激光谐振腔的模式计算研究.docx
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激光谐振腔的模式计算研究.docx
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激光谐振腔的模式计算研究
激光谐振腔模式研究的MATLAB实现
光信1001班吉祥U201013222
摘要:
谐振腔的模式计算是分析激光器输出光束质量的前提和基础。
本文在matlab环境下,采用Fox_Li数值迭代法计算了条形腔、矩形腔、圆形腔、倾斜腔的自再现模的振幅分布和相位分布,并比较了腔形、菲涅尔数、初始光强分布、倾斜扰动等因素对最终模式的影响,具有一定的实际应用价值。
1.原理说明
设初始时刻在镜上有某一个场分布,则当波在腔中经第一次渡越而到达镜时,将在镜上形成一个新的场分布,场经第二次渡越后又将在镜上形成一个新的场分布。
每次渡越时,波都将因为衍射损失一部分能量,并引起能量分布变化,如此重复下去……由于衍射主要是发生在镜的边缘附近,因此在传播过程中,镜边缘附近的场将衰落得更快,经多次衍射后所形成的场分布,其边缘振幅往往都很小(与中心处比较),具有这种特征的场分布受衍射的影响也将比较小。
可以预期:
在经过足够多次渡越之后,能形成这样一种稳态场:
分布不再受衍射的影响,在腔往返一次后能够“再现”出发时的场分布,即实现了模的“自再现”。
光学中的惠更斯—菲涅尔原理是从理论上分析衍射问题的基础,该原理的严格数学表示是菲涅尔—基尔霍夫衍射积分。
设已知空间任意曲面S上光波场地振幅和相位分布函数为,由它所要考察的空间任一点P处场分布为,二者之间有以下关系式:
式中,为与连线的长度,θ为S面上点处的法线和上述连线之间的夹角,为S面上的面积元,k为波矢的模。
本文采用Fox—Li数值迭代法实现了条形腔、矩形腔、圆形腔、倾斜腔的自再现模的形成。
2.实现方案
2.1条形腔
条形腔是一种理想模型,即一个方向有限长,而另一个方向上无限延伸的腔形,故只在长度有限的那个方向上发生衍射现象,迭代公式为一维的菲涅尔—基尔霍夫衍射积分:
将条形腔的左镜面S上沿着之间划分N-1等分,则有N个点,每个区间为。
右边镜面P上每一点的求解都需将左边镜面上的点逐点计算一遍并相加,如此循环迭代下去,最终会达到稳态分布。
2.2矩形腔
在矩形腔中,与连线的长度可以表示为
,经过计算与推导可知:
矩形腔的计算不需考虑整个面上的点的影响,可以按照、两个方向分离变量为,其中的计算与条形腔相同。
2.3圆形腔
圆形腔的迭代思想与矩形腔相同,只是划分与矩形腔不同。
圆形腔是按照径向和角向划分,在极坐标(r,Φ)下完成数值迭代,但在最后显示的时候,需要将极坐标还原成笛卡尔坐标系。
具体思路是:
由极坐标和直角坐标的转换关系,X=rCOSΦ,Y=rsinΦ,其
中,r、Φ为极坐标参量。
将X、Y用相应的极坐标参量代换并代入衍射方程,得
(4)
为了分离变量,对圆形镜谐振腔,其场分布函数经常采用如下形式:
(5)
式中:
p表示场分布在径向的变化;f表示场分布按方位角以不同的正弦或余弦方式变化。
将式(5)代入式(4),可得:
式中,右边积分可以分离为Φ和r的积分,方括号Φ的积分可以仿照圆形镜共焦腔来进行,利用积分关系
式中,Jl为l阶第一类贝塞尔函数。
再将式(7)代入式(6),可以将方程(6)化简为只含径向的本征方程:
数值迭代开始前需要给定初始的场分布尺,对TEM00模,设初始场分布为均匀平面波,将0≤r≤a等分为N个点,令R1L(r)=1,即镜面上各点振幅均为1。
第q次迭代后,r1,r2,…rN各点本征值为
2.4倾斜腔
严格的平行平面腔只是一种理想情况,实际情况下出现一定的不平行性是不可避免的,这里主要考察倾斜条形腔对自再现模的影响,如图3所示:
图3倾斜平行平面腔的示意图
两个镜面相对其理想位置(即两镜面与其公共轴线严格垂直的位置)沿相反方向偏离同样大小的微小角度β,在镜的边缘处与理想位置的偏离线度δ。
在δ甚小的情况下,且只考虑腔的旁轴光线,镜面上两点的距离M1′M2′与理想情况下相应两点的距离M1M2之差为:
,故,于是衍射积分方程变为:
,类似于条形腔,可以计算出倾斜条形腔的自再现模。
3.实验结果与分析
3.1激光谐振腔模式的各种分析方法的比较
特征向量矩阵法,Fox—Li数值迭代法、厄米一高斯展开法、快速傅立叶变换法(FFT)、有限差分法(FDM)和有限元法(FEM)。
特别是Fox—Li数值迭代方法,它是一种模式数值求解中普遍适用的一种方法,只要取样点足够多,它可以用来计算任何形状开腔的自再现模,而且还可以计算诸如平行平面腔中腔镜的倾斜、镜面的不平整性等对模的扰动。
