函数的图象重点文档格式.docx
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学会观察、分析函数图象信息,提高识图分析能力
教学重点
结合实际情境,从函数图象中获取信息并处理信息
教学难点
图象中相对位置的确定
关键:
坐标系中横轴、纵轴表示的实际意义
教学过程
一.课程导入:
问题:
下面图象反映的过程是,小明从家去菜地浇水,之后去玉米地除草,然后回家,其中x表示时间,y表示离家的距离。
(1)小明家离菜地多远?
(2)小明浇水用了多长时间?
(3)菜地离玉米地多远?
(4)除草用了多长时间?
(5)小明从玉米地回家的平均速度是多少?
从图中我们可以很清楚的了解到他们的时间和速度
二、复习预习
函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具,是数形结合的基础,是高考考查的热点,复习时,应重点掌握几种基本初等函数的图象,并在审题、识图上多下功夫,学会分析“数”与“形”的结合点,把几种常见题型的解法技巧理解透彻.
三、知识讲解
考点1、函数图象的变换
(1)平移变换
①水平平移:
y=f(x±
a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a个单位而得到.
②竖直平移:
y=f(x)±
b(b>0)的图象,可由y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移b个单位而得到.
(2)对称变换
①y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
②y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
③y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称.
由对称变换可利用y=f(x)的图象得到y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象.
①作出y=f(x)的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y=|f(x)|的图象;
②作出y=f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y=f(|x|)的图象.
(3)伸缩变换
①y=af(x)(a>0)的图象,可将y=f(x)图象上每点的纵坐标伸(a>1时)或缩(a<1时)到原来的a倍,横坐标不变.
②y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1时)或缩(a>1时)到原来的
倍,纵坐标不变.
(4)翻折变换
①作为y=f(x)的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y=|f(x)|的图象;
②作为y=f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y=f(|x|)的图象.
考点2、等价变换
例如:
作出函数y=
的图象,可对解析式等价变形
y=
⇔
⇔x2+y2=1(y≥0),可看出函数的图象为半圆.此过程可归纳为:
(1)写出函数解析式的等价组;
(2)化简等价组;
(3)作图.
考点3、描点法作图
方法步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)化简函数的解析式;
(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);
(4)描点连线,画出函数的图象.
四、例题精析
考点一作函数的图象
【例题1】
【题干】作出下列函数的图象
(1)y=elnx;
(2)y=|log2(x+1)|;
(3)y=a|x|(0<
a<
1);
(4)
(5)
【答案】见解析
【解析】
(1)∵函数的定义域为{x|x>
0}且y=elnx=x(x>
0),∴其图象如图
(1).
(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图
(2).
(3)方法一:
所以只需作出函数y=ax(0<
1)中x≥0的图象和
中x<
0的图象,合起来即得函数y=a|x|的图象.如图(3).
方法二:
作出y=ax(0<
1)的图象,去掉y轴左边图象,保留y轴右边图象,并作关于y轴对称的图象,即得y=a|x|的图象,如图(3).
故函数图象可由
图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位而得,如图(4).
令y′=0,得x1=-1,x2=3,
令y′>
0,得单调增区间为(-∞,-1)和(3,+∞).令y′<
0,得单调减区间为(-1,3),所以函数在x1=-1,x2=3处取得极值分别为
和-9,由此可得其图象大致如图(5).
考点二识图与辨图
【例题2】
【题干】
(1)函数y=x+cosx的大致图象是()
(2)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与f(x)的单调性不同的是()
【答案】BC
(1)选B.由y=x+cosx,得y′=1-sinx,令y′=0,得sinx=1,
即函数y=x+cosx有无穷多个极值点,从而排除C选项,又x=0时,y=1,即图象应过(0,1)点,再排除A,比较B、D与y轴交点纵坐标与
的大小知应选B.
(2)选C.由奇偶性知函数f(x)在(-2,0)上的图象如图所示:
则知f(x)在(-2,0)上为单调减函数,而y=x2+1,y=|x|+1和
作出其图象知在(-2,0)上均为减函数.又y=x3+1,x<
0时,y′=3x2>
0,
故y=x3+1在(-2,0)上为增函数,与f(x)的单调性不同,故选C.
考点三函数图象的应用
【例题3】
【题干】已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.
(1)求实数m的值;
(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数;
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间;
(4)根据图象写出不等式f(x)>
0的解集;
(5)求集合M={m|使方程f(x)=m有三个不相等的实根}.
(1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即m=4;
(2)∵f(x)=x|m-x|
∴函数f(x)的图象如图:
由图象知f(x)有两个零点.
(3)从图象上观察可知:
f(x)的单调递减区间为[2,4];
(4)从图象上观察可知:
不等式f(x)>
0的解集为:
{x|0<
x<
4或x>
4}.
(5)由图象可知若y=f(x)与y=m的图象有三个不同的交点,则0<
m<
4,
∴集合M={m|0<
课后评价
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- 函数 图象 重点
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