系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置Word文档格式.docx

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（c）已知系统矩阵为

，

，判别系统的能控性与能观测性；

（d）求系统

的最小实现。

2.实验内容

原系统如图1-2所示。

图中，X1和X2是可以测量的状态变量。

图1-2系统结构图

试设计状态反馈矩阵

使系统加入状态反馈后其动态性能指标满足给定的要求:

（1）已知：

K=10，T=1秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：

σ%≤20%，ts≤1秒。

（2）已知：

K=1，T=0.05秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：

σ%≤5%，ts≤0.5秒。

状态反馈后的系统，如图1-3所示：

图1-3状态反馈后系统结构图

分别观测状态反馈前后两个系统的阶跃响应曲线，并检验系统的动态性能

指标是否满足设计要求。

三、实验环境

1、计算机1台；

2、MATLAB6.5软件1套。

四、实验原理（或程序框图）及步骤

1、系统能控性、能观性分析

设系统的状态空间表达式如下：

（1-1）

其中A为n×

n维状态矩阵；

B为n×

m维输入矩阵；

C为p×

n维输出矩阵；

D为p×

m维传递矩阵，一般情况下为0。

系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式（1-2）所示：

（1-2）

式（1-2）中，

表示传递函数阵的分子阵，其维数是p×

m；

表示传递函数阵的分母多项式，按s降幂排列的后，各项系数用向量表示。

系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。

系统状态能控性定义的核心是：

对于线性连续定常系统（1-1）,若存在一个分段连续的输入函数u（t），在有限的时间（t1-t0）内，能把任一给定的初态x（t0）转移至预期的终端x（t1），则称此状态是能控的。

若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。

状态能控性判别方法分为2种：

一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；

前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。

状态能控性判别式为：

（1-3）

系统状态能观测性的定义：

对于线性连续定常系统（1-1）,如果对t0时刻存在ta，t0<

ta<

，根据[t0,ta]上的y（t）的测量值，能够唯一地确定系统在t0时刻的任意初始状态x0，则称系统在t0时刻是状态完全能观测的，或简称系统在[t0,ta]区间上能观测。

状态能观测性判别方法也分为2种：

一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；

前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。

状态能观测性判别式为：

（1-4）

系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有（1-2）式所示关系。

已知系统的传递函数阵表述，求其满足（1-2）式所示关系的状态空间表达式，称为实现。

实现的方式不唯一，实现也不唯一。

其中，当状态矩阵A具有最小阶次的实现称为最小实现，此时实现具有最简形式。

2、状态反馈极点配置

一个受控系统只要其状态是完全能控的，则闭环系统的极点可以任意配置。

极点配置有两种方法：

①采用变换矩阵T，将状态方程转换成可控标准型，然后将期望的特征方程和加入状态反馈增益矩阵K后的特征方程比较，令对应项的系数相等，从而决定状态反馈增益矩阵K；

②基于Carlay-Hamilton理论，它指出矩阵状态矩阵A满足自身的特征方程，改变矩阵特征多项式

的值，可以推出增益矩阵K，这种方法推出增益矩阵K的方程式叫Ackermann公式。

五、程序源代码

1.

>

num=[1-1];

den=[1102718];

[a,b,c,d]=tf2ss（num,den）;

Qc=ctrb（a,b）

Qc=

1-1073

01-10

001

rank（Qc）

ans=

3

Qo=obsv（a,c）

Qo=

01-1

1-10

-11-27-18

rank（Qo）

num=[10];

010

100

-10-27-18

num=[11];

011

110

-9-27-18

2

2.

a=[6.666-10.667-0.333;

101;

012];

b=[011]'

;

c=[102];

0-11.0000-84.9920

1.00001.0000-8.0000

1.00003.00007.0000

1.000002.0000

6.6660-8.66703.6670

35.7686-67.4392-3.5528

3.

[A,B,C,D]=tf2ss（num,den）

A=

B=

1

0

C=

D=

[Am,Bm,Cm,Dm]=minreal（A,B,C,D）

1stateremoved.

Am=

-17.2017-8.5677

18.56778.2017

Bm=

0.5774

-0.5774

Cm=

1.00001.0000

Dm=

4.

（1）

A=[-1/110/1;

-10];

B=[0;

1];

C=[10];

p=[-5+sqrt（-75）;

-5-sqrt（-75）]

p=

-5.0000+8.6603i

-5.0000-8.6603i

k=place（A,B,p）

k=

8.10009.0000

[num,den]=ss2tf（A,B,C,D）

num=

00.000010.0000

den=

1.00001.000010.0000

t=0:

0.05:

12;

sys=tf（num,den）;

step（sys,t）;

grid;

[num,den]=ss2tf（A-B*k,B,C,D）

0010.0000

1.000010.0000100.0000

（2）

A=[-1/0.051/0.05;

p=[-7+sqrt（-51）;

-7-sqrt（-51）]

-7.0000+7.1414i

-7.0000-7.1414i

10.0000-6.0000

0020

12020

00.000020.0000

1.000014.0000100.0000

六、实验数据、结果分析

（1）系统能观，能控

（2）系统能观，能控

（3）系统能观，能控

系统能观，能控

（1）状态反馈前

状态反馈后

（2）状态反馈前

思考题：

1.输出反馈能使系统极点任意配置吗？

不能，对完全能控的单输入单输出系统，不能采用输出线性反馈来实现闭关系统极点的任意配置。

2.若系统的某个状态不能直接测量，能用什么办法构成全状态反馈？

根据图可得状态观测器方程：

式中，

为状态观测器的状态矢量，是状态x的估计值；

状态观测器的输出矢量；

G为状态观测器的输出误差反馈矩阵。