物理练习册一答案Word格式.docx
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他在东边落地时的速度?
速度与水平面的夹角?
[解答]方法一:
分步法.
70m夹角用θ表示,人和车在竖直方向首先做竖直上抛运动,初速度的大小为
图vy0=v0sinθ=(m·
s-1).
取向上的方向为正,根据匀变速直线运动的速度公式
vt-v0=at,
这里的v0就是vy0,a=-g;
当人达到最高点时,vt=0,所以上升到最高点的时间为
t1=vy0/g=(s).
再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式:
vt2-v02=2as,可得上升的最大高度为:
h1=vy02/2g=(m).
人从最高点开始再做自落体运动,下落的高度为;
h2=h1+h=(m).根据自落体运动公式s=gt2/2,得下落的时间为:
t2?
因此人飞越的时间为:
t=t1+t2=(s).人飞越的水平速度为;
vx0=v0cosθ=(m·
2h2=(s).g所以矿坑的宽度为:
x=vx0t=(m).
根据自落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为:
vy=gt=(m·
s-1),落地速度为:
v=(vx2+vy2)1/2=(m·
s-1),与水平方向的夹角为:
θ=arctan(vy/vx)=,方向斜向下.
方法二:
一步法.
取向上为正,人在竖直方向的位移为y=vy0t-gt2/2,移项得时间的一元二次方程
12gt?
v0sin?
t?
y?
0,2解得:
(v0sin?
?
2gy)g.
这里y=-70m,根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小,于时间应该取正值,所以公式取正根,计算时间为:
t=(s).
此可以求解其他问题.
1.4一个正在沿直线行驶的汽船,关闭发动机后,于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度,即dv/dt=-kv2,k为常数.
试证在关闭发动机后,船在t时刻的速度大小为试证在时间t内,船行驶的距离为x?
2211?
kt;
vv01ln(v0kt?
1).kvtdvdv[证明]分离变量得2?
kdt, 故?
2?
k?
dt,
vvv0011?
kt.vv0v0公式可化为v?
,
1?
v0ktv01于v=dx/dt,所以:
dx?
dt?
d(1?
v0kt)
v0ktk(1?
v0kt)可得:
积分
1d(1?
v0kt).
k(1?
v0kt)001因此 x?
ln(v0kt?
1).证毕.
kxt?
[讨论]当力是速度的函数时,即f=f(v),根据牛顿第二定律得f=ma.于a=d2x/dt2,而dx/dt=v, a=dv/dt,分离变量得方程:
mdv,f(v)解方程即可求解.
在本题中,k已经包括了质点的质量.如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比,则dv/dt=-kvn.如果n=1,则得
dv?
kdt,v积分得lnv=-kt+C.当t=0时,v=v0,所以C=lnv0,因此lnv/v0=-kt,
得速度为:
v=v0e-kt.而dv=v0e-ktdt,积分得:
x?
v0?
kte?
C`.?
k当t=0时,x=0,所以C`=v0/k,因此x?
1?
nv0(1-e?
kt).kR如果n≠1,则得
vdv?
kdt?
kt?
C.,积分得vn1?
n1?
nv011?
C,因此n?
n?
(n?
1)kt.当t=0时,v=v0,所以
nvv0A图如果n=2,就是本题的结果.
n?
1{[1?
1)v0kt](n?
2)/(n?
1)?
1}如果n≠2,可得x?
,读者不妨自证.n?
2)v0k
1.5一质点沿半径为的圆周运动,其角位置可用公式表示:
θ=2+4t3.求:
t=2s时,它的法向加速度和切向加速度;
当切向加速度恰为总加速度大小的一半时,θ为何值?
在哪一时刻,切向加速度和法向加速度恰有相等的值?
[解答]角速度为ω=dθ/dt=12t2=48(rad·
法向加速度为an=rω2=(m·
s-2);
角加速度为β=dω/dt=24t=48(rad·
s-2),切向加速度为at=rβ=(m·
s-2).总加速度为a=(at2+an2)1/2,
当at=a/2时,有4at2=at2+an2,即an?
at3.此得r?
r?
3,即 (12t2)2?
24t3,解得 t?
3/6.
所以?
4t3?
2(1?
3/3)=(rad).
当at=an时,可得rβ=rω2, 即:
24t=(12t2)2,
解得:
t=(1/6)1/3=(s).
1.6一飞机在铅直面内飞行,某时刻飞机的速度为v=300m·
s-1,方向与水平线夹角为30°
而斜向下,
3此后飞机的加速度为a=203m·
s-2,方向与水平前进方向夹角为30°
而斜向上,问多长时间后,飞机又回到原来的高度?
