九年级数学图形的相似练习 第四章 相似三角形单元检测题含答案.docx
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九年级数学图形的相似练习 第四章 相似三角形单元检测题含答案.docx
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九年级数学图形的相似练习第四章相似三角形单元检测题含答案
第4章相似三角形检测题
(本试卷满分120分,时间:
120分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.已知四条线段是成比例线段,即,下列说法错误的是()
A.B.C.D.
2.若,且,则的值是()
A.14B.42C.7D.
3.下列四组图形中,不是相似图形的是()
4.已知两个相似多边形的面积比是9︰16,其中较小多边形的周长为36cm,则较大多边形的周长为()
A.48cmB.54cmC.56cmD.64cm
5.如图,在△中,点分别是的中点,则下列结论:
①;②△∽△;③.其中正确的有()
A.3个B.2个 C.1个D.0个
6.如图,已知//,//,分别交于点,则图中共有相似三角形()
A.4对B.5对C.6对D.7对
7.如图,在△中,∠的垂直平分线交的延长线于点,则的长为()
A.B.C.D.
8.已知△如图所示,则下列4个三角形中,与△相似的是()
9.(2013·四川中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于点D.则△BCD与△ABC的周长之比为()
A.1︰2B.1︰3
C.1︰4D.1︰5
10.手工制作课上,小红利用一些花布的边角料,剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边,其中每个图案花边的宽度都相同,那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是()
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.如果一个三角形的三边长为5、12、13,与其相似的三角形的最长的边为39,那么较大的三角形的周长为_______,面积为________.
12.已知,且,则_______.
13.将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B′,F,C为顶点的三角形与△ABC相似,那么BF的长度是.
14.若,则.
15.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点处放一水平的平面镜,光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处,已知,,且测得,,,那么该古城墙的高度是_____.
16.已知五边形∽五边形,
17.如图,在△中,分别是边上的点,,则_______.
18.如图,△三个顶点的坐标分别为,以原点为位似中心,将△缩小,位似比为,则线段的中点变换后对应点的坐标为_________.
三、解答题(共66分)
19.(8分)已知:
如图,是上一点,∥,,分别
交于点,∠1=∠2,探索线段之间的关系,
并说明理由.
20.(8分)已知:
如图所示,正方形ABCD中,E是AC上一点,EF⊥AB
于点F,EG⊥AD于点G,AB=6,AE∶EC=2∶1,求S四边形AFEG.
21.(8分)试判断如图所示的两个矩形是否相似.
22.(8分)如图,在6×8网格图中,每个小正方形边长均为1,点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点.
(1)以O为位似中心,在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似,且位似比为12;
(2)连接
(1)中的AA′,求四边形AA′C′C的周长(结果保留根号).
23.(8分)已知:
如图,在△中,∥,点在边上,与相交于点,且∠.求证:
(1)△∽△;
(2)
24.(8分)如图,在正方形中,分别是边上的点,连结并延长交的延长线于点
(1)求证:
;
(2)若正方形的边长为4,求的长.
25.(8分)阅读下面的短文,并解答下列问题:
我们把相似形的概念推广到空间:
如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫做相似体.如图,甲、乙是两个不同的正方体,正方体都是相似的,它们的一切对应线段之比都等于相似比a∶b.设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积,则.
又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积,则.
(1)下列几何体中,一定是相似体的是( )
A.两个球体B.两个圆锥体
C.两个圆柱体D.两个长方体
(2)请归纳出相似体的三条主要性质:
①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于______;
②相似体的表面积的比等于______;
③相似体的体积的比等于_______.
(3)假定在完全正常发育的条件下,不同时期的同一个人的人体是相似体,一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米,体重为18千克,到了八年级时,身高为1.65米,问他的体重是多少?
(不考虑不同时期人体平均密度的变化)
\
26.(10分)类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.
原题:
如图①,在ABCD中,点E是BC边的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD于点G.若=3,求的值.
(1)尝试探究
在图①中,过点E作EH∥AB交BG于点H,则AB和EH的数量关系是,CG和EH的数量关系是,的值是.
(2)类比延伸
如图②,在原题的条件下,若=m(m>0),则的值是(用含m的代数式表示),试写出解答过程.
(3)拓展迁移
如图③,梯形ABCD中,DC∥AB,点E是BC的延长线上一点,AE和BD相交于点F.若=a,=b(a>0,b>0),则的值是(用含a、b的代数式表示).
参考答案
一、选择题
1.C解析:
由比例的基本性质知A、B、D项都正确,C项不正确.
2.D解析:
设,则所以所以.
3.D解析:
根据相似图形的定义知,A、B、C项都为相似图形,D项中一个是等边三角形,一个是直角三角形,不是相似图形.
4.A解析:
两个相似多边形的面积比是9︰16,则相似比为3︰4,所以两图形的周长比为3︰4,即36︰48,故选A.
