高中数学第1章导数及其应用章末复习课学案苏教版选修222.docx
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高中数学第1章导数及其应用章末复习课学案苏教版选修222
第1章导数及其应用
知识点一 导数的概念
1.定义:
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,称为函数y=f(x)在x=x0处的导数.
2.几何意义:
函数y=f(x)在x=x0处的导数是函数图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,表示为f′(x0),其切线方程为.
知识点二 基本初等函数的导数公式
1.c′=0.
2.(xα)′=.
3.(ax)′=(a>0).
4.(ex)′=.
5.(logax)′=()′=(a>0,且a≠1).
6.(lnx)′=.
7.(sinx)′=.
8.(cosx)′=.
知识点三 导数的运算法则
1.[f(x)±g(x)]′=.
2.[f(x)·g(x)]′=.
3.[]′=(g(x)≠0).
知识点四 复合函数的求导法则
1.复合函数记法:
y=f(g(x)).
2.中间变量代换:
y=f(u),u=g(x).
3.逐层求导法则:
y′x=y′u·u′x.
知识点五 函数的单调性、极值与导数
1.函数的单调性与导数
在某个区间(a,b)内,如果________,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果________,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.
2.函数的极值与导数
(1)极大值:
在点x=a附近,满足f(a)≥f(x),当xa时,________,则点a叫做函数的极大值点,f(a)叫做函数的极大值;
(2)极小值:
在点x=a附近,满足f(a)≤f(x),当xa时,________,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.
3.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤
(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将函数y=f(x)的______与______处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个就是________,最小的一个就是______.
知识点六 微积分基本定理
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么ʃf(x)dx=________.
知识点七 定积分的性质
1.ʃkf(x)dx=(k为常数).
2.ʃ[f1(x)±f2(x)]dx=.
3.ʃf(x)dx=(其中a 类型一 导数的概念与几何意义 例1 (1)若曲线f(x)=kx+lnx在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k=________. (2)设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a>0),直线l是曲线y=f(x)的一条切线,当l的斜率最小时,直线l与直线10x+y=6平行. ①求a的值; ②求f(x)在x=3处的切线方程. 反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点,若切点未知需设出.常见的类型有两种,一类是求“在某点处的切线方程”,则此点一定为切点,易求斜率进而写出直线方程即可得;另一类是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),由=f′(x1)和y1=f(x1)求出x1,y1的值,转化为第一种类型. 跟踪训练1 直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+1相切于点(2,3),则b=________. 类型二 函数的单调性、极值、最值问题 例2 设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值; (2)求证: 当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1. 反思与感悟 本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性,求函数的极值和证明不等式,考查运算能力、分析问题、解决问题的能力. 跟踪训练2 已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<0. (1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间; (2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值. 类型三 生活中的优化问题 例3 某公司为获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t(百万元),可增加销售额约为-t2+5t(百万元)(0≤t≤3). (1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司获得的收益最大? (2)现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费x(百万元),可增加的销售额为-x3+x2+3x(百万元).请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大. 反思与感悟 解决优化问题的步骤: (1)要分析问题中各个数量之间的关系,建立适当的函数模型,并确定函数的定义域. (2)要通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最值,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具. (3)验证数学问题的解是否满足实际意义. 跟踪训练3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 类型四 定积分与微积分基本定理 例4 (1)设f(x)=则ʃf(x)dx=________. (2)如图,是由直线y=x-2,曲线y2=x所围成的图形,试求其面积S. 