二元一次方程简单的线性规划文档格式.docx
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第二类:
x-y=6上的点;
x-y=6左上方的区域内的点;
第三类:
在直线x-y=6右下方的区域内的点.
设点P(x,y1)是直线x-y=6上的点,选取点
A(x,y2),使它的坐标满足不等式
xy
6,
请同学们完成以下的表格,
横坐标
-3
-2
-1
1
3
点P的纵
坐标y1
点A的纵
坐标y2
并思考:
当点A与点根据此说说,直线
P有相同的横坐标时,它们的纵坐标有什么关系?
_______________
x-y=6左上方的坐标与不等式xy6有什么关系?
______________
直线x-y=6右下方点的坐标呢?
在平面直角坐标系中,以二元一次不等式xy6的解为坐标的点都在直线
_____;
反过来,直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式xy6.
因此,在平面直角坐标系中,不等式xy6表示直线
方的平面区域;
如图:
x-y=6的
x-y=6左上
类似的:
x-y>
6
表示
直线
x-y=6
右下方的区域;
如图
:
直线叫做这两个区域的
边界
结论:
1.二元一次不等式
Ax
By
c
0在平面直角坐标系中表示直线
0某一侧所有
点组成的平面区域
2.不等式中仅
.(虚线表示区域不包括边界直线)或不包括;
但含“”“
”包括
;
同侧同号,异侧异号
※典型例题
例1画出不等式x4y4表示的平面区域.
分析:
先画___________(用线表示),再取_______判断区域,即可画出.
归纳:
画二元一次不等式表示的平面区域常采用“
直线定界,特殊点定域
”的方法.特殊地,
当C0时,常把原点作为此特殊点.
变式:
画出不等式x2y4
0表示的平面区域.
例2用平面区域表示不等式组
y
3x12
的解集
2y
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式
所表示的平面区域的公共部分.
变式1:
画出不等式(x2y1)(xy4)0表示的平面区域.
变式2:
由直线x
y20,x2y1
0和2x
y10围成的三角形区域(包括边界)
用不等式可表示为
※动手试试
练1.不等式x2y
60表示的区域在直线
x2y60的
__
练2.画出不等式组
3y
三、总结提升
※学习小结
由于对在直线AxBy
C0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入
AxBy
C
(x,y)
,
,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点
00
从Ax0
By0C的正负即可判断
AxByC0表示直线哪一侧的平面区域
.(特殊地,当C
≠0时,常把原点作为此特殊点)
※知识拓展
含绝对值不等式表示的平面区域的作法:
(1)去绝对值符号,从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式.
(2)一般采用分象限讨论去绝对值符号.
(3)采用对称性可避免绝对值的讨论.
(4)在方程f(xy)0或不等式f(xy)0中,若将xy换成(x)(y),方程或不等式不变,
则这个方程或不等式所表示的图形就关于y(x)轴对称.
学习评价
※自我评价
你完成本节导学案的情况为(
).
A.很好
B.较好
C.一般
D.较差
※当堂检测
(时量:
5分钟满分:
10分)计分:
1.
不等式x
2y6
0表示的区域在直线
2y60的(
).
A.右上方
B.右下方C.左上方
D.左下方
2.
不等式3x
2y6
0表示的区域是(
3.不等式组
0表示的平面区域是(
4.
已知点(3,
1)和(4,
6)在直线
3x2ya0的两侧,则
的取值范围是
5.
画出
表示的平面区域为:
课后作业
x3
1.用平面区域表示不等式组2yx的解集.
3x2y6
xy60
2.求不等式组xy0表示平面区域的面积.
平面区域
(2)
1.巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域;
2.能根据实际问题中的已知条件,找出约束条件.
画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域.
2x
3y
12
画出不等式组2x
6所示平面区域.
例1要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:
规格类型
A规格
B规格
C规格
钢板类型
第一种钢板2
第二种钢板1
今需要三种规格的成品分别为
11
23
12块、15块、27块,用数学关系式和图形表示上述要求
例2一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料,生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸盐18t;
生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t,硝酸
盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.
(x
y5)(x
y)
练
不等式组
所表示的平面区域是什么图形?
0x
练2.某人准备投资1200万兴办一所完全中学,对教育市场进行调查后,他得到了下面的数据表格(以班级为单位):
学段
班级学
配备教
硬件建
教师年
生人数
师数
设(万元)
薪(万元)
初中
45
26/班
2/人
高中
40
54/班
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.
根据实际问题的条件列出约束不等式组与目标函数
反复的读题,读懂已知条件和问
题,边读边摘要,读懂之后可以列出一个表格表达题意
然后根据题中的已知条件,找出约
束条件和目标函数,完成实际问题向数学模型的转化
求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点,
它为线性规划中求最优整数解作
铺垫.常有两种处理方法,一种是通过打出网络求整点;
另一种是先确定区域内点的横坐标
的范围,确定x的所有整数值,再代回原不等式组,得出y的一元一次不等式组,再确定
的所有整数值,即先固定x,再用x制约y.
※当堂检测(时量:
5
分钟满分:
不在3x2y
表示的平面区域内的点是(
A.(0,0)
B.(1,1)
C.(0,2)
D.(2,0)
5
0表示的平面区域是一个(
A.三角形
B.直角梯形
C.梯形D.矩形
3.
