复数运算练习题.docx
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复数运算练习题.docx
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复数运算练习题
复数运算练习题
一、选择题
1下面四个命题
0比?
i大
两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数
x?
yi?
1?
i的充要条件为x?
y?
1
如果让实数a与ai对应,那么实数集与纯虚数集一一对应,其中正确的命题个数是0B1CD
3的虚部为
8iB?
8iCD?
8
使复数为实数的充分而不必要条件是由
z?
zBz?
zCz为实数
?
2
z?
z为实数
?
设z1?
i4?
i5?
i6i12,z2?
i4?
i5?
i6i12,则z1,z2的关系是
z1?
zz1?
?
z2Cz1?
1?
z2D无法确定
20?
20的值是
?
1024B10C0D1024
已知f?
in?
i?
n集合?
f?
的元素个数是
2BCD无数个
二、填空题
1如果z?
a?
bi是虚数,则z,z,z,z,z,z?
z,z,z,z中是虚数的
2
2
2
有_______个,是实数的有个,相等的有
如果3?
a?
5,复数z?
?
i在复平面上的对应点z在
22
3若复数z?
sin2a?
i是纯虚数,则a
4设z?
log2?
i?
log2,若z对应的点在直线x?
2y?
1?
0
2
上,则m
5已知z?
则z?
z
3
?
6若z?
10050
那么z?
z?
11
7计算i?
2i?
3i2000i
232000
?
三、解答题
1设复数z满足z?
1,且?
z是纯虚数,求z
?
22
已知复数z满足:
z?
1?
3i?
z,求
2z
2
基础训练㈡
一、选择题
1若z1,z2?
C,z1z2?
z1z2是?
1i2
A01CiDi
若复数z
满足z?
z)i?
1,则z?
z2
的值等于
A1B0C?
11D
?
2?
2
5
已知3?
z?
A第一象限B第二象限C第三象限第四象限
已知z1?
z2?
z1?
z2?
1,则z1?
z2等于
A1B
C
D
7
若?
1?
?
2?
2
则等于?
4?
?
2?
1?
A1B0C
D
?
1
给出下列命题
实数的共轭复数一定是实数;
满足z?
i?
z?
i?
2的复数z的轨迹是椭圆;若m?
Z,i2
?
?
1,则im
?
i
m?
1
?
im?
2?
im?
3?
0;
其中正确命题的序号是
ABCD
二、填空题
1若i?
b?
i,其中a、b?
R,i使虚数单位,则a2?
b2
?
_________
若z1?
a?
2i,z2?
3?
4i,且
z1
为纯虚数,则实数az2
复数z?
1
的共轭复数是_________1?
i
计算?
1?
i
复数z?
i?
i?
i?
i的值是
234
?
1?
i
?
1.在复平面内,z所对应的点在第________象限1?
i
已知复数z0?
3?
2i,复数z满足z?
z0?
3z?
z0,则复数z
复数z?
计算
1?
i
?
1?
i?
2
?
1?
i
?
1?
i?
2
?
若复数a?
3i是纯虚数,则实数a的值为___________
1?
2i
设复数z1?
1?
i,z2?
x?
2i,若z1z2为实数,则x?
_____________
11、计算
3?
2i3?
i
22?
1
12、计算
?
?
1?
i?
?
2?
i?
i3
i?
i?
i?
i?
i对复数z、、和自然数m、n,有,,
?
?
?
nn
i?
i,i?
?
1,i?
?
i,i?
1;i
12344n?
1
?
1,i4n?
2?
?
1,i4n?
3?
?
i,i4n?
1.
1?
i1?
i?
1?
3i
?
?
i?
i?
?
2
?
2?
?
,12?
0,1?
i?
2?
?
,2?
?
2i,1?
i,.设,
?
3n?
?
3n,?
n?
?
n?
1?
?
n?
2?
0
二、疑难知识导析1.对于
z?
z?
z?
z
2
2
,是复数运算与实数运算相互转化的主要依据,也是把复数看作整体进
行运算的主要依据,在解题中加以认识并逐渐体会.
2.在进行复数的运算时,不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来,如下面的结论.当z?
C时,不总是成立的.
mnmnmn
?
zz?
z?
m?
n;;
);z1?
z2?
0?
z1?
z2?
0
22
z?
z2
2
;
z?
a?
?
a?
z?
a
三、经典例题导讲[例1]满足条件
z?
2i?
z?
1?
的点的轨迹是
A.椭圆B.直线C.线段D.圆正解:
?
点与间的距离为5,?
动点在两定点与之间,选C
n6?
n
?
.[例2]求值:
63nn?
11?
i=?
i?
8i=
?
?
8
?
?
?
8i
?
?
8?
.?
8i
z?
?
[例3]已知
2
1?
i,求1?
z?
z2?
?
z2000的值.
a1
Sn?
1?
q,若直接将条件代入分析:
结论是等比数列的求和问题,所以应联想到求和公式
求和公式,则显得较为麻烦,不妨先将条件化简.
20013*667
211?
z1?
?
1?
1z
?
i0
4221?
3i1?
z1?
?
1?
?
原式=
2
评注:
由于数列中的数可以是复数,所以数列的诸性质在复数集中仍成立.
[例4]已知复数w满足w?
4?
i?
4?
3i,?
w?
?
2?
i?
z?
5?
|?
i|?
3?
i
1?
2i2?
i解法一:
.
若实系数一元二次方程有虚根z?
3?
i,则必有共轭虚根?