反思与感悟 由定积分求曲边梯形面积的方法步骤: (1)画出函数的图象,明确平面图形的形状. (2)通过解方程组,求出曲线交点的坐标. (3)确定积分区间与被积函数,转化为定积分计算. (4)对于复杂的平面图形,常常通过“割补法”来求各部分的面积之和. 跟踪训练4 求由抛物线y=x2-1,直线x=2,y=0所围成的图形的面积. 1.已知函数f(x)=ax2-2ln(2-x)(a∈R),设曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线为l,若l与圆C: x2+y2=相切,则a=________. 2.体积为16π的圆柱,它的半径为________时,圆柱的表面积最小. 3.设两抛物线y=-x2+2x,y=x2所围成的图形为M,求M的面积. 4.已知函数f(x)=x-alnx(a∈R). (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f (1))处的切线方程; (2)求函数f(x)的极值. 1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0).明确“过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程”与“在点P(x0,y0)处的曲线y=f(x)的切线方程”的异同点. 2.借助导数研究函数的单调性,经常同三角函数,一元二次不等式结合,融分类讨论、数形结合于一体. 3.利用导数求解优化问题,注意自变量中的定义域,找出函数关系式,转化为求最值问题. 4.不规则图形的面积可用定积分求,关键是确定积分上、下限及被积函数,积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标. 答案精析 问题导学 知识点一 2.y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) 知识点二 2.αxα-1 3.axlna 4.ex 6. 7.cosx 8.-sinx 知识点三 1.f′(x)±g′(x) 2.f′(x)g(x)+f(x)g′(x) 3. 知识点五 1.f′(x)>0 f′(x)<0 2. (1)f′(x)>0 f′(x)<0 (2)f′(x)<0 f′(x)>0 3. (2)极值 端点 最大值 最小值 知识点六 F(b)-F(a) 知识点七 1.kʃf(x)dx 2.ʃf2(x)dx 3.ʃf(x)dx+ʃf(x)dx 题型探究 例1 (1)-1 解析 f′ (1)=k+1=0,k=-1. (2)解 ①f′(x)=x2+2ax-9=(x+a)2-a2-9, f′(x)min=-a2-9, 由题意知-a2-9=-10, ∴a=1或-1(舍去). 故a=1. ②由①得a=1. ∴f′(x)=x2+2x-9, 则k=f′(3)=6,f(3)=-10. ∴f(x)在x=3处的切线方程为y+10=6(x-3), 即6x-y-28=0. 跟踪训练1 -15 解析 令f(x)=x3+ax+1, 由题意知f (2)=3,则a=-3. ∴f(x)=x3-3x+1. ∴f′ (2)=3×22-3=9=k, 又点(2,3)在直线y=9x+b上, ∴b=3-9×2=-15. 例2 (1)解 由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R. 令f′(x)=0,得x=ln2. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,ln2) ln2 (ln2,+∞) f′(x) - 0 + f(x) 极小值 故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞),f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a). (2)证明 设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R, 于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R. 由 (1)知当a>ln2-1时,g′(x)取最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0. 于是对任意x∈R,都有g′(x)>0, 所以g(x)在R内单调递增. 于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0). 而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>0. 即ex-x2+2ax-1>0, 故ex>x2-2ax+1. 跟踪训练2 解 (1)当a=-4时,由f′(x)==0, 得x=或x=2. 由f′(x)>0,得x∈(0,)或x∈(2,+∞), 故函数f(x)的单调递增区间为(0,)和(2,+∞). (2)因为f′(x)=,a<0, 由f′(x)=0得x=-或x=-. 当x∈(0,-)时,f(x)单调递增; 当x∈(-,-)时,f(x)单调递减; 当x∈(-,+∞)时,f(x)单调递增, 易知f(x)=(2x+a)2≥0, 且f(-)=0. ①当-≤1,即-2≤a<0时, f(x)在[1,4]上的最小值为f (1), 由f (1)=4+4a+a2=8, 得a=±2-2,均不符合题意. ②当1<-≤4,即-8≤a<-2时,f(x)在[1,4]上的最小值为f(-)=0,不符合题意. ③当->4,即a<-8时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4上取得,而f (1)≠8, 由f(4)=2(64+16a+a2)=8,得a=-10或a=-6(舍去), 当a=-10时,f(x)在(1,4)上单调递减, f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8,符合题意. 综上有a=-10. 例3 解 (1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元), 则有f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(0≤t≤3), 所以当t=2时,f(t)取得最大值4, 即投入2百万元的广告费时,该公司获得的收益最大. (2)设用于技术改造的资金为x(百万元),则用于广告促
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- 高中数学 导数 及其 应用 复习 课学案苏教版 选修 222
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