4第四节二次函数图象与性质Word文件下载.docx
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8.(2019兰州)已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是( )
A.2>
y1>
y2B.2>
y2>
y1
C.y1>
2D.y2>
2
9.(2019日照改编)如图,是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,下列结论中:
①abc>0;
②a-b+c<0;
③一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解有可能为-1;
④-4a<b<-2a.其中正确结论的序号为( )
A.①②B.①③C.②③D.①④
第9题图
10.(2019随州)如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线x=1,则下列结论:
①abc<
0;
②a+
b+
c>
③ac+b+1=0;
④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
第10题图
11.(2019荆州)二次函数y=-2x2-4x+5的最大值是 .
12.(人教九上P109第10题改编)抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则当y>0时,x的取值范围是 .
第12题图
13.(2019泰安)若二次函数y=x2+bx-5的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的解为 .
14.(2019湖州)已知抛物线y=2x2-4x+c与x轴有两个不同的交点.
(1)求c的取值范围;
(2)若抛物线y=2x2-4x+c经过点A(2,m)和点B(3,n),试比较m与n的大小,并说明理由.
15.(2019南通)已知:
二次函数y=x2-4x+3a+2(a为常数).
(1)请写出该二次函数的三条性质;
(2)在平面直角坐标系中,若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象有两个交点,求a的取值范围.
16.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+ax+b交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,点P是抛物线上在第一象限内的一点,直线BP与y轴交于点C.
(1)求抛物线y=-x2+ax+b的解析式;
(2)当点P是线段BC的中点时,求点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,求sin∠OCB的值.
第16题图
能力提升
1.(2018莱芜)函数y=ax2+2ax+m(a<
0)的图象过点(2,0),则使函数值y<
0成立的x的取值范围是( )
A.x<
-4或x>
2B.-4<
x<
C.x<
0或x>
2D.0<
2.(2019镇江)已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)两点,若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是 .
3.(2019济宁)如图,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+c>
n的解集是 .
第3题图
满分冲关
1.(2019烟台改编)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:
x
-1
3
4
y
5
-4
-3
下列结论:
①抛物线的开口向上;
②抛物线的对称轴为直线x=2;
③当0<x<4时,y>0;
④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4;
⑤若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,则总有x1<x2.
其中正确的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
2.(2019南充)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数),a>0,顶点坐标为(
,m),给出下列结论:
①若点(n,y1)与点(
-2n,y2)在该抛物线上,当n<
时,则y1<y2;
②关于x的一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0无实数解.那么( )
A.①正确,②正确
B.①正确,②错误
C.①错误,②正确
D.①错误,②错误
参考答案
1.D
2.A
3.C 【解析】∵抛物线y=-3x2+6x+2=-3(x-1)2+5,∴抛物线的对称轴为直线x=1.
4.B 【解析】已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,∵两点的纵坐标相同,∴两点关于抛物线的对称轴对称,∴对称轴是直线x=
=1,即-
=1,解得b=2,∴抛物线的解析式是y=-x2+2x+4,当x=-2时,代入抛物线解析式得n=-4.
5.D 【解析】当a>
0时,二次函数图象开口向上,一次函数图象经过第一、二、三象限;
当a<
0时,二次函数图象开口向下,一次函数图象经过第二、三、四象限,故排除C选项,∵当x=-1时,一次函数y=ax+a=0,∴一次函数图象恒过(-1,0)点,故排除A、B,故选D.
6.C 【解析】∵y=-x2+4x-4=-(x-2)2≤0,∴抛物线与x轴只有一个交点;
当x=0时,y=-4,∴抛物线与y轴只有一个交点.∴抛物线与坐标轴的交点个数为2.
7.D 【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴,∴c>0,故A错误;
∵二次函数图象与x轴交于A,B两个不同的点,∴b2-4ac>
0,故B错误;
∵抛物线与x轴的交点A(1,0),B(5,0),∴对称轴为直线x=
=3,故D正确;
∵抛物线开口向上,∴当x<3时,y随x的增大而减小,∵-1<1,当x<1时,y>0,∴当x=-1时,y=a-b+c>
0,故C错误.
8.A 【解析】把x1=1,x2=2分别代入y=-(x+1)2+2,求得y1=-2,y2=-7,∴y2<
y1<
2.
9.D 【解析】逐个分析如下:
序号
逐个分析
判断
①
∵抛物线开口向上,∴a>
0,∵抛物线与y轴交于(0,-1),∴c=-1<
0.∵抛物线的对称轴为直线x=-
>
1,∴-b>
2a>
0,∴b<
0,∴abc>
√
②
如解图,令抛物线与x轴分别交于A,B两点,抛物线的对称轴与x轴交于点C,由图象可知1<
CB<
2,∴1<
AC<
2,∴抛物线与x轴的交点A在(-1,0)和(0,0)之间,∵在对称轴左侧,y随x的增大而减小,∴当x=-1时,y=a-b+c>
第9题解图
×
③
由②知抛物线与x轴另一交点A,满足-1<
xA<
0,∴对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的解满足-1<
x1<
0,2<
x2<
3,∴解不可能为-1
④
0,∵抛物线的对称轴满足1<
-
<
2,∴2a<
-b<
4a,即-4a<
b<
-2a
10.C 【解析】∵抛物线的开口方向向下,∴a<
0.∵对称轴在y轴右侧,对称轴x=-
=1,∴b=-2a,又a<
0,∴b>
0.∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,∴c>
0,∴abc<
0,故①正确;
由图象可知:
对称轴为直线x=1,当x=0时,y>
0,∴当x=2时,y>
0,∴4a+2b+c>
0,∴a+
0,故②正确;
OC=|c|=c,∵OA=OC,∴OA=OC=|c|,则A点的坐标为(-c,0),代入函数解析式可得ac2-bc+c=0,化简得ac-b+1=0,故③错误;
∵对称轴x=1=
,解得xB=2+c,∴点B的坐标为(2+c,0),∴2+c是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,故④正确.