3?
i.
z?
5
?
|w?
2|w,求一个
?
z?
?
6,
z?
?
10,
2
?
所求的一个一元二次方程可以是x?
6x?
10?
0.
?
a?
4?
2b,?
a?
2,?
?
b?
3?
2a,?
?
b?
?
1,w?
a?
bia?
bi?
4?
3i?
2ai?
2b?
解法二:
设,得
?
w?
2?
i,
以下解法同解法一.
1
设z是虚数,?
?
z?
是实数,且?
12.zz的实部的取值范围.z[例5]
解析?
z是虚数
?
可设?
?
z?
11
?
?
zx?
yi
?
x?
yi?
x?
yixy
?
?
i
x2?
y2x2?
y2x2?
y2
?
1?
122
?
0,即x?
y?
122
x?
y
?
?
是实数,且y?
0,
?
z?
1,
此时?
?
2x
由?
12得?
1?
2x?
2
四、典型习题导练
?
?
11?
x?
1,即z的实部的范围是22
1?
i1993
?
______1?
i2.3.计算
5.解下列方程:
;
4.计算
.
4
|z?
2|?
2,z?
?
R,
z例1,已知复数z满足求z.
z?
44z44x4y?
z?
?
x?
yi?
2?
x?
?
izx?
y2x2?
y2x2?
yzz
解:
设z=x+yi,x,y∈R,则
4y4y?
z?
?
R22
x2?
y2?
y?
z∵,∴=0,又|z-2|=2,∴
联立解得,当y=0时,x=4或x=0,
?
?
x?
1
?
?
y?
z?
1?
∴综上所得
z1?
4,z2?
1z3?
1当y≠0时
?
例2.设z为虚数,求证:
证明:
设z=a+bi,于是
11abz?
?
a?
biiza?
bia?
b2a2?
b2,
z?
1
z为实数的充要条件是|z|=1.
1b
b?
222
z∈R?
a?
b=0?
a?
b?
1?
|z|=1.所以b≠0,
z?
12
例3.复数z满足?
|z|,且z?
1为纯虚数,求z.
z?
22
解:
设z=x+yi,则?
|z|?
z?
z?
1?
|z|
∴z?
z?
1?
0,即
z?
z?
?
1?
x?
?
12.
z?
1z?
z?
1x2?
y2?
x?
yi?
x?
yi?
1
z?
1|z?
1|2|z?
1|2
为纯虚数,
x2?
y2?
1?
y?
∴
11?
z?
?
z?
?
2
或2
例4.设z是虚数,ω=
z?
1
z是实数,且-1z?
1
求|z|的值及z的实部的取值范围;设u=z?
1,求证u为纯虚数;求的最小值。
解:
设z=a+bi,则
ab
i22
a?
ba?
b,由于ω是实数且b≠0,∴a?
b?
1,
1?
即|z|=1,由?
?
2a,?
12∴z的实部a的的取值范围是.z?
11?
a?
bi1?
a2?
b2?
2bibi122
?
ba?
1,由于a?
b≠0,u=z?
11?
a?
bi
2
∴u是纯虚数。
b21?
a221
2a?
?
2a?
?
2a?
1?
?
2[?
]?
322
a?
1a?
1
2
11
?
22
1a?
12由于a∈,∴a+1>0,则,当,即a=0时,上式取等号,所以的最小
值为1.
?
z?
|z|8
?
?
1?
2i?
?
2i2,,则z=.
例5,若复数z满足
例6.设z∈C,|z|=1
,则|zi|的最大值为
3
2z例7,已知复数z满足|z|=1+3i-z.求的值.
例7.已知,复数,求|ω|.例8.若z∈C
,满足4z?
2z?
i,?
?
sin?
?
icos?
。
求z的值和|z-ω|的取值范围
z
例9,设,z?
1是纯虚数,求复数z对应的点的轨迹方程.
zz2zzz?
z?
zzz?
?
0,?
?
0?
?
0
z?
1z?
11解:
∵z?
1是纯虚数,∴z?
1z?
1,即,∴z+z+=0,
11
2?
y2?
24,设z=x+yi,,2?
2x?
0y≠0)∴.它为
复数z对应点的轨迹方程.
2
2
复数的四则运算练习题
1.几个特殊结论:
i4n?
1?
i4n?
2?
i4n?
3?
i4n?
如果1
2i,则2?
?
3?
2
122?
2?
2?
?
1
i1?
i1?
i?
?
1?
i1?
i
2.已知复数z1?
3?
4i,z2?
t?
i,且z1?
z2是实数,则实数t等于1?
i?
3.复数的值等于1?
i?
?
1?
4.?
?
i?
?
的虚部是?
i?
1?
.i?
12i?
i
116.如果?
?
x?
yi,则实数x?
,y?
1?
i2?
3i313
7.集合{Z︱Z=in?
i?
n,n?
Z},用列举法表示该集合,这个集合是
8.设x,y为实数,且xy5,则x?
y?
。
?
?
1?
i1?
2i1?
3i
9.已知x,y?
R,复数?
5xi与复数i?
18相等,求x,y.
10.已知f?
2z?
z?
3i,f?
6?
3i,求f的值.
11.求?
16?
30i的平方根.
m2?
m12.设m?
R,复数z1?
?
i,z2?
?
2?
mi,若z1?
z2是虚数,m?
2
求m的取值范围.
13.计算:
4
5
?
2?
i?
19961?
2i?
?
2?
1?
i?
?
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