年九年级数学第1讲二次函数探究二次函数与相似三角形的综合问题教案讲义.docx
- 文档编号:2074907
- 上传时间:2022-10-26
- 格式:DOCX
- 页数:10
- 大小:190.57KB
年九年级数学第1讲二次函数探究二次函数与相似三角形的综合问题教案讲义.docx
《年九年级数学第1讲二次函数探究二次函数与相似三角形的综合问题教案讲义.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《年九年级数学第1讲二次函数探究二次函数与相似三角形的综合问题教案讲义.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
年九年级数学第1讲二次函数探究二次函数与相似三角形的综合问题教案讲义
二次函数与相似三角形的综合问题
知识点
二次函数综合;勾股定理;相似三角形的性质;
教学目标
1.熟练运用所学知识解决二次函数综合问题
2.灵活运用数形结合思想
教学重点
巧妙运用数形结合思想解决综合问题;
教学难点
灵活运用技巧及方法解决综合问题;
教学过程
一、课堂导入
二次函数的综合问题是中考压轴题常考题型之一,难度较大。
主要考查形式为二次函数与一些简单几何图形的点存在性问题,既考查了学生的数形结合能力,又考查学生的计算能力。
此类问题出现后,大多学生都无从下手,主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。
就本节二次函数与相似三角形的点存在性问题,主要考查了学生能否将相似三角形的性质与判定融入到二次函数,在函数图像中构造相似图形的能力。
二、复习预习
勾股定理及逆定理
1.定理:
直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方。
(即:
a2+b2=c2)
2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有:
(1)已知直角三角形的两边求第三边
(2)已知直角三角形的一边和另两边的关系,求直角三角形的另两边
(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
3.逆定理:
如果三角形的三边长:
a,b,c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意:
(1)首先确定最大边,不妨设最长边为c。
(2)验证c2和a2+b2是否具有相等的关系,若a2+b2=c2,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形。
三、知识讲解
考点1二次函数的基础知识
1.一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数且a≠0),那么y叫做x的二次函数,它是关于自变量的二次式,二次项系数必须是非零实数时才是二次函数,这也是判断函数是不是二次函数的重要依据.
当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的三种表达形式分别为:
一般式:
y=ax2+bx+c,通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式;
顶点式:
y=a(x-h)2+k,通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式;
交点式:
y=a(x-x1)(x-x2),通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1,x2才能求出此解析式;
对于y=ax2+bx+c而言,其顶点坐标为(-,).对于y=a(x-h)2+k而言其顶点坐标为(h,k),由于二次函数的图像为抛物线,因此关键要抓住抛物线的三要素:
开口方向,对称轴,顶点.
考点2相似三角形的概念及其性质
1.定义:
对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2.性质定理:
(1)相似三角形的对应角相等;
(2)相似三角形的对应边成比例;
(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比;
(4)相似三角形的周长比等于相似比;
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
考点3探究三角形相似的一般思路
解答三角形相似的存在性问题时,要具备分类讨论的思想及数形结合思想,要先找出三角形相似的分类标准,一般涉及到动态问题要以静制动,动中求静,具体如下:
(1)假设结论成立,分情况讨论。
探究三角形相似时,往往没有明确指出两个三角形的对应角(尤其是以文字形式出现让证明两个三角形相似的题目)或涉及到动点问题,因动点问题中点的位置不确定,此时应考虑不同的对应关系,从而分情况讨论;
(2)确定分类标准:
在分类时,先要找出分类的标准,看两个三角形是否有对应相等的角,若有,找出对应相等的角后,再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件;若没有,则分别按三种角来分类讨论;
(3)建立关系式并计算。
由相似三角形列出相应的比例式,将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算),整理可得一元一次方程或者一元二次方程,解方程可得字母的值,再通过计算得出相应的点的坐标;
四、例题精析
考点一在函数中运用“SAS”判定定理构造相似三角形
例1直线分别交x轴、y轴于A、B两点,△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD,抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点.
(1)写出点A、B、C、D的坐标;
(2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点G的坐标;
(3)在直线BG上是否存在点Q,使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似?
若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
例2如图,已知点A(-2,4)和点B(1,0)都在抛物线上.
(1)求m、n;
(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形AA′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式;
(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C,试在x轴上找一个点D,使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似.
考点二运用相似三角形的性质解决二次函数综合问题
例3如图,已知直线AB:
y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于A,B两点.
(1)直线AB总经过一个定点C,请直接出点C坐标;
(2)当k=﹣时,在直线AB下方的抛物线上求点P,使△ABP的面积等于5;
(3)若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°,求点D到直线AB的最大距离.
例4如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x2+bx+c(c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C,过点C作CA∥x轴交抛物线于点A,在AC延长线上取点B,使BC=AC,连接OA,OB,BD和AD.
(1)若点A的坐标是(﹣4,4)
①求b,c的值;
②试判断四边形AOBD的形状,并说明理由;
(2)是否存在这样的点A,使得四边形AOBD是矩形?
若存在,请直接写出一个符合条件的点A的坐标;若不存在,请说明理由.
课程小结
有针对性的对勾股定理、相似三角形的性质及二次函数的基础知识进行复习,有助于为研究二次函数与相似三角形的综合问题提供有利的依据。
在探究二次函数与相似三角形的综合问题时,抓住已有的信息及条件在函数图像中构造出相似三角形,并能运用相似三角形的性质解决问题,掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。
解析
例1
(1)A(3,0),B(0,1),C(0,3),D(-1,0).
(2)因为抛物线y=ax2+bx+c经过A(3,0)、C(0,3)、D(-1,0)三点,所以解得
所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,顶点G的坐标为(1,4).
