高中数学第二章推理与证明222反证法同步学案新人教A选修17498.docx
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高中数学第二章推理与证明222反证法同步学案新人教A选修17498
2.2.2 反证法
学习目标 1.了解间接证明的基本方法——反证法.2.理解反证法的基本模式、思考过程和特点.3.结合已学过的数学实例,理解反证法的推理过程及其证明数学命题的一般步骤,体会反证法在数学证明中的作用.4.通过具体实例,体会直接证明与间接证明的区别和联系.
知识点一 反证法的定义
思考 在用反证法推出矛盾的推导过程中,可以作为条件使用的是( )
①结论的否定;②已知条件;③公理、定理、定义等;④原结论.
A.①②B.②③
C.①②③D.①②④
答案 C
梳理 一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法,反证法是间接证明的一种基本方法.
知识点二 反证法的理论依据
思考 反证法解题的实质是什么?
答案 否定结论,导出矛盾,从而证明原结论正确.
梳理 由四种命题的相互关系可知,原命题“若p,则q”与命题“若非q,则非p”互为逆否命题,具有同真同假性,即等价性.根据这一结论,要证原命题“若p,则q”为真,可以改证逆否命题“若非q,则非p”为真,这种证明方法即为反证法.也就是说,若非q(即否定结论,假设结论的反面成立),则非p(经过推理论证,得出与题设条件相矛盾的结论),从而根据等价性原则,肯定原命题成立.
知识点三 反证法的一般步骤
思考
(1)反证法常见的主要矛盾有哪些?
(2)反证法适用范围主要有哪些方面?
答案
(1)常见的主要矛盾有三类:
与已知条件矛盾,与假设矛盾(自相矛盾),与定义、定理、公理及事实矛盾.
(2)一般地,以下几种情况宜用反证法:
结论本身是以否定形式出现的命题,结论是以“至多”“至少”形式出现的命题,关于唯一性、存在性的问题,或结论的反面要比原命题更易证明的命题等等.
梳理 反证法的证题步骤
(1)反设:
假设所要证明的结论不成立,即假设结论的反面成立.
(2)归谬:
由“反设”出发,通过正确的推理,得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定理、公理、定义、事实矛盾等.
(3)结论:
因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误,既然结论的反面不成立,从而证明了结论成立.
1.反证法属于间接证明问题的方法.( √ )
2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( × )
3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.( √ )
类型一 反证法概念的理解
例1 反证法是( )
A.从结论的反面出发,推出矛盾的证法
B.对其否命题的证明
C.对其逆命题的证明
D.分析法的证明方法
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 A
解析 反证法是先否定结论,在此基础上,经过正确的推理,最后得出矛盾,从而证明了原命题成立.
反思与感悟 对于反证法,其实质是先否定结论,根据否定后的结论,连同题目条件,推出矛盾,从而侧面说明原命题成立.
跟踪训练1
(1)命题“在△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”的结论的否定应该是( )
A.a C.a=bD.a≥b (2)用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,则a,b,c中存在偶数”时,下列假设正确的是________.(填序号) ①假设a,b,c都是偶数;②假设a,b,c都不是偶数;③假设a,b,c至多有一个是偶数;④假设a,b,c至多有两个是偶数. 考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 (1)B (2)② 解析 (1)“a>b”的否定应为“a=b或a (2)“a,b,c中存在偶数”的反面就是“a,b,c中没有偶数”,即“a,b,c都不是偶数”. 类型二 反证法的应用 命题角度1 证明一般性命题 例2 用反证法证明: 已知a,b均为有理数,且和都是无理数,求证: +是无理数. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 证明 假设+为有理数,易知(+)(-)=a-b, 由a>0,b>0,得+>0, ∴-=. ∵a,b为有理数,且+为有理数, ∴为有理数,即-为有理数, ∴(+)+(-)为有理数, 即2为有理数, 从而也应为有理数,这与为无理数矛盾. ∴+是无理数. 反思与感悟 用反证法证明数学命题步骤: 第一步,写出与命题结论q相矛盾的假设綈q; 第二步,由綈q出发,应用正确的推理,得出矛盾; 第三步,断定产生矛盾的原因在于所作的假设綈q不成立,于是原结论q成立,从而间接地证明了命题. 跟踪训练2 已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证: ,,不成等差数列. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 证明 假设,,成等差数列, 则+=2,即a+c+2=4b. 又b2=ac,即b=,∴a+c+2=4, ∴(-)2=0,即=, 从而a=b=c,这与a,b,c不成等差数列矛盾, 故,,不成等差数列. 命题角度2 证明“至多、至少、唯一性”问题 例3 若x,y均是正实数,且x+y>2,求证: <2和<2中至少有一个成立. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 证明 假设<2和<2都不成立, ∴≥2且≥2. 又∵x,y都是正实数, ∴相加得2+x+y≥2(x+y), ∴x+y≤2,与x+y>2矛盾, ∴假设不成立,原命题结论正确. 反思与感悟 常用的“原结论词”与“反设词”如下表: 原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个 反设词 一个也没有(不存在) 至少有两个 至多有n-1个 至少有n+1个 跟踪训练3 已知函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,求证: 方程f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实根. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 证明 假设方程f(x)=0在区间[a,b]上至少有两个实根α,β, 即f(α)=f(β)=0,且α≠β,不妨设α>β, ∵f(x)在区间[a,b]上单调递增, ∴f(α)>f(β),这与f(α)=f(β)=0矛盾, ∴f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实根. 命题角度3 证明否定性命题 例4 已知非零实数a,b,c构成公差不为0的等差数列,求证: ,,不可能构成等差数列. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 证明 假设,,成等差数列,则=+, ∴2ac=bc+ab.① 又a,b,c成等差数列, ∴2b=a+c.② ∴2ac=b(a+c)=b·2b, ∴b2=ac.③ 由②,得4b2=(a+c)2, 把③代入上式得4ac=(a+c)2, ∴(a-c)2=0,∴a=c. 把a=c代入②得b=a,故a=b=c, ∴公差为0,这与已知矛盾. ∴,,不可能成等差数列. 反思与感悟 证明否定性问题常用反证法,例如证明异面直线,可以先假设共面,再把假设作为已知条件推导出矛盾.
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