1表示的区域为D,点P1(0,
2),点P2(0,0),则(
PD,PD
A.1
B.1
C.1
D.12
0,x
2y10
和2xy1
0的平围成的三角形区域
(不包括边界)用
不等式可表示为
8
表示的平面区域内的整点坐标是
1.一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A和B.每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三
道工序.桌子A需要10min打磨,6min着色,6min上漆;
桌子B需要5min打磨,12min着
色,9min上漆.如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作
450min,着色每天至多
480min,
请你列出满足生产条件的数学关系式,并在直角坐标系中画出相应的平面区域
2.某服装制造商现有10m2的棉布料,10m2的羊毛料,6m2的丝绸料.做一条裤子需要棉
布料1m2,2m2的羊毛料,1m2的丝绸料,一条裙子需要棉布料1m2,1m2的羊毛料,2
需要同时生产这两种服装,请你列出生产这两种服装件数所需要满足的关系式,并画出图形
3.3.2简单的线性规划问题
(1)
①巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域;
②能根据实际问题中的已知条件,找出约束条件.
阅读课本P87至P88的探究
找出目标函数,线性目标函数,线性规划,可行解,可行域的定义.
在生活、生产中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题,如:
某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用
4个A配件耗时
1h,每生产一件乙产品使用
和12个B配件,按每天
4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得
8h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
16个
A配件
(1)用不等式组表示问题中的限制条件:
设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由已知条件可得二元一次不等式组:
(2)画出不等式组所表示的平面区域:
注意:
在平面区域内的必须是整数点.
(3)提出新问题:
进一步,若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
(4)尝试解答:
(5)获得结果:
新知:
线性规划的有关概念:
①线性约束条件:
在上述问题中,不等式组是一组变量x、y的约束条件,这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,故又称线性约束条件.
②线性目标函数:
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量
线性目标函数.
③线性规划问题:
一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,
问题.
④可行解、可行域和最优解:
满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.
x、y的解析式,叫
统称为线性规划
由所有可行解组成的集合叫做可行域.
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.
例1在探究中若生产一件甲产品获利3万元,生产一件乙产品获利2万元,问如何安排生
产才能获得最大利润?
yx
练1.求z2xy的最大值,其中x、y满足约束条件xy1
y1
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤:
(1)寻找线性约束条件,线性目标函数;
(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;
(3)在可行域内求目标函数的最优解
寻找整点最优解的方法:
1.平移找解法:
先打网格,描整点,平移直线,最先经过或最后经过的整点便是最优整点
解,这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息,结合精确的作图才行,当可行域是有限
区域且整点个数又较少时,可逐个将整点坐标代入目标函数求值,经比较求最优解.
2.调整优值法:
先求非整点最优解及最优值,再借助不定方程的知识调整最优值,最后筛先出整点最优解.
3.由于作图有误差,有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解,此时可将数个可能解逐一检验即可见分晓.
※自我评价你完成本节导学案的情况为(
A.很好B.较好
5分钟满分:
10分)计分:
1.目标函数
z
3x
,将其看成直线方程时,
z的意义是(
A.该直线的横截距
B.该直线的纵截距
D.该直线的纵截距的两倍的相反数
2.已知x、y满足约束条件x
,则
2x4y的最小值为(
A.6
B.6
C.10
D.10
在如图所示的可行域内,目标函数
zxay取得最小值的最优解有无数个,则
a的一个
可能值是(
C(4,2)
A(1,1)
B(5,1)
O
A.
B.3
C.1
D.1
4.有5辆6吨汽车和4辆5吨汽车,要运送最多的货物,完成这项运输任务的线性目标函
数为.
5.已知点(3,1)和(4,6)在直线3x2ya0的两侧,则a的取值范围
是.
1.在ABC中,A(3,1),B(1,1),C(1,3),写出ABC区域所表示的二元一次不等式组.
5x3y15
2.求z3x5y的最大值和最小值,其中x、y满足约束条件yx1.
x5y3
3.3.2简单的线性规划问题
(2)
1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并加以解决;
2.体会线性规划的基本思想,借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.
4y
已知变量
x,y
满足约束条件
3x
5y
25,设z
2xy,取点(,)可求得
32
取点(5,2)可求得zmax
12,取点(1,1)可求得zmin
取点(0,0)可求得z0
,取点(3,2)叫做_________
点(0,0)叫做_____________,点(5,2)和点(1,1)__________________
阅读课本P
88至P91
线性规划在实际中的应用:
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,
一是在人力、物力、资金等资源一
定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;
二是给定一项任务,如何合理安排和规划,
能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用:
例1营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供
0.075kg的碳水化合物,
0.06kg的
蛋白质,0.06kg的脂肪,1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;
而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21
元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物
B多少
kg?
例2要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:
第一种钢板21
第二种钢板12
今需要三种规格的成品分别为12块、15
C、三种规格成品,且使所用钢板张数最少?
块、27块,各截这两种钢板多少张可得所需
A、B、
第一种钢板为1m2,第二种为2m2,各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格的成品且所用钢板面积最小?
例3一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料,生产
盐18t;
生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐
盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料.若生
生产1车皮乙种肥料,产生的利润为5000元.
能够产生最大的利润?
1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸
1t,硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t,硝酸
1车皮甲种肥料能产生的利润为10000元;
那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,
练1.某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3000元、2000元.甲、乙产品
都需要在A、B两种设备上加工,在每台A、B设备上加工1件甲设备所需工时分别为1h、
2h,加工1件乙和设备所需工时分别为2h、1h,A、B两种设备每月有效使用台时数分别为
400h和500h.如何安排生产可使收入最大?
练2.某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周
(按40个工时
计算)生产空调器、彩电、冰箱共
120台,且冰箱至少生20台.已知生产这些家电产品每台
所需工时和每台产值如下表
家电名称
空调器
彩电
冰箱
工时
4
产值/千元
问每周应生产空调器、彩电、冰箱共多少台,
才能使产值最高?
最高产值是多少?
(以千元
为单位)
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类
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