角含半角模型Word格式.docx
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至△FOA的位置,连接F′E、FE,
可得△OEF′≌△OEF。
模型分析
(1)半角模型的命名:
存在两个角度是一半关系,并且这两个角共顶点;
(2)通过先旋转全等再轴对称全等,一般结论是证明线段和差关系;
(3)常见的半角模型是90°
含45°
,120°
含60°
。
模型实例
【模型分析】
例1.如图,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°
,AB=AD,E、F分别是线段BC、
CD上的点,且BE+FD=EF。
求证:
∠EAF=
∠BAD。
例2.如图,在四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°
,AB=AD,E、F分别是BC、CD延长
线上的点,且∠EAF=
EF=BE-FD。
例3.在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,
且∠MDN=60°
,∠BDC=120°
,BD=DC。
探究:
当M、N分别在线段AB、AC
上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系。
(1)如图①,当DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是;
(2)如图②,当DM≠DN时,猜想
(1)问的结论还成立吗?
写出你的猜想
并加以证明。
例4.已知,在等边△ABC中,点O是边AC、BC的垂直平分线的交点,M、N
分别在直线AC、BC上,且∠MON=60°
(1)如图①,当CM=CN时,M、N分别在边AC、BC上时,请写出AM、CN、MN
三者之间的数量关系;
(2)如图②,当CM≠CN时,M、N分别在边AC、BC上时,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请你加以证明;
若不成立,请说明理由;
(3)如图③,当点M在边AC上,点N在BC的延长线上时,请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系。
例5.如图,已知正方形ABCD中,∠MAN=45°
,它的两边分别交线段CB、DC
于点M、N。
(1)求证:
BM+DN=MN;
(2)作AH⊥MN于点H,求证:
AH=AB。
例6.如图,正方形ABCD,M在CB延长线上,N在DC延长线,∠MAN=45°
求证:
MN=DN-BM。
例7.已知,如图①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,点D、E分别为线段
BC上两动点,若∠DAE=45°
探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量
关系。
小明的思路是:
把△AEC绕点A顺时针旋转90°
,得到△ABE′,连接E′D,使问题得劲解决。
请你参考小明的思路探究并解决以下问题:
(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式,并对你的猜想给予证明;
(2)当动点E在线段BC上,动点D运动到线段CB的延长线上时,如图②,
其它条件不变,
(1)中探究的结论是否发生改变?
请说明你的猜想并给予证明。
【模型应用】
如图①,已知四边形ABCD,∠EAF的两边分别与DC的延长线交于点F,与
CB的延长线交于点E连接EF。
(1)若四边形ABCD为正方形,当∠EAF=45°
时,EF与DF、BE之间有怎样
的数量关系?
(只需直接写出结论)
(2)如图②,如果四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC与∠ADC互补,当
∠EAF=
∠BAD时,EF与DF、BE之间有怎样的数量关系?
请写出结论并证明;
(3)在
(2)中,若BC=4,DC=7,CF=2,求△CEF的周长(直接写出结论即可)。
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