直角三角形的性质及详解 中考题Word文档格式.docx
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A、75°
B、18°
C、90°
D、75°
10、如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°
,CD⊥AB于点D,则图中其长度能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( )条.
A、1B、3
C、5D、6
11、如图,AB∥CD,∠1=70°
,∠AEF=90°
,则∠A的度数为( )
A、70°
B、60°
C、40°
D、20°
12、如图,AB∥CD,AC⊥BC,∠BAC=65°
,则∠BCD的度数等于( )
A、20°
B、25°
C、35°
D、50°
13、下列命题中,逆命题是真命题的是( )
A、全等三角形的面积相等B、全等三角形的对应角相等
C、等边三角形是锐角三角形D、直角三角形的两个锐角互余
14、如图,在△ABC中,∠C=90°
,E是AB的中点,且DE⊥AB于点E,∠CAD:
∠EAD=1:
2,则∠B与∠BAC的度数为( )
A、30°
,60°
B、32°
,58°
C、36°
,54°
,70°
15、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=46°
,CD⊥AB于D,则∠DCB等于( )
B、26°
C、23°
16、已知在直角三角形中斜边长为10,斜边上的高为
,两直角边的比为3:
4,则较短边的长为( )
A、3B、6
C、8D、5
17、直角三角形斜边上的中点是( )
A、三条边中线的交点B、三边高线的交点
C、三个角平分线的交点D、三边中垂线的交点
18、已知直角三角形一个内角46°
,则另一个内角是( )
A、34°
B、36°
C、44°
D、54°
二、填空题(共12小题)
19、(2008•扬州)一副三角板如图所示叠放在一起,则图中∠a= _________ 度.
20、(2010•十堰)如图,直线l1∥l2且l1,l2被直线l3所截,∠1=∠2=35°
,∠P=90°
,则∠3= _________ 度.
21、(2010•曲靖)如图,AB∥CD,AC⊥BC,垂足为C.若∠A=40°
,则∠BCD= _________ 度.
22、(2011•徐州)若直角三角形的一个锐角为20°
,则另一个锐角等于 _________ .
23、(2010•镇江)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°
,DE过点C,且DE∥AB,若∠ACD=50°
,则∠A= _________ 度,∠B= _________ 度.
24、(2010•烟台)将两张矩形纸片如图所示摆放,使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上,则∠1+∠2= _________ 度.
25、(2010•宁夏)如图,BC⊥AE,垂足为C,过C作CD∥AB,若∠ECD=48°
.则∠B= _________ 度.
26、(2010•乐山)如图所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠ACD=40°
,则∠EBC= _________ 度.
27、(2007•荆州)如图有一张简易的活动小餐桌,现测得OA=OB=30cm,OC=OD=50cm,桌面离地面的高度为40mm,则两条桌腿的
张角∠COD的度数为 _________ 度.
28、(2006•宁夏)如图,AB∥CD,EF分别交AB、CD于G、F,FH⊥AB,垂足为H,若∠1=40°
,则∠2的度数为 _________ 度.
29、(2005•江西)如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,∠ABC=25°
,CD⊥AB于D,则∠ACD= _________ 度.
30、(2002•广州)过△ABC的顶点C作边AB的垂线,如果这垂线将∠ACB分为40°
和20°
的两个角,那么∠A、∠B中较大的角的度数是 _________ .
答案与评分标准
考点:
直角三角形的性质;
坐标与图形性质。
分析:
当∠PBA=90°
时,即点P的位置有2个;
当∠BPA=90°
时,点P的位置有3个;
当∠BAP=90°
时,在y轴上共有1个交点.
解答:
解:
①以A为直角顶点,可过A作直线垂直于AB,与坐标轴交于一点,这一点符合点P的要求;
②以B为直角顶点,可过B作直线垂直于AB,与坐标轴交于两点,这两点也符合P点的要求;
③以P为直角顶点,可以AB为直径画圆,与坐标轴共有3个交点;
所以满足条件的点P共有6个.故选C.
点评:
主要考查了坐标与图形的性质和直角三角形的判定.要把所有的情况都考虑进去,不要漏掉某种情况.
直角三角形的性质。
专题:
分类讨论。
当把完全重合的含有30°
角的两块三角板拼成的图形有三种情况:
①当把60度角对的边重合,且两个直角的顶角也重合时,所成的图形是等边三角形;
②当把30度角对的边重合,且两个直角的顶角也重合时,所成的图形是等腰三角形;
③当斜边重合,且一个三角形的30度角的顶点与另一个三角形60度角的顶点重合时,所成的图形是矩形,矩形也是平行四边形.故不能形成梯形.
如图,把完全重合的含有30°
分别有等边三角形,等腰三角形,矩形,平行四边形.
故选D.
本题考查了图形的拼接,注意要分情况讨论.
根据题意可以得直角三角形中,较短的直角边是5,再根据30°
所对的直角边是斜边的一半,得斜边是10,从而求出大树的高度.