在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少?
y[解答]建立水平和垂直坐标系,飞机的初速度的大小为
v0x=v0cosθ,aay v0y=v0sinθ.Oαaxθv0x加速度的大小为ax=acosα, ay=asinα.xv0yv12120运动方程为x?
v0xt?
axt, y?
v0yt?
ayt.
22
s?
即 x?
v0co?
1aco?
s?
2t,21y?
asin?
t2.
22v0sin?
103(s).
asin?
令y=0,解得飞机回到原来高度时的时间为:
t=0;
将t代入x的方程求得x=9000m.
[注意]选择不同的坐标系,如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向,也能求出相同的结果.
1.7一个半径为R=的轻圆盘,可以绕一水平轴自转动.一根轻绳绕在盘子的边缘,其自端拴一物体A.在重力作用下,物体A从静止开始匀加速地下降,在Δt=内下降的距离h=.求物体开始下降后3s末,圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度.
[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度.于h?
所以at=2h/Δt2=(m·
物体下降3s末的速度为v=att=(m·
1at?
t2,2v2这也是边缘的线速度,因此法向加速度为an?
=(m·
R
1.8一升降机以加速度·
s-2上升,当上升速度为·
s-1时,有一螺帽自升降机的天花板上松落,天花板与升降机的底面相距.计算:
螺帽从天花板落到底面所需的时间;
螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离.
[解答]在螺帽从天花板落到底面时,升降机上升的高度为
1h1?
v0t?
at2;
2螺帽做竖直上抛运动,位移为h2?
题意得h=h1-h2,所以h?
12gt.21(a?
g)t2,2解得时间为t?
2h/(a?
g)=(s).
算得h2=-,即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为.
[注意]以升降机为参考系,钉子下落时相对加速度为a+g,而初速度为零,可列方程
h=(a+g)t2/2,
此可计算钉子落下的时间,进而计算下降距离.
1.9有一架飞机从A处向东飞到B处,然后又向西飞回到A处.已知气流相对于地面的速度为u,AB之间的距离为l,飞机相对于空气的速率v保持不变.
2l;
vt0如果气流的速度向东,证明来回飞行的总时间为t1?
;
u2/v2t0如果气流的速度向北,证明来回飞行的总时间为t2?
.
221?
u/v如果u=0,试证来回飞行的时间为t0?
[证明]飞机飞行来回的速率为v,路程为2l,所以飞行时间为t0=2l/v.飞机向东飞行顺风的速率为v+u,向西飞行逆风的速率为v-u,所以飞行时间为t1?
ll2vlt0?
2?
2l2/v2?
.222v?
uv?
u1?
u/v1?
u/vA
v
vB
飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度.为了使飞机
沿着AB之间的直线飞行,就要使其相对地的速度偏向北方,可作矢量三角形,其中沿AB方向的速度大小为V?
v?
u,所以飞行时间为
22v+uAv-u
vA
Bu
t2?
2l2l2l/vt0?
.证毕.?
222222Vv?
u/v
1.10如图所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速度为v1,下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ,偏向于汽车前进方向,速度为v2.今在车后放一长方形物体,问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿?
[解答]雨对地的速度v2等于雨对车的速度v3加车对地的速度v1,此可作矢量三角形.根据题意得
Buv
tanα=l/h.
方法一:
利用直角三角形.根据直角三角形得
v1=v2sinθ+v3sinα,
其中v3=v⊥/cosα,而v⊥=v2cosθ,因此v1=v2sinθ+v2cosθsinα/cosα,即 v1?
v2(sin?
lhθlcos?
).证毕.hv2v1方法二:
利用正弦定理.根据正弦定理可得
v1v2,?
sin()sin(90)sin()所以:
v1?
v2
cos?
sin?
cos?
图
?
tan?
),
lcos?
).hαhv3αθv2v⊥lv1
即 v1?
方法三:
利用位移关系.将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量,在t时间内,雨滴的位移为
l=(v1–v2sinθ)t,h=v2cosθ?
t.
两式消去时间t即得所求. 证毕.
vv2.1一个重量为P的质点,在光滑的固定斜面上以初速度0运动,0的方向与斜面底
边的水平约AB平行,如图所示,求这质点的运动轨道.
[解答]质点在斜上运动的加速度为a=gsinα,方向与初速度方向垂直.其运动方程为x=v0t,
将t=x/v0,代入后一方程得质点的轨道方程为
第二章运动定律与力学中的守恒定律
(一)牛顿运动定律
y?