11.7 【解析】该二次函数可化为y=-2(x+1)2+7,∵-2<0,∴当x=-1时,y有最大值,最大值为7.
12.-1<x<3 【解析】由图象可知,抛物线与x轴有两个交点,对称轴为直线x=1,一个交点为(-1,0),则另一个交点为(3,0),∴当y>0时,x的取值范围为-1<x<3.
13.x=2或x=4 【解析】∵二次函数y=x2+bx-5的对称轴是直线x=2,∴-
=2,即b=-4.∴关于x的方程x2+bx-5=2x-13为x2-4x-5=2x-13,解得x1=2,x2=4.
14.解:
(1)∵b2-4ac=(-4)2-8c=16-8c,
由题意,得b2-4ac>
0,
∴16-8c>
0.
∴c的取值范围是c<
2;
(2)m<
n.
理由如下:
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
又∵a=2>
∴当x≥1时,y随x的增大而增大.
∵2<
3.
∴m<
15.解:
(1)答案不唯一,任意写出3条即可.如:
①当x=2时,二次函数y=x2-4x+3a+2有最小值;
②当x>2时,y随x的增大而增大;
③当x<2时,y随x的增大而减小;
④二次函数y=x2-4x+3a+2的图象是轴对称图形,且对称轴是直线x=2;
(2)令x2-4x+3a+2=2x-1,则x2-6x+3a+3=0.
∵y=x2-4x+3a+2的图象在x≤4的部分与y=2x-1的图象有两个交点,
∴b2-4ac=(-6)2-4(3a+3)>0,解得a<2.
当x=4时,y=2x-1=7.
若y=x2-4x+3a+2的图象经过点(4,7),则42-16+3a+2=7,解得a=
.
结合图象可知,a的取值范围为
≤a<2.
第15题解图
16.解:
(1)∵抛物线y=-x2+ax+b交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点,
∴
,
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3;
(2)设点C的坐标为(0,c),
∵B(3,0),点P是线段BC的中点,
∴点P的坐标为(
).
∵点P在抛物线y=-x2+4x-3上,
=-(
)2+4×
-3,解得c=
);
(3)由
(2)得点C的坐标为(0,
),
∴OC=
∵OB=3,
∴在Rt△OBC中,BC=
=
∴sin∠OCB=
1.A 【解析】∵二次函数图象过点(2,0),∴代入可得8a+m=0,即m=-8a,则原函数可写成y=ax2+2ax-8a=a(x2+2x-8)=a(x+4)(x-2)(a<0),∴抛物线与x轴交于点(-4,0)和(2,0),且抛物线开口向下,∴当y<0时,有x<-4或x>2,故选A.
2.
【解析】∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)两点,∴
=-
=-2,∵线段AB的长不大于4,∴4a+1≥3,∴a≥
,∴a2+a+1的最小值为(
)2+
+1=
3.x<-3或x>1 【解析】如解图,∵直线y=mx+n过点A(-1,p),B(3,q),∴直线y=-mx+n过点(1,p),(-3,q),∴ax2+mx+c>n可以转化为ax2+c>-mx+n,∴不等式的解集为x<-3或x>1.
第3题解图
1.B 【解析】由题可设y=ax2+bx,将点(-1,5),(2,-4)代入y=ax2+bx,得
,解得
,∴抛物线的解析式为y=x2-4x,∴抛物线开口向上,故①正确;
抛物线的对称轴为直线x=-
=2,故②正确;
∵抛物线开口向上,与x轴交于(0,0),(4,0)两点,∴当0<
4时,y<
0,故③错误;
∵抛物线与x轴交于(0,0),(4,0)两点,∴抛物线与x轴的两个交点间的距离为4,故④正确;
对于⑤,当B位于抛物线对称轴的左侧时,x1>
x2,故⑤错误.故选B.
2.A 【解析】由题意得-
,∴b=-a.∴y=ax2+bx+c=ax2-ax+c=a(x2-x)+c=a(x-
)2-
a+c.∴m=c-
a.对于①,要判断y1,y2的大小,只需判断两点到抛物线对称轴的距离的大小即可.∵
-n-(
-2n-
)=n-
,n<
,∴n-
<0.∴点(n,y1)到抛物线对称轴的距离较近.又∵a>0,∴抛物线开口向上.∴根据抛物线的对称性得y1<y2.∴①正确;
对于②,ax2-bx+c-m+1=0⇒ax2+ax+c-(c-
a)+1=0⇒ax2+ax+
a+1=0,∵Δ=a2-4a(
a+1)=-4a<0,∴该方程没有实数解.∴②正确.故选A.
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- 4第四节 二次函数图象与性质 第四 二次 函数 图象 性质