高中数学解题思想方法大全Word格式文档下载.docx
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第四讲数学思维的开拓性.................................................................................................................................93
二、《解密数学思维的内核》104
数学解题的技巧..................................................................................................................................................104
数学解题的思维过程..........................................................................................................................................109
数学解题方法..........................................................................................................................................115
三、《高考数学解题专项训练》124
II
四、综合题解题集锦183
五、高考考前指导215
第一部分(选择题)..........................................................................................................................................215
第二部分(填空题)..........................................................................................................................................219
第三部分(复数与三角)...................................................................................................................................220
第四部分(数列)..............................................................................................................................................221
第五部分(立体几何).......................................................................................................................................222
第六部分(函数与不等式)...............................................................................................................................223
第七部分(解析几何).......................................................................................................................................224
第八部分(应用题)..........................................................................................................................................225
高考数学考前指导答案227
第一部分(选择题)..........................................................................................................................................227
第二部分(填空题)..........................................................................................................................................229
第三部分(复数与三角)...................................................................................................................................230
第四部分(数列)..............................................................................................................................................231
第五部分(立体几何).......................................................................................................................................232
第六部分(函数与不等式)...............................................................................................................................233
第七部分(解析几何).......................................................................................................................................234
第八部分(应用题)..........................................................................................................................................235
六、高考试题评析237
III
前言
美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。
而当我们解题时遇
到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数
学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。
高考试题十分重视对于数学思
想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。
我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自
己具有数学头脑和眼光。
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查:
①常用数学方法:
配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等;
②数学逻辑方法:
分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等;
③数学思维方法:
观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳
和演绎等;
④常用数学思想:
函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思
想等。
数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。
数学知识是数学内容,
可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。
而数
学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的
认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知
识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。
数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可
操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。
数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方
法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。
可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心
就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。
为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的
数学基本方法:
配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、
分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学
思想:
函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想。
最后谈谈解
题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷。
在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现。
再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分
析,对方法和问题进行示范。
巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用。
每个题
组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。
1
第一章高中数学解题基本方法
一、配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的
联系,从而化繁为简。
何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”
的技巧,从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。
它主要适用于:
已知或者未知中含有二
次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问
题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)
2
=a
+2ab+b
,将这个公式灵活运
用,可得到各种基本配方形式,如:
a
+b
=(a+b)
-2ab=(a-b)
+2ab;
+ab+b
-ab=(a-b)
+3ab=(a+
b
)
+(
3
b)
;
+c
+ab+bc+ca=
[(a+b)
+(b+c)
+(c+a)
]
=(a+b+c)
-2(ab+bc+ca)=(a+b-c)
-2(ab-bc-ca)=…
结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如:
1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα)
x
+
=(x+
-2=(x-
+2;
……等等。
Ⅰ、再现性题组:
1.在正项等比数列{a
n
}中,a
5
+2a
+a
7
=25,则a
+a
=_______。
2.方程x
+y
-4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。
A.
4
1C.k∈RD.k=
或k=1
3.已知sin
α+cos
α=1,则sinα+cosα的值为______。
A.1B.-1C.1或-1D.0
4.函数y=log
(-2x
+5x+3)的单调递增区间是_____。
A.(-∞,
]B.[
+∞)C.(-
]D.[
3)
5.已知方程x
+(a-2)x+a-1=0的两根x
、x
,则点P(x
x
)在圆x
+y
=4上,则实数a=_____。
【简解】1小题:
利用等比数列性质a
mp
m
,将已知等式左边后配方(a
易求。
答案是:
5。
2小题:
配方成圆的标准方程形式(x-a)
+(y-b)
=r
,解r
>
0即可,选B。
3小题:
已知等式经配方成(sin
α)
-2sin
αcos
α=1,求出sinαcosα,然后求出
所求式的平方值,再开方求解。
选C。
4小题:
配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。
选D。
5小题:
答案3-11。
Ⅱ、示范性题组:
例1.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为
_____。
A.23B.14C.5D.6
【分析】先转换为数学表达式:
设长方体长宽高分别为x,y,z,则
211
424
()
xyyzxz
xyz
而
欲求对角线长
222
,将其配凑成两已知式的组合形式可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24”
而得:
。
长方体所求对角线长为:
xyz
=()()xyzxyyzxz
2=611
=5
所以选B。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,
容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。
这也是我们使用配方法
的一种解题模式。
例2.设方程x
+kx+2=0的两实根为p、q,若(
p
q
+(
≤7成立,求实数k的≈捣段А?
【解】方程x
+kx+2=0的两实根为p、q,由韦达定理得:
p+q=-k,pq=2,
(
=
pq
pq
44
pqpq
22222
2
[()]
pqpqpq
2222
22
()k
48
≤7,解得k≤-10或k≥10。
又∵p、q为方程x
+kx+2=0的两实根,∴△=k
-8≥0即k≥22或k≤-22
综合起来,k的取值范围是:
-10≤k≤-22或者22≤k≤10。
【注】关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ”;
已知方程有两根时,可以
恰当运用韦达定理。
本题由韦达定理得到p+q、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分
后配方,表示成p+q与pq的组合式。
假如本题不对“△”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果
相同,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视。
例3.设非零复数a、b满足a
=0,求(
ab
1998
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