121at?
gsin?
t222.
图这是抛物线方程.
2.2桌上有一质量M=1kg的平板,板上放一质量m=2kg的另一物体,设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk=,静摩擦因素为μs=.求:
gsin?
2y?
x2v0,
v0PA
αB?
F今以水平力拉板,使两者一起以a=1m·
s-2的加速度运动,试计算物体与板、与桌面间的相
Nmfm
NMfMa互作用力;
要将板从物体下面抽出,至少需要多大的力?
[解答]物体与板之间有正压力和摩擦力的作用.
板对物体的支持大小等于物体的重力:
Nm=mg=(N),这也是板受物体的压力的大小,但压力方向相反.
物体受板摩擦力做加速运动,摩擦力的大小为:
fm=ma=2(N),这也是板受到的摩擦力的大小,摩擦力方向也相反.
板受桌子的支持力大小等于其重力:
NM=(m+M)g=(N),这也是桌子受板的压力的大小,但方向相反.
板在桌子上滑动,所受摩擦力的大小为:
fM=μkNM=(N).这也是桌子受到的摩擦力的大小,方向也相反.
设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动,物体的运动方程为f=μsmg=ma`,
Nm可得a`=μsg.
f板的运动方程为
a`F–f–μk(m+M)g=Ma`,NM即F=f+Ma`+μk(m+M)g
fF=(μs+μk)(m+M)g,
f`算得 F=(N).
因此要将板从物体下面抽出,至少需要的力.
2.3如图所示:
已知F=4N,m1=,m2=,两物体与水平面的的摩擦因素匀为.求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力.
[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2=2a1,而力的关系为T1=2T2.对两物体列运动方程得
a1T2-μm2g=m2a2,T1a2mT2F–T1–μm1g=m1a1.m12可以解得m2的加速度为f2f1F?
(m1?
2m2)ga2?
图
-2m1/2?
2m2=(m·
s),
绳对它的拉力为
T?
m2(F?
m1g/2)m1/2?
2m2=(N).
111?
它们串联起来时,总倔强系数k与k1和k2.满足关系关系式kk1k2;
它们并联起来时,总倔强系数k=k1+k2.
k1[解答]当力F将弹簧共拉长x时,有F=kx,其中k为总倔强系数.
两个弹簧分别拉长x1和x2,产生的弹力分别为F1=k1x1,F2=k2x2.(a)于弹簧串联,所以F=F1=F2,x=x1+x2,k1
2.4两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2.求证:
k2FF(b)111FF1F2k1k2,即:
kk1k2.因此kk2于弹簧并联,所以F=F1+F2,x=x1=x2,
图因此kx=k1x1+k2x2,即:
k=k1+k2.
2.5如图所示,质量为m的摆悬于架上,架固定于小车上,在下述各种情况中,求摆线的方向及线中的张力T.
小车沿水平线作匀速运动;
a小车以加速度1沿水平方向运动;
小车自地从倾斜平面上滑下,斜面与水平面成θ角;
用与斜面平行的加速度b1把小车沿斜面往上推;
以同样大小的加速度b2,将小车从斜面上推下来.
[解答]小车沿水平方向做匀速直线运动时,摆在水平方向没有受到力的作用,摆线偏角为零,线中张力为T=mg.
θTmgma图小车在水平方向做加速运动时,重力和拉力的合力就是合外力.于
tanθ=ma/mg, 所以 θ=arctan(a/g);
2222T?
(ma)?
(mg)?
ma?
g绳子张力等于摆所受的拉力:
小车沿斜面自滑下时,摆仍然受到重力和拉力,
合力沿斜面向下,所以θ=θ;
T=mgcosθ.
根据题意作力的矢量图,将竖直虚线延长,与水平辅助线相交,可得一直角三角形,θ角的对边是mbcosθ,邻边是mg+mbsinθ,此可得:
tan?
因此角度为
mbcos?
mg?
mbsin?
arctan而张力为
bcos?
g?
bsin?
mbθmgθTT?
(mb)2?
(mg)2?
2(mb)(mg)cos(π/2?
)
θTθmbmgθ5)与上一问相比,加速度的
方向反向,只要将上一结果中的b改为-b就行了.
Ol2.6如图所示:
质量为m=的小球,拴在长度l=的轻绳子的一端,
m构成一个摆.摆动时,与竖直线的最大夹角为60°
.求:
θ小球通过竖直位置时的速度为多少?
此时绳的张力多大?