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,CB=5,∠A=30°
∴AB=10,
∴大树的高度为10+5=15m.
故选B.
此题要求学生主要掌握直角三角形的性质:
30°
所对的直角边是斜边的一半.
等腰三角形的性质;
根据等腰三角形与直角三角形的性质作答.
A、对于任意一个三角形都有两边之和大于第三边,不符合题意;
B、等腰三角形顶角的平分线垂直于顶角的对边,而直角三角形(等腰直角三角形除外)没有任何一个角的平分线垂直于这个角的对边,符合题意;
C、只有直角三角形才有两个锐角的和等于90°
,不符合题意;
D、对于任意一个三角形都有内角和等于180°
,不符合题意.
本题主要考查了三角形的性质,等腰三角形与直角三角形的性质的区别.
平行线的性质。
计算题。
先根据两直线平行,同位角相等求出∠3,再根据直角三角形两锐角互余即可求出∠2.
如图,∵l1∥l2,∠1=42°
,
∴∠3=∠1=42°
∵l3⊥l4,
∴∠2=90°
﹣∠3=48°
.
故选A.
本题利用平行线的性质和直角三角形两锐角互余的性质.
由“直角三角形的两锐角互余”,结合题目条件,得∠C=∠BDF=∠BAD.
∵AD是斜边BC上的高,DE⊥AC,DF⊥AB,
∴∠C+∠B=90°
,∠BDF+∠B=90°
,∠BAD+∠B=90°
∴∠C=∠BDF=∠BAD,
∵∠DAC+∠C=90°
,∠DAC+∠ADE=90°
∴∠C=∠ADE,
∴图中与∠C(除之C外)相等的角的个数是3,
此题考查了直角三角形的性质,直角三角形的两锐角互余.
由“直角三角形的两锐角互余”,结合题目条件,找出与∠A互余的角.
∵∠ACB=90°
,CD是AB边上的高线,
∴∠A+∠B=90°
,∠A+∠ACD=90°
∴与∠A互余的角有2个,
故选C.
此题应分两种情况讨论:
①等腰直角三角形,②普通的直角三角形.然后根据各边所对角的大小来判断各线段的大小关系.
①Rt△ABC中,AB=AC;
(图①)
根据等腰三角形三线合一的性质知:
AD、AH、AE互相重合,此时AD=AH=AE;
②Rt△ABC中,AB≠AC;
(设AC>AB,如图②)
在Rt△AHE中,由于AE是斜边,故AE>AH;
同理可证AD>AH;
∵∠AED>∠AHD=90°
,∠ADH<∠AHE=90°
∴∠AED>∠ADE;
根据大角对大边知:
AD>AE;
即AD>AE>AH;
综上所述,角平分线AE、中线AD、高线AH的大小关系是AH≤AE≤AD;
此题主要考查的直角三角形的性质,应考查到等腰直角三角形和非等腰直角三角形两种情况,以免漏解.
角的计算;
常规题型。
根据三角板的度数,对题干度数分析即可得解.
18°
不能画出,75°
可以用45°
与30°
角画出,
90°
可以直接作出,120°
可以用30°
与90°
150°
可以用90°
与60°
综上所述,能用一副三角板拼画出来的是75°
本题考查了角的计算与直角三角板的知识,熟记并灵活运用可以用三角板画出的角的度数是解题的关键.
点到直线的距离;
三角形的角平分线、中线和高;
结合题意和图形,根据点到直线的距离的定义进行解答.
图中表示点到直线的距离的线段有:
表示点A到BC的距离的线段是AC;
表示点B到AC的距离的线段是BC;
表示点C到AB的距离的线段是CD;
表示点A到CD的距离的线段是AD;
表示点B到CD的距离的线段是BD.
故共5条.
本题考查了点到直线的距离、三角形的高、直角三角形的性质.点到直线距离是指点到直线的垂线段的长度.
平行线的性质;
由AB∥CD,根据两直线平行,同位角相等,即可求得∠2的度数,又由∠AEF=90°
,与三角形的内角和等于180°
,即可求得∠A的度数.
∵AB∥CD,
∴∠2=∠1=70°
∵∠AEF=90°
,∠2+∠A+∠AEF=180°
∴∠A=20°
此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理.解题的关键是掌握两直线平行,同位角相等定理的应用.
首先,根据直角三角形的性质,可求出∠ABC的度数,然后,根据平行线的性质,可得∠ABC=∠BCD,即可解答出.
∵AC⊥BC,∠BAC=65°
∴∠ABC=90°
﹣∠BAC=90°
﹣65°
=25°
∴∠BCD=∠ABC,
∴∠BCD=25°
本题主要考查了平行线的性质和直角三角形的性质,熟练掌握两直线平行线,内错角相等.
全等三角形的性质;
等边三角形的性质;
分别写出各个选项的逆命题然后根据全等三角形和等边三角形的性质进行判定真假.
