人教版九年级数学上册知识点总结第二十四章圆.docx
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人教版九年级数学上册知识点总结第二十四章圆
人教版九年级数学上册知识点总结
第二十四章圆
24.1.1圆
知识点一圆的定义
圆的定义:
第一种:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫作圆。
固定的端点O叫作圆心,线段OA叫作半径。
第二种:
圆心为O,半径为r的圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
比较圆的两种定义可知:
第一种定义是圆的形成进行描述的,第二种是运用集合的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长,也就确定了圆。
知识点二圆的相关概念
(1)弦:
连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径。
(2)弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
(3)等圆:
等够重合的两个圆叫做等圆。
(4)等弧:
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。
弦是线段,弧是曲线,判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧,而不是长度相等的弧。
24.1.2垂直于弦的直径
知识点一圆的对称性
圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
知识点二垂径定理
(1)垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
如图所示,
直径为MD,AB是弦,且CD⊥AB,
垂径定理的推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
如上图所示,直径MD与非直径弦AB相交于点C,
CD⊥AB
AC=BCAM=BM
AD=BD
注意:
因为圆的两条直径必须互相平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必须不是直径,否则结论不成立。
24.1.3弧、弦、圆心角
知识点弦、弧、圆心角的关系
(1)弦、弧、圆心角之间的关系定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等。
(3)注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件,如果丢掉这个条件,即使圆心角相等,所对的弧、弦也不一定相等,比如两个同心圆中,两个圆心角相同,但此时弧、弦不一定相等。
24.1.4圆周角
知识点一圆周角定理
(1)圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
(2)圆周角定理的推论:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对弦是直径。
(3)圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。
“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的,否则就不成立了,因为一条弦所对的圆周角有两类。
知识点二圆内接四边形及其性质
圆内接多边形:
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的性质:
(1)圆内接四边形的对角互补。
(2)四个内角的和是360°
(3)圆内接四边形的外角等于其内对角
24.2点、直线和圆的位置关系
24.2.1点和圆的位置关系
知识点一点与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系有:
点在圆外,点在圆上,点在圆内三种。
(2)用数量关系表示:
若设⊙O的半径是r,点P到圆的距离OP=d,则有:
点P在圆外d>r;点p在圆上d=r;点p在圆内d<r。
知识点二
(1)经过在同一条直线上的三个点不能作圆
(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆,即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆,且只能作一个圆。
知识点三三角形的外接圆与外心
(1)经过三角形三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。
(2)外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心。
知识点四反证法
(1)反证法:
假设命题的结论不成立,经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明命题的方法叫做反证法。
(2)反证法的一般步骤:
1假设命题的结论不成立;
2从假设出发,经过逻辑推理,推出或与定义,或与公理,或与定理,或与已知等相矛盾的结论;
3由矛盾判定假设不正确,从而得出原命题正确。
24.2.2直线和圆的位置关系
知识点一直线与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系有:
相交、相切、相离三种。
(2)直线与圆的位置关系可以用数量关系表示
若设⊙O的半径是r,直线l与圆心0的距离为d,则有:
直线l和⊙O相交d<r;
直线l和⊙O相切d=r;
直线l和⊙O相离d>r。
知识点二切线的判定和性质
(1)切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(2)切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径。
(3)切线的其他性质:
切线与圆只有一个公共点;切线到圆心的距离等于半径;经过圆心且垂直于切线的直线必过切点;必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
知识点三切线长定理
(1)切线长的定义:
经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。
(2)切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
(3)注意:
切线和切线长是两个完全不同的概念,必须弄清楚切线是直线,是不能度量的;切线长是一条线段的长,这条线段的两个端点一个是在圆外一点,另一个是切点。
知识点四三角形的内切圆和内心
(1)三角形的内切圆定义:
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
这个三角形叫做圆的外切三角形。
(2)三角形的内心:
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。
(3)注意:
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,所以当三角形的内心已知时,过三角形的顶点和内心的射线,必平分三角形的内角。
(4)直角三角形内切圆半径的求解方法:
①直角三角形直角边为a.b,斜边为c,直角三角形内切圆半径为r.a-r+b-r=c,得
。
②根据三角形面积的表示方法:
ab=
.
