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这些平行结构之间有什么联系?
若能等价替换原命题的条件或结论会得到怎样的新命题?
减弱原命题的条件或加强原命题的结论是否可行?
3、按题型分类归纳各自的解法
把主要类型的一些问题分门别类地归纳、整理各自的解法,这样能健全信息网络,扩大解题视野,提高一题多解的能力.
例如数列求和的一般方法是:
利用等差、等比数列的求和公式;
分拆项法;
并项法;
逐差法;
先猜想后用数学归纳法进行证明的方法等.经过这样的多向分类梳理我们就掌握了大把的解题钥匙,一旦遇到此类问题时,就能从储存的信息中取出所需要的解题办法,逐一筛选,择优而用,积累的越多越齐全,多解的本领就越大.
再如证明整除问题的一般方法是:
公式法;
用二项式定理法;
用余数定理法;
数学归纳法;
余数分类法等如对这些方法都很熟悉
发散思维能力是创新思维能力的重要组成部分.在数学教学中,教师应启发学生对问题从不同角度进行分析,从多个侧面进行思考,通过一题多解、一题多变、一题多用、多解归一等形式让学生从单一的思维模式解放出来,促进学生对数学知识的灵活运用,拓宽学生的解题思路,引导学生从众多解决问题的方案中找出最佳方案,开阔学生的创新视野,培养学生的创新思维能力.
一题多解是从不同的角度、不同的方位审视分析同一题中的数量关系,用不同解法求得相同结果的思维过程。
教学中适当的一题多解,可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望,加深学生对所学知识的深刻理解,训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用,锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性,从而培养学生的思维品质,发展学生的创造性思维。
首先我们要启发联想诱发一题多解
联想是由一事物想到另一个事物的思维过程,它是创造性思维的起点。
课堂上启发学生展开联想,进行发散性思维,可以帮助学生突破感官时空限制,扩大感知领域,唤起学生对已有知识和经验的回忆,沟通新旧知识之间的联系,达到一题多解,发展学生的思维。
例:
某厂有工人126人,男女工人之比是5∶4,男工有多少人?
读题后,引导学生根据“男女工人数之比是5∶4”展开联想:
①男工人数是女工人数的;
②女工人数是男工人数的;
③男工人数占全厂工人的;
④女工人数占全厂工人的;
⑤男工人数比女工人数多;
⑥女工人数比男工人数少;
⑦男工人数占5份,女工人数占4份。
学生的联想越丰富,思路就越宽阔,解题方法也就越新颖、越多样:
其次,巧设提问诱发一题多解
学生学习的实质是在教师的启迪下自主探索建构的过程。
解题时巧设问题,如“这题还有别的解法吗?
” “如果……会怎样?
”等势必扩大学生思考的范围,拓宽学生解决问题的视野,促使学生开动脑筋,更深入地思考,去发现解决问题的新思路、新途径。
客车和货车同时从甲乙两地相对开出,客车每小时行50千米,货车每小时行40千米4小时相遇。
甲乙两地相距多少千米?
学生按常规用①50×
4+40×
4=360(千米)、②(50+40)×
4=360(千米)两种方法解答后,教师及时设问:
“如果假设客车和货车速度相同会怎样?
这道题还有其它的解法吗?
”启迪学生思考,从而得出几种新颖奇特、富有思维价值的解法。
方法1:
假设客车和货车每小时都行40千米,客车就少行4个10千米,于是可得:
40×
8+4×
10=360(千米)。
方法2:
假设客车和货车每小时都行50千米,货车就多行4个10千米,于是可得:
50×
8-4×
方法3:
假设客车和货车都每小时行40千米,而客车多行的也正好是40千米,就可以得出解法:
9=360(千米)。
再者教学中要注重培养学生解题过程中举一反三的能力,例如在六年级上的几何中有
公式:
圆的周长c=d,c=2r.圆的面积s=.弧长l=,n=,r=.扇形的面积s=
引导学生由公式可得:
半径,直径扩大或缩小n倍,周长就扩大或缩小n倍,面积就扩大或缩小n倍。
两圆的半径(直径)之比为1:
n,则两圆周长之比为1:
n,面积之比为1:
n
反之,已知周长(面积)间的关系,求半径(直径)的关系。
半径不变,圆心角扩大n倍,弧长也扩大n倍。
圆心角不变,半径扩大n倍,弧长也扩大n倍
圆心角不变,半径扩大n倍,扇形面积扩大n倍
半径不变,圆心角扩大n倍,扇形面积扩大n倍.
总之教师自己在平时的教学中要钻研教材,精心设计一题多解和一题多变的
练习题,培养学生举一反三的能力,让学生在有趣的学习中探索知识,使他们灵活运用知识的技能技巧得到提高。
而在课堂上,要进一步关注学习有困难的学生,他么其实也渴望得到老师的表扬,师生互助,生生互助,共同努力,从自身做起不断提高教学质量,为学生撑起一片灿烂的天空,让他们快乐的成长!