5.A解析:
因为点分别是的中点,所以是△的中位线.由中位线的性质可推出全部正确.
6.C解析:
△∽△∽△∽△.
7.B解析:
在△中,∠由勾股定理得
因为所以.又因为所以
△∽△所以,所以,
所以.
8.C解析:
由对照四个选项知,C项中的三角形与△相似.
9.A解析:
易证△BCD与△BAC相似,而周长比等于相似比,相似比等于对应边的比,△BCD与△BAC的相似比=,且∠BCD=∠A=30°,由30°角所对的直角边等于斜边的一半,可得=.
10.D解析:
选项A中,将里面的三角形任意一条边向两边延长与外面三角形的两边相交,利用平行线的性质可以得到内、外两三角形两个角对应相等,因此两三角形相似;B中,由于任意两个等边三角形相似,因此B中两三角形相似;同理C中两正方形相似;D中内、外两矩形对应边不成比例,故两矩形不相似.
二、填空题
11.90,270解析:
设另一三角形的其他两边长分别为
由题意得,所以又因为
所以三角形是直角三角形,所以周长为
12.4解析:
因为,所以设,所以所以
13.或2解析:
设,由折叠的性质知,
当△∽△时,,∴,解得.
当△∽△时,,∴,解得.∴的长度是或2.
14.解析:
设,则,,,
∴.
15.8解析:
由反射角等于入射角知∠∠,所以△∽△所以,所以,所以
16.解析:
因为五边形∽五边形所以.又因为五边形的内角和为所以.
17.解析:
在△和△中,∵,,∴△∽△.
∴∴ ∴.
18.或解析:
∵(2,2),(6,4),∴其中点坐标为(4,3),又以原点为位似中心,将△缩小,位似比为,∴线段的中点变换后对应点的坐标为或.
三、解答题
19.解:
.理由如下:
∵∠∠,∴.
又∵∴△∽△,
∴,即.
20.分析:
通过观察可以知道四边形是正方形,的值与的值相等,从而可以求出的长;根据相似多边形的面积比等于相似比的平方可以求出四边形的面积.
解:
已知正方形ABCD,且EF⊥AB,EG⊥AD,∴EF∥CB,EG∥DC.
∴四边形AFEG是平行四边形.∵∠1∠245°,∴.
又∵∠,∴四边形AFEG是正方形,
∴正方形ABCD∽正方形AFEG,
∴S正方形ABCD∶S正方形AFEG=AB2∶AF2(相似多边形的面积比等于相似比的平方).
在△ABC中,EF∥CB,∴AE∶EC=AF∶FB=2∶1.
又,∴.∴S正方形ABCD∶S正方形AFEG=36∶16,
∴.
21.分析:
要判定两个多边形相似,必须对应角相等,对应边成比例,因矩形的四个角都是直角,符合对应角相等,只要证明对应边成比例即可.
解:
因为两个图形都是矩形,显然它们的四个角都分别相等.
从图中数据观察可知小矩形的长为20,宽为10,
于是两个矩形的长之比为=,宽之比为,
符合对应边成比例,对应角相等,故这两个矩形是相似的.
22.解:
(1)如图.
(2)四边形的周长=4+6.
23.证明:
(1)∵,∴∠.
∵∥,∴,
.∴.
∵,∴△∽△.
(2)由△∽△,得.
∴.
由△∽△,得.
又∵∠∠,∴△∽△.
∴.∴.
∴.
24.
(1)证明:
在正方形中,,.
∵∴,
∴,∴.
(2)解:
∵∴,
由
(1)得,∴,
∴.
由∥,得,∴△∽△,
∴,∴.
25.分析:
本题是相似图形的推广,理解相似正方体的概念和性质,由此类比,从而得出相似体的性质.
解:
(1)A
(2)①相似比
②相似比的平方
③相似比的立方
(3)可由相似体的特征,直接列方程求解.
设他的体重为千克,则.解得(千克).
答:
他的体重为60.75千克.
26.分析:
(1)∵EH∥AB,∴∠BAF=∠HEF,∠ABF=∠EHF,∴△ABF∽△EHF.∴==3,
∴AB=3EH.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.
又EH∥AB,∴EH∥CD.
∴△BEH∽△BCG,∴==2,即CG=2EH.∴===.
(2)作EH∥AB交BG于点H,则△EFH∽△AFB,△BEH∽△BCG,∴可证AB=mEH,CG=2EH,从而==.
(3)过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H,则△BCD∽△BEH,△ABF∽△EHF,
∴=,=.∴EH=,==ab.
解:
(1)AB=3EH;CG=2EH;.
(2).解答过程如下:
作EH∥AB交BG于点H,则△EFH∽△AFB.
∴==m,∴AB=mEH.∵AB=CD,∴CD=mEH.
∵EH∥AB∥CD,∴△BEH∽△BCG.
∴==2,∴CG=2EH.∴==.
(3)ab.
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