24.3正多边形和圆
知识点一正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形与圆的关系非常密切,把圆分成n(n是大于2的自然数)等份,顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆。
正多边形的中心:
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径:
外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角:
正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距:
中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。
知识点二正多边形的性质
(1)各边相等,各角相等;
(2)都是轴对称图形,正n边形有n条对称轴,每一条对称轴都经过n边形的中心。
(3)正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。
(4)所有的正多边形都是轴对称图形,每个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都经过正n边形的中心;当正n边形的边数为偶数时,这个正n边形也是中心对称图形,正n边形的中心就是对称中心。
(5)正n边形的每一个内角等于
,中心角和外角相等,等于
。
24.4弧长和扇形面积
知识点一弧长公式L=
在半径为R的圆中,360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2πR,所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式L=
×2πR=
。
知识点二扇形面积公式
在半径为R的圆中,360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=πR2,所以圆心角为n°的扇形的面积为S扇形=
。
比较扇形的弧长公式和面积公式发现:
S扇形=
知识点三圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面积是曲面,沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开,容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。
设圆锥的母线长为
,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为
,扇形的弧长为2πr,因此圆锥的侧面积
。
圆锥的全面积为
。
中考回顾
1.(2017甘肃天水中考)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4
则S阴影=(B )
A.2πB.
πC.
πD.
π
2\(2017四川中考)如图,AB是☉O的直径,且AB经过弦CD的中点H,已知
cos∠CDB=
BD=5,则OH的长度为( D )
A.
B.
C.1D.
3.(2017甘肃兰州中考)如图,在☉O中,
点D在☉O上,∠CDB=25°,
则∠AOB=( B)
A.45°B.50°C.55°D.60°
4.(2017山东青岛中考)如图,AB是☉O的直径,点C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,则∠BCD的度数为( B)
A.100°B.110°C.115°D.120°
5.(2017湖北黄冈中考)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC的度数为( B)
A.30°B.35°C.45°D.70°
6.(2017福建中考)如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定与∠ACD互余的角是( D )
A.∠ADCB.∠ABDC.∠BACD.∠BAD
7.(2017贵州黔东南州中考)如图,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=15°,半径为2,则弦CD的长为( A)
A.2B.-1C.
D.4
模拟预测
1.如图,点A,B,C在☉O上,∠ABO=32°,∠ACO=38°,则∠BOC等于( B )
A.60°B.70°C.120°D.140°
解析:
如图,过点A作☉O的直径,交☉O于点D.
在△OAB中,∵OA=OB,
∴∠BOD=∠OBA+∠OAB=2×32°=64°.
同理可得,∠COD=∠OCA+∠OAC=2×38°=76°,
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=140°.故选D.
2.如图,AB是☉O的弦,半径OA=2,∠AOB=120°,则弦AB的长是(B)
A.2
B.2
C.
D.3
3.如图,四边形ABCD内接于☉O,F是
上一点,且
连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC.
若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为( B)
A.45°B.50°C.55°D.60°
4.如图,☉O是△ABC的外接圆,∠B=60°,☉O的半径为4,则AC的长等于( A )
A.4
B.6
C.2
D.8
5.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=
∠BOD,则☉O的半径为( B. )
A.4
B.5C.4D.3
∵∠BAC=
∠BOD,∴
∴AB⊥CD.
∵AE=CD=8,∴DE=
CD=4.
设OD=r,则OE=AE-r=8-r.在Rt△ODE中,OD=r,DE=4,OE=8-r.
∵OD2=DE2+OE2,∴r2=42+(8-r)2,解得r=5.
6.若☉O的半径为1,弦AB=
弦AC=
则∠BAC的度数
为 15°或75°.
7.如图,△ABC是☉O的内接三角形,点D是
的中点,已知∠AOB=98°,
∠COB=120°.则∠ABD的度数是 101°.
8.如图,将三角板的直角顶点放在☉O的圆心上,两条直角边分别交☉O于A,B两点,点P在优弧AB上,且与点A,B不重合,连接PA,PB.则∠APB为 45°.
9.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,☉P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),☉P的半径为
则点P的坐标为 (3,2).
10.如图,已知AB是☉O的直径,AC是弦,过点O作OD⊥AC于点D,连接BC.
(1)求证:
OD=
BC;
(2)若∠BAC=40°,求
的度数.
(1)证明:
(证法一)∵AB是☉O的直径,∴OA=OB.
又OD⊥AC,∴∠ODA=∠BCA=90°.
∴OD∥BC.∴AD=CD.∴OD=
BC.
(证法二)∵AB是☉O的直径,∴∠C=90°,OA=
AB.
∵OD⊥AC,即∠ADO=90°,∴∠C=∠ADO.
又∠A=∠A,∴△ADO∽△ACB.
∴
.∴OD=
BC.
(2)解:
(解法一)∵AB是☉O的直径,∠A=40°,
∴∠C=90°∴
的度数为:
2×(90°+40°)=260°.
(解法二)∵AB是☉O的直径,∠A=40°,
∴∠C=90°,∴∠B=50°.
∴
的度数为100°.∴
的度数为260°.
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