二次函数动点及最值问题Word文件下载.docx

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（3）∵S△APE=AE•h，

∴当P到直线AB的距离最远时，S△ABC最大；

若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；

设直线L：

y=﹣x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，

﹣x+b=﹣x2+x+4，且△=0；

求得：

b=，即直线L：

y=﹣x+；

可得点P（，）．

由

（2）得：

E（5，﹣），则直线PE：

y=﹣x+9；

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则点F（，0），AF=OA+OF=；

∴△PAE的最大值：

S△PAE=S△PAF+S△AEF=×

×

（+）=．

综上所述，当P（，）时，△PAE的面积最大，为．

针对训练：

1、（2013）如图，抛物线y1=x2﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C．

（1）请直接写出抛物线y2的解析式；

（2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标；

（3）在第四象限抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？

若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；

若不存在，请说明理由．

（1）抛物线y1=x2﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为（4，﹣1），

所以，抛物线y2的解析式为y2=（x﹣4）2﹣1；

（2）x=0时，y=﹣1，

y=0时，x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1，

所以，点A（1，0），B（0，﹣1），

∴∠OBA=45°

联立，

解得，

∴点C的坐标为（2，3），

∵∠CPA=∠OBA，

∴点P在点A的左边时，坐标为（﹣1，0），

在点A的右边时，坐标为（5，0），

所以，点P的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；

（3）存在．

∵点C（2，3），

∴直线OC的解析式为y=x，

设与OC平行的直线y=x+b，

消掉y得，2x2﹣19x+30﹣2b=0，

当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC中OC边上的高h有最大值，

此时x1=x2=×

（﹣）=，

此时y=（﹣4）2﹣1=﹣，

∴存在第四象限的点Q（，﹣），使得△QOC中OC边上的高h有最大值，

此时△=192﹣4×

（30﹣2b）=0，

解得b=﹣，

∴过点Q与OC平行的直线解析式为y=x﹣，

令y=0，则x﹣=0，解得x=，

设直线与x轴的交点为E，则E（，0），

过点C作CD⊥x轴于D，根据勾股定理，OC==，

则sin∠COD==，

解得h最大=×

=．

2、如图，抛物线

的图象与

轴交于

、

两点，与

点，已知

点坐标为

.

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究

的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点

是线段

下方的抛物线上一点，求

的面积的最大值，

并类型一、最值问题：

类型一、最值问题：

（2013•）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，﹣），已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）．

（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？

若存在，求出点C的坐标；

若不存在，请说明理由；

（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？

若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；

若没有，请说明理由．（注意：

本题中的结果均保留根号）

考点：

二次函数综合题．3338333

分析：

（1）直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式；

（2）因为点A，O关于对称轴对称，连接AB交对称轴于C点，C点即为所求，求直线AB的解析式，再根据C点的横坐标值，求纵坐标；

（3）设P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＜0），用割补法可表示△PAB的面积，根据面积表达式再求取最大值时，x的值．

（1）将A（﹣2，0），B（1，﹣），O（0，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c（a≠0），

可得：

故所求抛物线解析式为y=﹣x2﹣x；

（2）存在．理由如下：

如答图①所示，

∵y=﹣x2﹣x=﹣（x+1）2+，

∴抛物线的对称轴为x=﹣1．

∵点C在对称轴x=﹣1上，△BOC的周长=OB+BC+CO；

∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，

∵点O与点A关于直线x=﹣1对称，有CO=CA，

△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA，

∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小．

设直线AB的解析式为y=kx+t，则有：

，解得：

∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣，

当x=﹣1时，y=﹣，

∴所求点C的坐标为（﹣1，﹣）；

（3）设P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＜0），

则y=﹣x2﹣x①

如答图②所示，过点P作PQ⊥y轴于点Q，PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点F，过点B作BE⊥PQ轴于点E，则PQ=﹣x，PG=﹣y，