A,其逆命题是:
面积相等的三角形全等.两个面积相等但形状不同的三角形不全等,因为面积有两个变量底和高,故是假命题;
B,其逆命题是:
对应角相等的两个三角形是全等三角形.大小不同的两个等边三角形虽然对应角相等但不全等,故是假命题;
C,其逆命题是:
锐角三角形是等边三角形.三个角不全是60°
的锐角三角形不是等边三角形,故是假命题;
D,两个锐角互余的三角形是直角三角形,符合直角三角形的性质,故是真命题;
此题主要考查学生对全等三角形的性质,等边三角形的性质及直角三角形的性质的理解及运用能力.
线段垂直平分线的性质;
方程思想。
先设∠CAD=x,则∠EAD=2x,由于E是AB的中点,且DE⊥AB于点E,可知ED是AB的中垂线,再由其性质可得AD=AB,进而可知∠DAB=∠DBA,从而易得x+2x+2x=90°
,解即可求x,进而可求∠B、∠CAB.
设∠CAD=x,则∠EAD=2x,
∵E是AB的中点,且DE⊥AB于点E,
∴ED是AB的中垂线,
∴AD=AB,
∴∠DAB=∠DBA,
∴x+2x+2x=90°
解得x=18°
∴∠B=2x=36°
,∠CAB=90°
﹣36°
=54°
本题考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质,解题的关键是得出ED是AB的中垂线.
应用题。
先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B的度数,进而在Rt△DCB中,求得∠DCB的度数.
∵∠A=46°
,AB=AC,
∴∠B=∠C=67°
∵∠BDC=90°
∴∠DCB=23°
本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理,难度适中.
根据题意画出图形,则三角形ABC的面积可表示为:
AC•BC=
AB•CD,设BC边为3x,则AC边为4x,代入即可求解.
如图:
设BC边为3x,则AC边为4x,
则
AB•CD,
即
×
3x×
4x=
解得:
x=2,3x=6,
∴较短边的长为,6.
本题考查了直角三角形的性质,难度不大,注意掌握直角三角形的面积=
=
推理填空题。
根据三角形三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心即是外心,根据外心的性质为到三个顶点的距离相等即可得出答案;
∵直角三角形斜边上的中点到各个顶点的距离相等,
∴斜边上的中点即为三角形外接圆的圆心,
∵三角形外接圆的圆心到三个顶点距离相等,
∴三角形外接圆的圆心为三边中垂线的交点,
本题考查了直角三角形的性质,属于基础题,关键是掌握三边中垂线的交点为三角形外接圆的圆心即外心.
根据直角三角形两个内角和为90°
,即可得另一个锐角度数.
由题意得,
在直角三角形中,两个内角和为90°
∵一个内角46°
∴另一个内角为:
﹣46°
=44°
本题考查了直角三角形的性质,是基础题,掌握三角形内角和为180°
19、(2008•扬州)一副三角板如图所示叠放在一起,则图中∠a= 75 度.
三角形的外角性质;
此题主要考查外角的性质和直角三角形的性质.
由图可知,∠ACD=∠B+∠BAC=45°
∴∠BAC=45°
﹣30°
=15°
∴∠α=90°
﹣15°
=75°
解决此题的关键是熟练运用直角三角形的性质.
,则∠3= 55 度.
先根据两直线平行,同旁内角互补,求出∠3与∠4的和,再根据直角三角形两锐角互余求出∠4,∠3即可求得.
如图,∵l1∥l2,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∵∠1=∠2=35°
∴∠3+∠4=110°
∵∠P=90°
,∠2=35°
∴∠4=90°
﹣35°
=55°
∴∠3=110°
﹣55°
本题主要利用平行线的性质和直角三角形两锐角互余的性质求解.
,则∠BCD= 50 度.
先根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数,再根据两直线平行,内错角相等解答.
∵∠A=40°
,AC⊥BC,
∴∠B=90°
﹣40°
=50°
∴∠BCD=∠B=50°
本题利用直角三角形两锐角互余和平行线的性质求解.
,则另一个锐角等于 70°
.
直角三角形.两个锐角互为余角,故一个锐角是20°
,则它的另一个锐角的大小是90°
﹣20°
=70°
∵一个直角三角形的一个锐角是20°
∴它的另一个锐角的大小为90°
故答案为:
70°
此题考查的是直角三角形的性质,两锐角互余.
,则∠A= 50 度,∠B= 40 度.
根据两直线平行,内错角相等即可求出∠A,再根据直角三角形两锐角互余即可求出∠B.
∵DE∥AB,∠ACD=50°
∴∠A=∠ACD=50°
﹣∠A=90°
﹣50°
=40°
本题主要考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余的性质.
24、(2010•烟台)将两张矩形纸片如图所示摆放,使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上,则∠1+∠2= 90 度.
如图,连接两交点,根据两直线平行,同旁内角互补和直角三角形两锐角互余的性质解答.
如图,连接两交点,
根据矩形两边平行,得
∠1+∠2+∠3+∠4=180°
又矩形的角等于90°
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