(4)试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n= (n﹣1)180°
.
(1)中,根据两条直线平行,同旁内角互补作答;
(2)过点E作平行于AB的直线,运用两次两条直线平行,同旁内角互补即可得到三个角的和;
(3)分别过点E,F作AB的平行线,运用三次平行线的性质,即可得到四个角的和;
(4)同样作辅助线,运用(n﹣1)次平行线的性质,则n个角的和是(n﹣1)180°
(1)∵AB∥CD,∴∠1+∠2=180°
(两直线平行,同旁内角互补);
(2)过点E作一条直线EF平行于AB,
∵AB∥EF,CD∥EF,
∴∠1+∠AEF=180°
,∠FEC+∠3=180°
∴∠1+∠2+∠3=360°
(3)过点E、F作EG、FH平行于AB,
∵AB∥EG∥FH∥CD,
∴∠1+∠AEG=180°
,∠GEF+∠EFH=180°
,∠HFC+∠4=180°
∴∠1+∠2+3+∠4=540°
(4)中,根据上述规律,显然作(n﹣1)条辅助线,运用(n﹣1)次两条直线平行,同旁内角互补.即可得到n个角的和是180°
(n﹣1).
注意此类题要构造平行线,运用平行线的性质进行解决.
12.如图,已知AB∥CD,求证:
∠B+∠BEC﹣∠C=180度.
过点E作EF∥AB,
因为EF∥AB,且AB∥CD,
所以 AB ∥ EF .( 如果两直线都与第三条直线平行,
那么这两条直线也互相平行 )
(请你完成剩余的证明.)
过点E作EF∥AB,根据两直线平行同旁内角互补和两直线平行内错角相等进行答题.
∵EF∥AB,且AB∥CD,
∴EF∥CD.(如果两直线都与第三条直线平行,
那么这两条直线也互相平行)(前两空各1分,后一空2分)
∴∠B+∠BEF=180°
,(两直线平行,同旁内角互补)
∠C=∠FEC.(两直线平行,内错角相等)
∴∠B+∠BEC﹣∠C=∠B+∠BEC﹣∠FEC=∠B+∠BEF=180°
两直线平行时,应该想到它们的性质,由两直线平行的关系得到角之间的数量关系,从而达到解决问题的目的.
13.如图,AB∥CD,直线EF分别交AB于G,交CD于H,若∠1=50°
,求∠2的度数.
∵AB∥CD,(已知)
∴∠1=∠EHD. (两直线平行,同位角相等)
∵∠2=∠EHD, (对顶角相等)
∴∠ 1 =∠ 2 .(等量代换)
∵∠1=50°
∴∠2=50°
根据两直线平行,同位角相等得到∠1=∠EHD,在根据对顶角相等得∠2=∠EHD,利用等量代换得到∠1=∠2,从而求出∠2的度数.
∴∠1=∠EHD,
∵∠2=∠EHD,
∴∠1=∠2,
故答案为两直线平行,同位角相等;
1,2.
本题考查了直线平行的性质:
两直线平行,同位角相等.也考查了对顶角的性质.
14.完成下面的证明:
已知,如图,AB∥CD∥GH,EG平分∠BEF,FG平分∠EFD
∠EGF=90°
∵HG∥AB(已知)
∴∠1=∠3 两直线平行、内错角相等
又∵HG∥CD(已知)
∴∠2=∠4
∴∠BEF+ ∠EFD =180°
两直线平行、同旁内角互补
又∵EG平分∠BEF(已知)
∴∠1=
∠ ∠BEF
又∵FG平分∠EFD(已知)
∴∠2=
∠ ∠EFD
∴∠1+∠2=
( ∠BEF+∠EFD )
∴∠1+∠2=90°
∴∠3+∠4=90°
等量代换 即∠EGF=90°
此题首先由平行线的性质得出∠1=∠3,∠2=∠4,∠BEF+∠EFD=180°
,再由EG平分∠BEF,FG平分∠EFD得出∠1+∠2=90°
,然后通过等量代换证出∠EGF=90°
∴∠1=∠3(两直线平行、内错角相等)
∴∠BEF+∠EFD=180°
(两直线平行、同旁内角互补)
又∵EG平分∠BEF,FG平分∠EFD
∠BEF,
∠2=
∠EFD,
(∠BEF+∠EFD),
(等量代换),
即∠EGF=90°
故答案分别为:
两直线平行、内错角相等,∠EFD,两直线平行、同旁内角互补,∠BEF,∠EFD,∠BEF+∠EFD,等量代换.
此题考查的知识点是平行的性质,关键是运用好平行线的性质及角平分线的性质.
15.已知:
如图,AB∥CD,AD∥BC.求证:
∠A=∠C.
∵AB∥CD,( 已知 )
∴∠B+∠C=180°
.( 两直线平行,同旁内角互补 )
∵AD∥BC,(已知)
∴∠A+∠B=180°
∴∠A=∠C.( 等量代换 )
根据平行线的性质,求得同旁内角∠B+∠C=180°
、∠A+∠B=180°
,然后利用等量代换知∠A=∠C.
