高二数学 平面向量的实际背景及基本概念教案Word文档格式.docx
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请同学指出哪些量既有大小又有方向?
哪些量只有大小没有方向?
二、新课学习:
(一)向量的概念:
我们把既有大小又有方向的量叫向量
(二)请同学阅读课本后回答:
(可制作成幻灯片)
1、数量与向量有何区别?
2、如何表示向量?
3、有向线段和线段有何区别和联系?
分别可以表示向量的什么?
4、长度为零的向量叫什么向量?
长度为1的向量叫什么向量?
5、满足什么条件的两个向量是相等向量?
单位向量是相等向量吗?
6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这是它们是不是平行向量?
这时各向量的终点之间有什么关系?
(三)探究学习
1、数量与向量的区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;
向量有方向,大小,双重性,不能比较大小.
2.向量的表示方法:
①用有向线段表示;
②用字母a、b
(黑体,印刷用)等表示;
③用有向线段的起点与终点字母:
;
④向量的大小――长度称为向量的模,记作||.
3.有向线段:
具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:
起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别:
(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;
(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念:
①长度为0的向量叫零向量,记作0.0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.
说明:
零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义:
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;
②我们规定0与任一向量平行.
(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;
(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c.
6、相等向量定义:
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
(1)向量a与b相等,记作a=b;
(2)零向量与零向量相等;
(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
7、共线向量与平行向量关系:
平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).
(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;
(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
(四)理解和巩固:
例1书本86页例1.
例2判断:
(1)平行向量是否一定方向相同?
(不一定)
(2)不相等的向量是否一定不平行?
(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?
(零向量)
(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?
(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?
(平行向量)
(6)两个非零向量相等的当且仅当什么?
(长度相等且方向相同)
(7)共线向量一定在同一直线上吗?
例3下列命题正确的是()
A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解:
由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;
由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确;
向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确;
对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C.
例4如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量、、相等的向量.
变式一:
与向量长度相等的向量有多少个?
(11个)
变式二:
是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?
(存在)
变式三:
与向量共线的向量有哪些?
()
课堂练习:
1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
①向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;
②单位向量都相等;
③任一向量与它的相反向量不相等;
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当=
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;
⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.
①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线,虽起点不同,但其终点却相同.
2.书本88页练习
三、小结:
1、描述向量的两个指标:
模和方向.
2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
3、向量的图示,要标上箭头和始点、终点.
四、课后作业:
书本88页习题2.1第3、5题
2019-2020年高二数学平面向量的数量积的物理背景及其含义教案
教学目的:
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;
4.掌握向量垂直的条件.
平面向量的数量积定义
平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
多媒体、实物投影仪
内容分析:
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点:
平面向量数量积的定义及几何意义;
平面向量数量积的5个重要性质;
平面向量数量积的运算律.
教学过程:
一、复习引入:
1.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是:
有且只有一个非零实数λ,使=λ.
2.平面向量基本定理:
如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2
3.平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得
把叫做向量的(直角)坐标,记作
4.平面向量的坐标运算
若,,则,,.
若,,则
5.∥(≠)的充要条件是x1y2-x2y1=0
6.线段的定比分点及λ
P1,P2是直线l上的两点,P是l上不同于P1,P2的任一点,存在实数λ,
使=λ,λ叫做点P分所成的比,有三种情况:
λ>
0(内分)(外分)λ<
0(λ<
-1)(外分)λ<
0(-1<
λ<
0)
7.定比分点坐标公式:
若点P1(x1,y1),P2(x2,y2),λ为实数,且=λ,则点P的坐标为(),我们称λ为点P分所成的比.
8.点P的位置与λ的范围的关系:
①当λ>0时,与同向共线,这时称点P为的内分点.
②当λ<0()时,与反向共线,这时称点P为的外分点.
9.线段定比分点坐标公式的向量形式:
在平面内任取一点O,设=a,=b,
可得=
.
10.力做的功:
W=|F|⋅|s|cosθ,θ是F与s的夹角.
二、讲解新课:
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a与b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.
(1)当θ=0时,a与b同向;
(2)当θ=π时,a与b反向;
(3)当θ=时,a与b垂直,记a⊥b;
(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒
C
2.平面向量数量积(内积)的定义:
已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a||b|cosθ叫a与b的数量积,记作a⋅b,即有a⋅b=|a||b|cosθ,
(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.