(3)如图2,直线BG的解析式为y=3x+1,直线CD的解析式为y=3x+3,因此CD//BG.
因为图形在旋转过程中,对应线段的夹角等于旋转角,所以AB⊥CD.因此AB⊥BG,即∠ABQ=90°.
因为点Q在直线BG上,设点Q的坐标为(x,3x+1),那么.
Rt△COD的两条直角边的比为1∶3,如果Rt△ABQ与Rt△COD相似,存在两种情况:
①当时,.解得.所以,.
②当时,.解得.所以,.
【总结与反思】1.图形在旋转过程中,对应线段相等,对应角相等,对应线段的夹角等于旋转角.
2.用待定系数法求抛物线的解析式,用配方法求顶点坐标.
3.第(3)题判断∠ABQ=90°是解题的前提.
4.△ABQ与△COD相似,按照直角边的比分两种情况,每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形,点Q共有4个.
例2【规范解答】
(1)因为点A(-2,4)和点B(1,0)都在抛物线上,所以解得,.
(2)如图2,由点A(-2,4)和点B(1,0),可得AB=5.因为四边形AA′B′B为菱形,所以AA′=B′B=AB=5.因为,所以原抛物线的对称轴x=-1向右平移5个单位后,对应的直线为x=4.
因此平移后的抛物线的解析式为.
图2
(3)由点A(-2,4)和点B′(6,0),可得AB′=.
如图2,由AM//CN,可得,即.解得.所以.根据菱形的性质,在△ABC与△B′CD中,∠BAC=∠CB′D.
①如图3,当时,,解得.此时OD=3,点D的坐标为(3,0).
②如图4,当时,,解得.此时OD=,点D的坐标为(,0).
【总结与反思】1.点A与点B的坐标在3个题目中处处用到,各具特色.第
(1)题用在待定系数法中;第
(2)题用来计算平移的距离;第(3)题用来求点B′的坐标、AC和B′C的长.
2.抛物线左右平移,变化的是对称轴,开口和形状都不变.
3.探求△ABC与△B′CD相似,根据菱形的性质,∠BAC=∠CB′D,因此按照夹角的两边对应成比例,分两种情况讨论.
例3【规范解答】解:
(1)∵当x=﹣2时,y=(﹣2)k+2k+4=4.
∴直线AB:
y=kx+2k+4必经过定点(﹣2,4).∴点C的坐标为(﹣2,4).
(2)∵k=﹣,∴直线的解析式为y=﹣x+3.联立,解得:
或.
∴点A的坐标为(﹣3,),点B的坐标为(2,2).
过点P作PQ∥y轴,交AB于点Q,过点A作AM⊥PQ,垂足为M,过点B作BN⊥PQ,垂足为N,如图1所示.
设点P的横坐标为a,则点Q的横坐标为A.∴yP=a2,yQ=﹣a+3.∵点P在直线AB下方,
∴PQ=yQ﹣yP
=﹣a+3﹣a2∵AM+NB=a﹣(﹣3)+2﹣a=5.
∴S△APB=S△APQ+S△BPQ=PQ•AM+PQ•BN=PQ•(AM+BN)=(﹣a+3﹣a2)•5=5.
整理得:
a2+a﹣2=0.解得:
a1=﹣2,a2=1.当a=﹣2时,yP=×(﹣2)2=2.此时点P的坐标为(﹣2,2).
当a=1时,yP=×12=.此时点P的坐标为(1,).
∴符合要求的点P的坐标为(﹣2,2)或(1,).
(3)过点D作x轴的平行线EF,作AE⊥EF,垂足为E,作BF⊥EF,垂足为F,如图2.
∵AE⊥EF,BF⊥EF,∴∠AED=∠BFD=90°.∵∠ADB=90°,∴∠ADE=90°﹣∠BDF=∠DBF.
∵∠AED=∠BFD,∠ADE=∠DBF,
∴△AED∽△DFB.∴.
设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t,则点A、B、D的纵坐标分别为m2、n2、t2.
AE=yA﹣yE=m2﹣t2.BF=yB﹣yF=n2﹣t2.ED=xD﹣xE=t﹣m,DF=xF﹣xD=n﹣t.
∵,∴=.化简得:
mn+(m+n)t+t2+4=0.
∵点A、B是直线AB:
y=kx+2k+4与抛物线y=x2交点,∴m、n是方程kx+2k+4=x2即x2﹣2kx﹣4k﹣8=0两根.
∴m+n=2k,mn=﹣4k﹣8.∴﹣4k﹣8+2kt+t2+4=0,
即t2+2kt﹣4k﹣4=0.即(t﹣2)(t+2k+2)=0.∴t1=2,t2=﹣2k﹣2(舍).∴定点D的坐标为(2,2).
过点D作x轴的平行线DG,过点C作CG⊥DG,垂足为G,如图3所示.
∵点C(﹣2,4),点D(2,2),∴CG=4﹣2=2,DG=2﹣(﹣2)=4.∵CG⊥DG,
∴DC====2.
过点D作DH⊥AB,垂足为H,如图3所示,∴DH≤DC.∴DH≤2.∴当DH与DC重合即DC⊥AB时,
点D到直线AB的距离最大,最大值为2.∴点D到直线AB的最大距离为2.
【总结与反思】
(1)要求定点的坐标,只需寻找一个合适x,使得y的值与k无关即可.
(2)只需联立两函数的解析式,就可求出点A、B的坐标.设出点P的横坐标为a,运用割补法用a的代数式表示△APB的面积,然后根据条件建立关于a的方程,从而求出a的值,进而求出点P的坐标.
(3)设点A、B、D的横坐标分别为m
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 九年级 数学 二次 函数 探究 相似 三角形 综合 问题 教案 讲义