对于同一道物理题,由于分析角度及使用的物理规律不同,就会产生不同的解法,解法不同.解题的繁简上会有所区别.这种变换角度和方法来解同一道题,对于开阔解题思路,熟练掌握有关物理知识很有好处,而且比较不同解法,针对不同情况,确定最优解法,有助于认识不同方法的特点,使得在考试中能有针对性地采取较方便的方法解题,达到快速解题的目的,这培养了学生的解题及处理问题优化思维的能力。
下面本人举一例来说明以上观点。
题:
如图l所示,两个质量完全一样的小球,从光滑的a管和b管由静止滑下,设转弯处无能量损失,比较两球用时的长短.(B、D两点在同一水平线上)
方法一:
(平均速度法)
设AB长为L,AB与水平方向之夹角为α,由图可知0<
α<
45。
,则AD长为Ltgα,因为B、D两点在同一水平线上,据机械能守恒可知小球在B、D两点速度大小相等,到达C点的速度大小也相等,故有小球通过AB与AD段的平均速度相等,现设其平均速度为v1;
小球通过BC与DC段的平均速度也相等,设其平均速度为v2,由运动学知识可知v1<
v2,则有:
从管a下落的时间为:
从管b下落的时间为:
因为0<
,v1<
v2,所以可得:
ta>
tb
方法二:
(相同路程法)
由图二可知AB边比AD长,故可在AB边上取一点E使AE=AD,过B点作BF平行于ED交CD于F,由几何知识知BE=DF、BC=CF.
在AE与AD段,由于小球在AD段的加速度大于AE段的加速度且AE=AD,据位移公式可得:
tAE>
tAD①
在BE与DF段加速度相同,因为vEB=vD且BE=DF,又据位移公式可得:
tBE>
tDF②
在BC与CF段,vB=vDF,由机械能守恒可知小球从不同管道到达C点速度大小相等,故有BC段的平均速度小于CF段的平均速度,又因为BC=CF,所以有:
tBC>
tCF③.
由①,②,③可得:
ta=tAE+tBE+tBC>
tb=tAD+tDF+tCF
方法三:
(图象法)
小球从a管或b管下落,到达C点时速度大小相等,且位移也相同,故可构建v—t图象如图3,由图可知:
tb.
从此题可以看出,三种不同的思路导致了三种不同的解法,从而使解题过程产生了很大的区别,方法三明显简单,但同时思维能力要求高.
一题多解 培养能力
赵根厚
例1标况下,CO与CO2组成的混合气体13.44L,质量20g,则混合气体中C与O两原子的物质的量之比为( )。
分析:
欲求两原子的物质的量之比,只需求出两气体的物质的量之比,因此只要求出两气体各自的质量或物质的量或标况下的体积就行了。
设标况下CO气体的体积为x,则CO2的体积为13.44L-x。
根据气体质量可列方程:
xL/(22.4L·
mol-1)×
28g·
mol-1+[(13.44L-x)/(22.4L·
mol-1)]×
44g·
mol-1=20g
解方程即可求出x,进而得到答案B。
方法2:
设CO的质量为x,则CO2的质量为(20-x)g,则有:
(x/28)×
22.4+[(20-x)/44]×
22.4=13.44
解方程求出x,进而得到答案。
上面两种方法计算量太大,仅有思考价值。
方法3:
标况下混合气体的物质的量为:
13.44L/22.4L·
mol-1=0.6mol
设:
混合气体中CO的物质的量为x,则有:
28g·
mol-1x+(0.6mol-x)44g·
解方程求出x。
这样解计算量较小,较为简便。
方法4:
知道标况下混合气体的质量及物质的量,可求出混合气体的平均摩尔质量,用十字交叉法求解之。
=20g/0.6mol=33.
g·
mol-1
10.6/5.2=2/1
得答案为B。
方法5:
思维角度:
已知混合气体物质的量为0.6mol,根据极限思想,假设混合气体全部为CO,则质量m=16.8 g,若全部为CO2,则质量m=26.4g,利用十字交叉法
6.4/3.2=2/1
进而求出答案。
方法6:
已知混合气体的质量为20g,根据极限思想,假设混合气体全部为CO,则标况下的体积为:
(20g/28g·
22.4L·
mol-1=16L
若混合气体全部为CO2,则标况下的体积为:
(20g)/(44g·
22.4L·
mol-1=10.18L 利用十字交叉法:
mCO∶mCO2=163∶128
由两种气体的质量比,可求得答案。
此法虽较为烦锁,但它能很好的训练十字交叉法的应用。
方法7:
若混合气体全部为CO,则质量为:
0.6mol×
28g·
mol-1=16.8g
△m=20g-16.8g=3.2g
则3.2g为CO2比CO多出的氧原子的质量。
则CO2的量为0.2mol。
nCO=0.6mol-0.2mol=0.4mol
进而可求出答案B。
方法8:
设混合气体的平均化学式为COx,
则有:
COx————C
1mol 1mol
0. 6mol nC=0.6mol
nO=(20g-7.2g)/(16g·
mol-1)=0.8mol,则C,O比0.6∶0.8=3∶4
方法9:
该题既为选择题,它的正确答案便在选项之中。
因混合气体是由CO和CO2组成的,则碳原子的物质的量肯定小于氧原子的物质的量,因而可排除答案A,又因是混合气体,则可排除D;
若为答案C,则两气体的物质的量之比为1∶1,平均式量应为36,但20/0.6≈33.