∵AB∥CD,(已知)
.(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠A=∠C.(等量代换).
本题考查了平行线的性质.①两直线平行,同位角相等;
②两直线平行,内错角相等;
③两直线平行,同旁内角互补.
16.已知,如图,AB∥CD,CD∥EF.求证:
∠B+∠BDF+∠F=360°
(请你在横线上填入合适的推理及理由)
∴∠ B +∠ BDC =180°
( 两直线平行,同旁内角互补 )
∵CD∥EF(已知)
∴∠ FDC +∠ F =180°
∴∠B+∠BDC+∠CDF+∠F=360°
( 等量加等量和不变 )
∵∠BDF=∠BDC+∠CDF(已知)
∴∠B+∠BDF+∠F=360°
( 等量代换 )
由AB∥CD,CD∥EF,根据两直线平行,同旁内角互补得到∠B+∠BDC=180°
,∠FDC+∠F=180°
,则∠B+∠BDC+∠CDF+∠F=360°
,而∠BDF=∠BDC+∠CDF,即可得到结论.
B,BDC,两直线平行,同旁内角互补;
FDC,F,两直线平行,同旁内角互补;
等量加等量和不变;
等量代换.
本题考查了平行线的性质:
两直线平行,同旁内角互补.
17.看图填空:
如图,AB∥CD∥EF,FG过点G,∠A=120°
,∠E=145°
,求:
∠ACG的度数.
∴∠ CAB +∠ ACD =180°
又∵∠A=120°
∴∠ACD= 60°
∴∠ CEF +∠ ECD =180°
又∵∠E=145°
∴∠ECD= 35°
∵∠ GCA +∠ ACD +∠ ECD =180°
∴∠ACG= 85°
由AB∥CD,根据平行线的性质得到∠CAB+∠ACD=180°
,∠CEF+∠ECD=180°
,可分别求出∠ACD,∠ECD,然后利用平角的定义计算出∠ACG即可.
故答案为:
CAB,ACD,60°
,CEF,ECD,35°
,GCA,ACD,ECD,85°
两直线平行,同旁内角互补;
也考查了平角的定义.
18.如图,AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E、F,EG平分∠AEF,∠1=40°
.求∠2的度数.
因为AB∥CD
所以∠1= ∠AEG ,∠2= ∠AEF
因为EG平分∠AEF
所以∠GEF= ∠AEG
所以∠1= ∠AEG =∠GEF
又因为∠1=40°
所以∠1=∠AEG=∠GEF= 40°
所以∠AEF= 80°
即∠AEF=∠2= 80°
根据平行线的性质由AB∥CD得∠1=∠AEG,∠2=∠AEF,再根据角平分线的定义得到∠GEF=∠AEG,则∠1=∠AEG=∠GEF,于是有∠1=∠AEG=∠GEF=40°
,得到∠AEF=80°
,即可得到∠2的度数.
∴∠1=∠AEG,∠2=∠AEF,
∵EG平分∠AEF,
∴∠GEF=∠AEG,
∴∠1=∠AEG=∠GEF=40°
∴∠AEF=80°
∴∠2=80°
故答案为∠AEG,∠AEF,∠AEG,∠AEG,40°
,80°
两直线平行,内错角相等.
19.如图1,直线AC∥BD,直线AC、BD及直线AB把平面分成
(1)、
(2)、(3)、(4)、(5)、(6)六个部分.点P是其中的一个动点,连接PA、PB,观察∠APB、∠PAC、∠PBD三个角.规定:
直线AC、BD、AB上的各点不属于
(1)、
(2)、(3)、(4)、(5)、(6)六个部分中的任何一个部分.
当动点P落在第
(1)部分时,可得:
∠APB=∠PAC+∠PBD,请阅读下面的解答过程,并在相应的括号内填注理由
过点P作EF∥AC,如图2
因为AC∥BD(已知),EF∥AC(所作),
所以EF∥BD (平行线的传递性) .
所以∠BPE=∠PBD (两直线平行,内错角相等) .
同理∠APE=∠PAC.
因此∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD (等量代换) ,
即∠APB=∠PAC+∠PBD.
(1)当动点P落在第
(2)部分时,∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的?
请直接写出∠APB、∠PAC、∠PBD之间满足的关系式,不必说明理由.
(2)当动点P在第(3)部分时,∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的?
请直接写出相应的结论.
(3)当动点P在第(4)部分时,∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的?
数形结合.
根据平行线的传递性、平行线的性质填空;
(1)过点P作EF∥AC,如图3,根据平行线的性质、传递性和等式的基本性质可得出∠APB+∠PAC+∠PBD=360°
(2)过点P作EF∥AC,如图4,根据平行线的性质、传递性可得出∠PAC=∠APB+∠PBD;
(3)过点P作EF∥AC,如图5,根据平行线的性质、传递性可得出∠PAC+∠APB=∠PBD.
所以EF∥BD(平行线的传递性).
所以∠BPE=∠PBD(两直线平行,内错角相等).
因此∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD(等量代换),
(1)过点P作EF∥AC,如图3,
因为AC∥BD(已知),EF∥AC(所作)
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