旋转模型专题Word格式.docx
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(5)ZAFM=60°
且保持不变
2、如图,在凸四边形ABCD中,BCD30,DAB60,ADAB.
求证:
AC2CD2BC2
3、已知ABC,以AC为边在ABC外作等腰ACD,其中ACAD。
⑴如图①,若DAC2ABC,ACBC,四边形ABCD是平行四边形,则
ABC
⑵如图②,若ABC30,ACD是等边三角形,AB3,BC4,求BD的长;
⑶如图③,若ACD为锐角,作AHBC于H,当BD24AH2BC2时,
DAC2ABC是否成立?
若不成立,请说明你的理由;
若成立,证明你的结论<
②
③
、角含半角模型
4、已知:
如图1在RtABC中,BAC90,ABAC,点D、E分别为线段BC
上两动点,若DAE45.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.
小明的思路是:
把AEC绕点A顺时针旋转90,得到ABE,连结ED,使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:
⑴猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明;
⑵当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图2,其它条件不变,⑴中探究的结论是否发生改变?
说明你的猜想并给予证明.
5、在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,且/EAF=/CEF=45°
(1)将厶ADF绕着点A顺时针旋转90°
,得到△ABG,如图1,
△AEG^AAEF;
(2)若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M,N,如图2,
EF2ME2NF2
(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形,若其余条件不变,请你直接写出线段
EF,BE,DF之间的数量关系。
6在等边ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,D为ABC外一点,且MDN60,BDC120,BDCD,探究:
当点M,N分别爱直线AB,AC上移动时,BM,NC,MN之间的数量关系及AMN的周长与等边ABC的周长L的关系.
⑴如图①,当点M,N在边AB,AC上,且DM=DN时,BM,NC,MN之间的数量关系式;
此时Q=
L
⑵如图②,当点M,N在边AB,AC上,且DMDN时,猜想
(1)问的两个结论
还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;
⑶如图③,当点M,N分别在边AB,CA的延长线上时,若AN=x,则
Q=(用x,L表示)
三、对角互补类
7、已知:
MAN,AC平分MAN.
⑴在图1中,若MAN
DCB90,证明:
ABAD2AC.
⑵在图2中,若MAN
120,
DCB60,探究AB、
AD、AC
三者之间的数量
关系,并给出证明;
⑶在图3中:
若MAN
180),DCB180
,则AB
AD
AC
(用含的三角函数表示
,直接写出结果,不必证明)
8、如图1,正方形ABCD和正方形QMNP,M是正方形ABCD的对称中心,MN交
AB于F,QM交AD于E.
⑴猜想:
ME与MF的数量关系⑵如图2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”,且MB,其它条件不变,探索线段ME与线段MF的数量关系,并加以证明.
⑶如图3,若将原题中的“正方形”改为“矩形”,且AB:
BC1:
2,其它条件不
变,探索线段ME与线段MF的数量关系,并说明理由.
B,AB:
BCm,
⑷如图4,若将原题中的“正方形”改为平行四边形,且
四、直角三角形斜边中点
9、在等腰直角ABC中,ACB90o,ACBC,M是AB的中点,点P从B出发
向C运动,MQMP交AC于点Q,试说明MPQ的形状和面积将如何变化.
10、等腰直角三角形ABC,ABC90,AB2,0为AC中点,EOF45,求△BEF的周长.
11、已知RtAABC中,AC=BC,/C=90°
D为AB边的中点,/EDF=90°
/EDF
绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB(或延长线)于E、F.
当/EDF绕D点旋转到DE丄AC于E时(如图1),易证SS]S
SDEFSCEF—SABC
2
当/EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述SadefSacEFSaABC
结论是否成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,,,又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
图1
图2
五、等线段共点
12、如图所示,P是等边ABC内部一点,PC3,PA4,PB5,求ABC的边长.
SBPC=,SABP=,
SAPC=,SABC=,
13、P为等边ABC内一点,APB113o,APC123°
,求证:
以AP、BP、
CP为边可以构成一个三角形,并确定所构成的三角形的各内角的度数.
14、如图,P为正方形ABCD内一点,FA=1,PD=2,PC=3,将PAD绕着D
点按逆时针旋转90到DCM的位置
六、费马点问题
15阅读下列材料
对于任意的ABC,若三角形内或三角形上有一点P,若PAPBPC有最小值,则取到最小值时,点P为该三角形的费马点。
1若三角形内有一个内角大于或等于120,这个内角的顶点就是费马点
2若三角形内角均小于120,贝U满足条件APBBPCAPC120时,点P既为费马点
解决问题:
⑴如图,ABC中,三个内角均小于120,分别以AB、AC为边向外作等边ABD、
ACE,连接CD、BE交于点P,
证明:
点P为ABC的费马点。
(即证明APBBPCAPC120)且
PAPBPCCD
⑵如图,点Q为三角形内部异于点P的一点,证明:
QAQCQBPAPBPC
⑶若ABC30,AB3,BC4,直接写出PAPBPC的最小值
16、如图,四边形ABCD是正方形,ABE是等边三角形,M为对角线BD上任意
点,将BM绕点B逆时针旋转60得到BN,连接AM、CM、EN.
⑴求证:
AMB也ENB
⑵①当M点在何处时,AMCM的值最小;
②当M点在何处时,AMBMCM的值最小,并说明理由;
⑶当AMBMCM的最小值为31时,求正方形的边长.
17、阅读下列材料:
小华遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,/ACB=30o,BC=6,AC=5,在厶ABC
内部有一点P,连接PA、PB、PC,求PA+PB+PC的最小值.
小华是这样思考的:
要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分
离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线
段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了•他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,
发现通过旋转可以解决这个问题•他的做法是,如图2,将△APC绕点C顺时针旋转60。
得到△EDC,连接PD、BE,贝UBE的长即为所求.
(1请你写出图2中,PA+PB+PC的最小值为;
(2)参考小华的思考问题的方法,解决下列问题:
①如图3,菱形ABCD中,/ABC=60o,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段(保留画图痕迹,画出一条即可);
②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长.
七、最值问题
18已知:
PA2,PB4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧•
⑴如图,当APB45时,求AB及PD的长;
⑵当APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值及相应APB的大小.
D
P
B
19、如图①,已知ABC是等腰直角三角形,BAC=90°
,点D是BC的中点.作
正方形DEFG,使点A、C分别在DG和DE上,连接AE、BG.
⑴试猜想线段BG和AE的数量关系,请直接写出你得到的结论.
⑵将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0,小于或等于360。
),如图②,通过观察或测量等方法判断
(1)中的结论是否仍然成立?
如果成立,请予以证明;
如果不成立,请说明理由.
⑶若BCDE2,在②的旋转过程中,当AE为最大值时,求AF的值.
八、综合应用
20、已知:
在RtABC中,ABBC,在RtADE中,ADDE,连结EC,取EC的中点M,连结DM和BM.
⑴若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图①,探索BM、DM的关系并给予证明;
⑵如果将图①中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角,如图②,那么⑴中的
结论是否仍成立?
如果不成立,请举出反例;
如果成立,请给予证明.
21、已知:
如图,OAB与OCD为等腰直角三角形,AOBCOD90.
⑴如图①,点C、D分别在边OA、OB上,联结AD、BC,点M为线段BC的中
点,联结OM,请你猜想OM与AD的数量关系:
(直接写出答案,
不必证明);
⑵如图②,在图1的基础上,将OCD绕点O逆时针旋转一个角度
(090).
①OM与AD的数量关系是否仍成立,若成立请证明,若不成立请说明理由;
②求证:
OMAD•
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