其缺点是在菲涅耳数F很大时,计算工作量很大。
特征向量法是对腔镜进行有限元单元划分的,构造光束传输矩阵,通过求解特征矩阵的特征向量,即可获得腔镜光场分布的振幅和相位分布。
矩阵运算时间与矩阵维数有着近似平方的关系,二维衍射积分方程的传输矩阵的维数高,计算需要数小时甚至数天的时间,对于大菲涅耳系数的谐振腔计算难度更大。
3.2菲涅尔数对结果的影响
对于条形腔,菲涅尔数F定义为:
。
菲涅尔数越大,衍射损耗越小。
当谐振腔的菲涅尔数较大时,低阶模式和高阶模式的衍射损耗非常接近,以至于高阶模在有限的迭代次数下不能有效地消除;而谐振腔的菲涅耳数比较小时,高阶模具有更高的颜色损耗,从而更能有效地抑制高阶模振荡。
下图依次为条形腔菲涅尔数F=0.9,2.5,10时,自再现模的振幅分布和相位分布的比较。
从图中可以看出,对于大菲涅尔数腔而言,振幅分布在镜边缘处的值很小,相位分布在镜中心区域可近似看成平面波分布;菲涅尔数越小,场分布曲线上的起伏越小,曲线越趋于平滑,振幅分布曲线越接近于标准高斯分布,相位分布曲线则越接近于球面波分布。
由于平行平面腔的基模振幅分布就是高斯分布,相位分布越接近于球面波分布,故可以得出结论:
在小菲涅尔数情况下,高阶模的损耗比基模大得多。
3.3腔镜的倾斜扰动对最终模式的影响
实际上的谐振腔很难做到完全平行,而是有一定的倾斜量。
在计算的过程中发现,当时就很难达到稳态分布(本实验中,稳态分布的判据是:
归一化后,前后两次对应点的差值均小于0.0001),、、到达稳态分布的迭代次数分别为945、426、305,可见倾斜线度越大,越难达到稳态分布。
3.4圆镜腔与矩形腔的迭代输出结果的比较
F=2.5,上图为矩形腔,下图为圆镜腔。
从图中可以看出,腔镜的形状决定了自再现模的分布情况。
在腔镜中心附近,这两种腔的稳态分布都接近于平面波,且矩形腔的分布围更大一些,这是由于矩形腔的衍射损耗更大一些,更易达到稳态分布;圆形镜的横模形状为圆形分布,方形镜的横模分布为“十字架”形状,而有一定长宽比的矩形镜的横模分布为长条状,当长宽比趋于无穷时,分布便趋近于条形腔了。
因此在实际应用中,若要改变光束的横模分布或者控制光束质量,可以采用改变腔镜形状的方法。
3.5不同初始场分布的改变对自再现模的影响
在前面的讨论中,所有光场的初始分布均采用平行分布(即腔镜上每一点的初始振幅、相位均相等)。
图7中展示了初始随机分布和平行分布的比较,上面三幅图依次为初始随机分布迭代0次、2次和稳态的振幅分布,下面三幅图依次为初始平行分布迭代0次、2次和稳态时的振幅分布。
上下比较可知,在只经过2次迭代之后,二者的振幅分布就已经很接近了,因此最终的稳态分布也是一样的,条形腔、圆形腔的结果也是如此。
由此可以知道,激光谐振腔的自再现模的分布与光场的初始分布无关,只与腔的结构有关,这也解释了激光的起振过程:
初始光为由自发辐射产生的非相干光(相当于随机分布),在经过无数次来回传播之后,形成特定的模场分布,即相干光。
3.6谐振腔各种参数的改变对迭代结果的影响
对于条形腔,主要参数为腔长L、波长λ、腔镜长度a。
这三个参数的改变会引起菲涅尔数的变化,可见3.2中的解释,现在讨论在不改变菲涅尔数时,对迭代结果的影响,取菲涅尔数F=6.25,只要菲涅尔数不变,改变L与a的相对大小对迭代结果几乎没有影响,可以这样解释:
Fox_Li数值迭代法的原理是衍射积分法,而菲涅尔数刚好衡量了衍射的情况,故在菲涅尔数不变的情况下,改变谐振腔的参数,迭代的最终结果仍然保持不变。
3.7其他情况对迭代结果的影响
其他还有很多因素对迭代结果有较大影响,比如划分点的个数、收敛判据的考虑等等。
对于划分点数,当然是越多越精确,最终误差积累的越少,但是点数太多会降低运算速度,圆形腔的时候最明显,因此要选取适当的点数,兼顾精度与效率:
对于条形腔,经过试验发现,当划分点数大于30时,就能够得到比较令人满意的迭代结果。
本实验的收敛判据是:
归一化后,前后两次对应点的差值均小于0.0001;当然这个值可以取的小一些,减少迭代次数,也可以大一些,将稳定性条件设置的更加严格,试验证实,0.0001的判据比较合理。
3.8设计体会和想法
MATLAB很强大,得好好学会使用这门科学计算的工具,尤其是在离散数字化处理方面;理论素养很重要,如果激光原理没学好,写程序很容易出错;课设考验能力,这次没太用心,但是这几天通宵达旦让我颇有收获,虽然借鉴了别人的方案和代码,但是至少都能看懂,并在前人基础上发挥改良。
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