,所以C错,只能选B。
该题虽为一道简单而常见的题目,但对此类题目从不同角度的研究,更能激发学生的学习兴趣,培养学生分析问题的能力。
例2.120°
时,H2S与O2混合气体全部燃烧后恢复至原状况体积减少30%,求原混合气体中H2S的体积含量。
该题仅知燃烧前后气体的体积差,因而可用差量法求解。
依题意可知,H2S全部反应,有关反应方程式如下:
(1)2H2S+3O2=2SO2+2H2O(气) △V
2 3 2 2 1
(2)2H2S+O2=2S+2H2O(气) △V
2 1 2 1
若反应全部按
(1)进行,则体积减少20%,若反应全部按
(2)进行,则体积减少33.3%。
由题意可知,体积减少30%,则H2S一部分充分燃烧,一部分不充分燃烧。
方法1:
设充分燃烧耗H2Samol,不充分燃烧耗H2Sbmol。
因同一条件下,物质的量之比等于体积之比,则有:
2H2S+3O2=2SO2+2H2O(气) △V
2 3 2 2 1
a(3/2)a a a (a/2)
2H2S+O2=2S+2H2O(气) △V
2 1 2 1
b (b/2) b b/2
(a/2)+(b/2)=30%[(5/2)a+(3/2)b]解得b=5a,则得答案60%。
方法2:
设混合气体总体积为V,充分燃烧耗气体x体积。
2H2S+3O2=2SO2+2H2O(气) △V
2+3=5 1
x x/5
2H2S+O2=2S+2H2O(气) △V
2+1=3 2 1
V-x(V-x)/3
据题意则有:
(x/5)+(V-x)/3=0.3V
解得V=4x
H2S的体积含量为:
{(2/5)x+[(2/3)(V-x)]/V}×
100%代入V=4x,得答案60%。
方法3:
设反应前混合气体中H2S为amol,O2为bmol。
根据氢原子守恒可知:
反应后H2O(气)的物质的量为amol,根据氧原子守恒,反应后SO2的物质的量为(2b-a)/2mol,依题意知:
a+(2b-a)/2=0.7(a+b)解得,a=(3/2)b,则H2S体积含量为:
[a/(a+b)]×
100%=[(1.5b)/25b]×
100%=60%。
方法4:
该反应既为氧化还原反应,则化合价升降必然相等;
仍设混合气体中H2S为amol,O2为bmol,根据H原子守恒:
nH2O=amol,nSO2=0.7(a+b)-a=0.7b-0.3a,根据硫守恒:
nS=a-nSO2=1.3a-0.7b
反应后氧元素化合价降低:
4a
硫元素化合价共升高:
(0.7b-0.3a)×
6+(1.3a-0.7b)×
2
根据化合价升降相等,解得a=(3/2)b,代入则可算出答案。
把混合气体的体积做为研究对象,根据极限的思想可用十字交叉法求解。
已知反应:
(1)2H2S+3O2=2SO2+2H2O(气)
(2)2H2S+O2=2S+2H2O(气)
若全部按
(1)反应,体积减少20%。
若混合气体全部按
(2)反应,则体积减少:
33.3%。
利用十字交叉法:
则得二者之比为1∶3。
因研究对象为混合气体,则1∶3为按反应
(1)、
(2)进行时消耗混合气体的体积比,则得答案:
{[(2/5)×
1+(2/3)×
3]/4}×
方法6:
可设反应按如下过程进行:
(1)2H2S+O2=2S+2H2O(气)
(2)S+O2=SO2
由上述反应
(2)可知,过量O2与S反应,气体体积不变化。
则燃烧过程中体积减少,均由反应
(1)造成。
设:
混合气体中H2S为a体积,O.2为b体积。
则由反应
(1)可知:
a/2=(a+b)×
0.3所以a/(a+b)=0.6即得答案60%。
设混合气体中H2S为amol,SO2为bmol,根据质量守恒直接写方程式,并配平可得答案。
此题是常见习题,我们从不同角度研究各种解法,既培养了学生的发散思维能力,又提高了学生的学习兴趣。
摘自《中学化学参考》
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