由题意可得：

S△PAB=S梯形AFEB﹣S△AFP﹣S△BEP

=（AF+BE）•FE﹣AF•FP﹣PE•BE

=（y++y）（1+2）﹣y•（2+x）﹣（1﹣x）（+y）

=y+x+②

将①代入②得：

S△PAB=（﹣x2﹣x）+x+

=﹣x2﹣x+

=﹣（x+）2+

∴当x=﹣时，△PAB的面积最大，最大值为，

此时y=﹣×

+×

=，

∴点P的坐标为（﹣，）．

类型二、探索三角形的存在性。

例1、（2013•）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：

x=m（m＞1）与x轴交于D．

（1）求二次函数的解析式和B的坐标；

（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在

（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？

如果存在，请求出点Q的坐标；

如果不存在，请说明理由．

二次函数综合题

（1）由于抛物线的顶点C的坐标为（0，﹣2），所以抛物线的对称轴为y轴，且与y轴交点的纵坐标为﹣2，即b=0，c=﹣2，再将A（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c，求出a的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到点B的坐标；

（2）设P点坐标为（m，n）．由于∠PDB=∠BOC=90°

，则D与O对应，所以当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：

①△OCB∽△DBP；

②△OCB∽△DPB．根据相似三角形对应边成比例，得出n与m的关系式，进而可得到点P的坐标；

（3）假设在抛物线上存在第一象限的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．过点Q作QE⊥l于点E．利用AAS易证△DBP≌△EPQ，得出BD=PE，DP=EQ．再分两种情况讨论：

①P（m，）；

②P（m，2（m﹣1））．都根据BD=PE，DP=EQ列出方程组，求出x与m的值，再结合条件x＞0且m＞1即可判断不存在第一象限的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．

（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为C（0，﹣2），

∴b=0，c=﹣2；

∵y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），

∴0=a+0﹣2，a=2，

∴抛物线的解析式为y=2x2﹣2．

当y=0时，2x2﹣2=0，

解得x=±

1，

∴点B的坐标为（1，0）；

（2）设P（m，n）．

∵∠PDB=∠BOC=90°

∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：

①若△OCB∽△DBP，则=，

即=，

解得n=．

由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，

∴此时点P坐标为（m，）或（m，）；

②若△OCB∽△DPB，则=，

解得n=2m﹣2．

∴此时点P坐标为（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）．

综上所述，满足条件的点P的坐标为：

（m，），（m，），（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）．

（3）假设在抛物线上存在第一象限的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．

如图，过点Q作QE⊥l于点E．

∵∠DBP+∠BPD=90°

，∠QPE+∠BPD=90°

∴∠DBP=∠QPE．

在△DBP与△EPQ中，

∴△DBP≌△EPQ，

∴BD=PE，DP=EQ．

分两种情况：

①当P（m，）时，

∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），

∴，

解得，（均不合题意舍去）；

②当P（m，2（m﹣1））时，

综上所述，不存在满足条件的点Q．

类型三、探究二次函数与圆：

（2013•）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；

（2）设M为

（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；

（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

二次函数综合题；

解二元一次方程组；

待定系数法求一次函数解析式；

二次函数的最值；

待定系数法求二次函数解析式；

勾股定理；

勾股定理的逆定理；

切线的判定．245761

专题：

计算题．

（1）求出半径，根据勾股定理求出C的坐标，设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x﹣4）（x+1），把C（0，2）代入求出a即可；