在θ[解答]小球在运动中受到重力和绳子的拉力,于小球沿圆弧运动,T所以合力方向沿着圆弧的切线方向,即F=-mgsinθ,负号表示角度θ增加的方θ向为正方向.ma小球的运动方程为Olmgd2smθF?
m2θTdt,
其中s表示弧长.于s=Rθ=lθ,所以速度为CBdsd?
mgv?
ldtdt,
因此
F?
mdvdvd?
mdv?
m?
vdtd?
dtld?
即 vdv=-glsinθdθ, 取积分
vB0vdv?
gl?
d?
60?
00,
12vB?
glcos?
2得
60?
,解得:
vB?
gl=(m·
22vBvBTB?
mgRl于:
所以TB=2mg=(N).
式积分得
12vC?
C2,
当θ=60o时,vC=0,所以C=-lg/2,
因此速度为
vC?
gl(2cos?
1).
切向加速度为at=gsinθ;
法向加速度为
2vCan?
g(2cos?
1)R.
于TC–mgcosθ=man,所以张力为TC=mgcosθ+man=mg(3cosθ–1).当θ=60o时,切向加速度为
at?
3g2=(m·
s-2),
法向加速度为an=0,
绳子的拉力T=mg/2=(N).
[注意]在学过机械能守恒定律之后,求解速率更方便.
2.7小石块沿一弯曲光滑轨道上静止滑下h高度时,它的速率多大?
[解答]小石块在运动中受到重力和轨道的支持力,合力方向沿着曲线方向.设切线与竖直方向的夹角为θ,则
F=mgcosθ.
m小球的运动方程为
d2sF?
m2dt,s表示弧长.
dsv?
dt,所以于
dsddsdvdvdsdv?
()vdt2dtdtdtdsdtds,
因此 vdv=gcosθds=gdh,h表示石下落的高度.
2Nhθmg图
12v?
gh?
C2积分得 ,当h=0时,v=0,所以C=0,
因此速率为v?
2gh.
2.8质量为m的物体,最初静止于x0,在力处的速度大小v=[2k(1/x–1/x0)/m]1/2.
[证明]当物体在直线上运动时,根据牛顿第二定律得方程
f?
kx2(k为常数)作用下沿直线运动.证明物体在x
利用v=dx/dt,可得
kd2xf?
m2xdt
d2xdvdxdvdvvdt2dtdtdxdx,
因此方程变为
mvdv?
积分得
kdxx2,
12kmv?
C2x .
利用初始条件,当x=x0时,v=0,所以C=-k/x0,因此
12kkmv?
2xx0,v?
2k11(?
)mxx0.证毕.
即
[讨论]此题中,力是位置的函数:
f=f(x),利用变换可得方程:
mvdv=f(x)dx,积分即可求解.
12dxmv?
xn.
如果f(x)=-k/xn,则得212mv?
klnx?
C2当n=1时,可得
x12mv?
kln0x,利用初始条件x=x0时,v=0,所以C=lnx0,因此 22kx0lnmx.即
12k1?
nk1?
nmv?
CC?
x01?
nn?
1如果n≠1,可得2.利用初始条件x=x0时,v=0,所以,
12k11mv?
1)n?
1xx0,因此2v?
即
2.9一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动.在运动过程中,小球所受空气阻力大小与速率成正比,比例系数为k.求:
小球速率随时间的变化关系v(t);
小球上升到最大高度所花的时间T.
[解答]小球竖直上升时受到重力和空气阻力,两者方向向下,取向上的方向为下,根据牛顿第二定律得方程
2k11(n?
1)(n?
1)mxx0. 当n=2时,即证明了本题的结果.
dvdt,
dvmd(mg?
kv)dt?
kvkmg?
kv,分离变量得f?
kv?
mmln(mg?
kv)?
Ck积分得.
mC?
ln(mg?
kv0)k当t=0时,v=v0,所以,
mmg?
kvmmg/k?
vt?
ln?
lnkmg?
kv0kmg/k?
v0,因此
t?
小球速率随时间的变化关系为
v?
(v0?
mgktmg)exp(?
)?
kmk.
当小球运动到最高点时v=0,所需要的时间为
v0mln?
ln(1?
0)kmg/kkmg.
[讨论]如果还要求位置与时间的关系,可用如下步骤:
于v=dx/dt,所以
dx?
[(v0?
mgktmg)exp(?
]dtkmk,
m(v0?
mg/k)ktmgdexp(?
dtkmk,
积分得
x?
mg/k)ktmgexp(?
C`kmk,C`?
mg/k)k,
当t=0时,x=0,所以
mg/k)ktmg[1?
exp(?
)]?
tkmk.
如果小球以v0的初速度向下做直线运
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