⋅探究:
两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cosθ的符号所决定.
(2)两个向量的数量积称为内积,写成a⋅b;
今后要学到两个向量的外积a×
b,而a⋅b是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“·
”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×
”代替.
(3)在实数中,若a≠0,且a⋅b=0,则b=0;
但是在数量积中,若a≠0,且a⋅b=0,不能推出b=0.因为其中cosθ有可能为0.
(4)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bc⇒a=c.但是a⋅b=b⋅ca=c
如右图:
a⋅b=|a||b|cosβ=|b||OA|,b⋅c=|b||c|cosα=|b||OA|
⇒a⋅b=b⋅c但a≠c
(5)在实数中,有(a⋅b)c=a(b⋅c),但是(a⋅b)c≠a(b⋅c)
显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,而一般a与c不共线.
3.“投影”的概念:
作图
定义:
|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量,不是向量;
当θ为锐角时投影为正值;
当θ为钝角时投影为负值;
当θ为直角时投影为0;
当θ=0︒时投影为|b|;
当θ=180︒时投影为-|b|.
4.向量的数量积的几何意义:
数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.
5.两个向量的数量积的性质:
设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.
1︒e⋅a=a⋅e=|a|cosθ
2︒a⊥b⇔a⋅b=0
3︒当a与b同向时,a⋅b=|a||b|;
当a与b反向时,a⋅b=-|a||b|.特别的a⋅a=|a|2或
4︒cosθ=
5︒|a⋅b|≤|a||b|
三、讲解范例:
例1已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120o,求a·
b.
例2已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60o求(a+2b)·
(a-3b).
例3已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直.
例4判断正误,并简要说明理由.
①a·
0=0;
②0·
a=0;
③0-=;
④|a·
b|=|a||b|;
⑤若a≠0,则对任一非零b有a·
b≠0;
⑥a·
b=0,则a与b中至少有一个为0;
⑦对任意向量a,b,с都有(a·
b)с=a(b·
с);
⑧a与b是两个单位向量,则a2=b2.
上述8个命题中只有③⑧正确;
对于①:
两个向量的数量积是一个实数,应有0·
对于②:
应有0·
a=0;
对于④:
由数量积定义有|a·
b|=|a|·
|b|·
|cosθ|≤|a||b|,这里θ是a与b的夹角,只有θ=0或θ=π时,才有|a·
|b|;
对于⑤:
若非零向量a、b垂直,有a·
b=0;
对于⑥:
由a·
b=0可知a⊥b可以都非零;
对于⑦:
若a与с共线,记a=λс.
则a·
b=(λс)·
b=λ(с·
b)=λ(b·
с),
∴(a·
b)·
с=λ(b·
с)с=(b·
с)λс=(b·
с)a
若a与с不共线,则(a·
b)с≠(b·
с)a.
评述:
这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.
例6已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角是60°
时,分别求a·
b.
①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角θ=0°
,
∴a·
b=|a|·
|b|cos0°
=3×
6×
1=18;
若a与b反向,则它们的夹角θ=180°
b=|a||b|cos180°
(-1)=-18;
②当a⊥b时,它们的夹角θ=90°
③当a与b的夹角是60°
时,有
a·
b=|a||b|cos60°
=9
两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°
,180°
],因此,当a∥b时,有0°
或180°
两种可能.
四、课堂练习:
1.已知|a|=1,|b|=,且(a-b)与a垂直,则a与b的夹角是()
A.60°
B.30°
C.135°
D.45°
2.已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为,那么向量m=a-4b的模为()
A.2B.2C.6D.12
3.已知a、b是非零向量,则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的()
A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知向量a、b的夹角为,|a|=2,|b|=1,则|a+b|·
|a-b|=.
5.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量,那么a·
b=.
6.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°
,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)2=______.
7.已知|a|=1,|b|=,
(1)若a∥b,求a·
b;
(2)若a、b的夹角为60°
,求|a+b|;
(3)若a-b与a垂直,求a与b的夹角.
8.设m、n是两个单位向量,其夹角为60°
,求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.
9.对于两个非零向量a、b,求使|a+tb|最小时的t值,并求此时b与a+tb的夹角.
五、小结(略)
六、课后作业(略)
七、教学后记:
- 配套讲稿:
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- 关 键 词:
- 高二数学 平面向量的实际背景及基本概念教案 数学 平面 向量 实际 背景 基本概念 教案