（2）求出M的坐标，设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得到方程组，求出方程组的解即可；

（3）根据点的坐标和勾股定理分别求出PC、DC、PD的平方，根据勾股定理的逆定理得出∠PCD=90°

，即可求出答案．

（1）∵A（4，0），B（﹣1，0），

∴AB=5，半径是PC=PB=PA=，

∴OP=﹣1=，

在△CPO中，由勾股定理得：

OC==2，

∴C（0，2），

设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x﹣4）（x+1），

把C（0，2）代入得：

2=a（0﹣4）（0+1），

∴a=﹣，

∴y=﹣（x﹣4）（x+1）=﹣x2+x+2，

答：

经过A、B、C三点抛物线解析式是y=﹣x2+x+2．

（2）y=﹣x2+x+2=﹣+，

M（，），

设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，

把C（0，2），M（，）代入得：

k=，b=2，

∴y=x+2，

y=x+2．

直线MC对应函数表达式是y=x+2．

（3）MC与⊙P的位置关系是相切．

证明：

设直线MC交x轴于D，

当y=0时，0=x+2，

∴x=﹣，OD=，

∴D（﹣，0），

在△COD中，由勾股定理得：

CD2=22+==，

PC2===，

PD2==，

∴CD2+PC2=PD2，

∴∠PCD=90°

∴PC⊥DC，

∵PC为半径，

∴MC与⊙P的位置关系是相切．

1、）（2013•湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；

（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；

（3）试判断△AOC与△COB是否相似？

并说明理由；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？

若不存在，求出符合条件的Q点坐标；

（5）、点M是抛物线上位于第一象限的动点，当△BCM的面积达到最大值时，求点M的坐标及最大值？

（6）、求△BAC的外接圆圆心E点的坐标？

（7）、求证圆E与直线：

y=3x/4+4相切。

在该直线上找一点F，使△BCF为直角三角形，求F的坐标？

（8）、l是过点A且平行于BC的直线，在该直线上找一点D，使A,B,C,D所在的四边形为平行四边形，求D的坐标？

（9）、将△BAC绕点B顺时针旋转90°

得到△BA′C′，求点A′和点C′的坐标及线段BC所扫过的区域的面积？

（10）、在x轴上找一点G，使△CFG的周长最小，求G点坐标及周长最小值？

求此时△CFG的面积？

（11）、在抛物线上找一点H，使△ABH的面积=△AOC的面积.。

求点H的坐标？

（12）、求抛物线关于直线：

x=10,对称的抛物线的解析式？

（13）、N是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点N作NP∥AC交线段BC于点P，连接CN，记△CNP的面积为S，S是否存在最大值？

若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；

二次函数综合题．

（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程；

（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；

令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；

（3）根据，∠AOC=∠BOC=90°

，可以判定△AOC∽△COB；

（4）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．

（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），

∴﹣×

（﹣2）2+b×

（﹣2）+4=0，

b=，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4，

又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，

∴对称轴方程为：

x=3．

（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；

令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：

x=8或x=﹣2，

∴A（﹣2，0），B（8，0）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：

解得k=，b=4，

∴直线BC的解析式为：

y=x+4．

（3）可判定△AOC∽△COB成立．

理由如下：

在△AOC与△COB中，

∵OA=2，OC=4，OB=8，

又∵∠AOC=∠BOC=90°

∴△AOC∽△COB．

（4）∵抛物线的对称轴方程为：

x=3，

可设点Q（3，t），则可求得：

AC===，

AQ==，

CQ==．

i）当AQ=CQ时，

有=，

25+t2=t2﹣8t+16+9，

解得t=0，

∴Q1（3，0）；

ii）当AC=AQ时，

t2=﹣5，此方程无实数根，

∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；

iii）当AC=CQ时，

整理得：

t2﹣8t+5=0，

t=4±

∴点Q坐标为：

Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．

综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：

Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．

2、（2013，21，8分）如图，二次函数y=x2+bx－3b+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；

（3）连接AM、DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标.

（1）把点（b－2，2b2－5b－1）代入解析式，得

2b2－5b－1=（b－2）2+b（b－2）－3b+3，……………1′

解得b=2.

∴抛物线的解析式为y=x2+2x－3.……………2′

（2）由x2+2x－3=0，得x=－3或x=1.

∴A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）.

抛物线的对称轴是直线x=－1，圆心M在直线x=－1上.……………3′

∴设M（－1，n），作MG⊥x轴于G，MH⊥y轴于H，连接MC、MB.

∴MH=1，BG=2.……………4′

∵MB=MC，∴BG2+MG2=MH2+CH2，

即4+n2=1+（3+n）2，解得n=－1，∴点M（－1，－1）……………5′

（3）如图，由M（－1，－1），得MG=MH.

∵MA=MD，∴Rt△AMG≌RtDMH，∴∠1=∠2.

由旋转可知∠3=∠4.∴△AME≌△DMF.

若△DMF为等腰三角形，则△AME为等腰三角形.……………6′

设E（x，0），△AME为等腰三角形，分三种情况：

①AE=AM=

，则x=

－3，∴E（

－3，0）；

②∵M在AB的垂直平分线上，

∴MA=ME=MB，∴E（1，0）……………7′

③点E在AM的垂直平分线上，则AE=ME.

AE=x+3，ME2=MG2+EG2=1+（－1－x）2，∴（x+3）2=1+（－1－x）2，解得x=

，∴E（

，0）.

∴所求点E的坐标为（

－3，0），（1，0），（

，0）……………8′

求出此时

点的坐标.