高考数学二轮复习第一篇考点四数列考查角度1等差数列的基本量的运算突破训练文0314143.docx
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高考数学二轮复习第一篇考点四数列考查角度1等差数列的基本量的运算突破训练文0314143
考查角度1 等差数列的基本量的运算
分类透析一 等差数列与数学文化
例1(2018石嘴山一模)《张丘建算经》是中国古代的数学著作,书中有一道题为“今有女善织,日益功疾(注:
从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺布”,则从第2天起每天比前一天多织( )尺布.
A.B.C.D.
解析设此等差数列{an}的公差为d,
则30×5+d=390,
解得d=.
答案C
方法技巧此题考查等差数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断织布的过程是等差数列.等差数列的判断方法主要有以下两种:
(1)定义法,证明an-an-1=d(n≥2,d为常数);
(2)等差中项法,证明2an=an-1+an+1(n≥2).
分类透析二 涉及等差数列的基本量
命题点1 首项与公差类
例2(2018商洛模拟)在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为( ).
A.20B.22C.24D.-8
解析∵在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,∴5a8=120,∴a8=24,∴2a9-a10=a1+7d=a8=24.
答案C
方法技巧等差数列的通项公式以及前n项和公式共涉及五个量,已知其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).
命题点2 公差与前n项和类
例3(2018沙市区校级二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=-10,a5=a3+4,则S30=( ).
A.10B.178C.180D.570
解析设公差为d,由a5=a3+4,
得2d=a5-a3=4,∴d=2.
∵S10=-10,
∴10a1+×2=-10,
解得a1=-10,
∴S30=30×(-10)+×2=570.
答案D
方法技巧当已知前n项和的通项公式时,应联立解出首项和公差,然后求出其他相应的量.
命题点3 首项与前n项和类
例4(2018历城区校级一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a8=2am=24,a1=2,则S2m= .
解析∵数列{an}是等差数列,且a2+a8=2am=24,
∴m=5,a5=12.
∵a1=2,∴a5=2+4d=12,解得d=,
∴S2m=S10=10×2+×=.
答案
方法技巧利用等差数列的性质“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有am+an=ap+aq”可以有效地简化计算,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.
分类透析三 等差数列的实际应用
例5(2018合肥二模)中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:
“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是( ).
A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤
解析由题意可知,此数列为等差数列,以第8个儿子分到的绵的斤数为首项,则公差d=-17,n=8,S8=996,
∴8a1+×(-17)=996,
解得a1=184.
答案B
方法技巧对于数列的实际应用题,首先应该审清题意,弄清楚考查的是等差数列还是等比数列,然后根据题意得出首项,公差(公比),前n项和等相关信息,进而求出结果.
1.(2018年全国Ⅰ卷,理4改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2=-2013,S2017=2017,则S2018= .
解析由a2=-2013,S2017=2017,
得a2=a1+d=-2013,S2017=2017a1+d=2017,
解得a1=-2015,d=2,
∴a2018=a1+2017d=2019,
∴S2018=S2017+a2018=2019+2017=4036.
答案4036
2.(2018年北京卷,理9改编)设{an}是等差数列,且a3+a5=42,a4+a2=30,则{an}的通项公式为 .
解析∵{an}是等差数列,且a3+a5=42,a4+a2=30,
∴a4=21,a3=15,解得a1=3,d=6,
∴an=a1+(n-1)d=3+(n-1)×6=6n-3.
∴{an}的通项公式为an=6n-3.
答案an=6n-3
3.(2017年全国Ⅰ卷,理4改编)已知在等差数列{an}中,a4=-5,前5项和S5=-15,则数列{an}的公差为( ).
A.-3B.-C.-2D.-1
解析设等差数列{an}的公差为d,
在等差数列{an}中,a4=-5,S5==5a3=-15,即a3=-3,
故d=a4-a3=-5-(-3)=-2.
答案C
4.(2017年全国Ⅱ卷,理15改编)等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2=3,则= .
解析由等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2=3,
易得数列{an}的首项为1,公差为1,
所以Sn=,==2,
则=2
=2=.
答案
1.(2018兴安盟一模)在等差数列{an}中,an>0,++2a1a7=4,则它的前7项之和等于( ).
A.B.5C.D.7
解析∵在等差数列{an}中,an>0,++2a1a7=4,
∴(a1+a7)2=4,∴a1+a7=2,
∴S7=(a1+a7)=×2=7.
答案D
2.(2018岳麓区校级二模)设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意的n∈N*,都有=,则的值为( ).
A.B.C.D.
解析由等差数列的性质和求和公式可得====.
答案B
3.(2018上城区校级模拟)各项都是正数的等比数列{an}中,a2,a3,a1成等差数列,则的值是( ).
A.B.
C.D.或
解析设{an}的公比为q(q>0),
由a3=a2+a1,得q2-q-1=0,
解得q=,
∴==.
答案A
4.(2018兴庆区校级二模)等差数列{an}的前11项和S11=88,则a3+a9=( ).
A.32B.24C.16D.8
解析∵等差数列{an}的前11项和S11=88,
∴S11==88,
∴a1+a11=16,
根据等差数列的性质可得a3+a9=a1+a11=16.
答案C
5.(2018湖北模拟)在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=110,记Sn为数列{an}的前n项和,则S15的值为( ).
A.300B.330C.350D.360
解析在等差数列{an}中,由a4+a6+a8+a10+a12=110,得5a8=110,即a8=22.
∴S15==15a8=15×22=330.
答案B
6.(2018广州一模)等差数列{an}的各项均不为零,其前n项和为Sn,若=an+2+an,则S2n+1=( ).
A.4n+2B.4nC.2n+1D.2n
解析在等差数列{an}中,
由=an+2+an,得=2an+1.
∵等差数列{an}的各项均不为零,
∴an+1=2,则S2n+1==(2n+1)an+1=4n+2.
答案A
7.(2018祁阳县二模)在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若a3+a4+a8=25,则S9=( ).
A.60B.75C.90D.105
解析设等差数列{an}的公差为d,∵a3+a4+a8=25,
∴3a1+12d=25,∴a5=a1+4d=,
∴S9=(a1+a9)=9a5=9×=75.
答案B
8.(2018咸阳二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4,a10是方程x2-8x+1=0的两个根,则S13=( ).
A.58B.54C.56D.52
解析∵a4,a10是方程x2-8x+1=0的两个根,
∴a4+a10=8.又a4+a10=2a7,∴a7=4,
∴S13=(a1+a13)=13a7=52.
答案D
9.(2018中山市一模)在等差数列{an}中,a3+a6+a9=54,设数列{an}的前n项和为Sn,则S11=( ).
A.18B.99C.198D.297
解析在等差数列{an}中,由a3+a6+a9=54,得3a6=54,即a6=18,
所以a1+a11=2a6=36,
则S11===198.
答案C
10.(2018门头沟区一模)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,公差d<0,且S7=S11,若a9=6,则a10=( ).
A.0B.-6C.12D.6
解析∵在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,公差d<0,且S7=S11,a9=6,
∴
解得
∴a10=102-12×9=-6.
答案B
11.(2018石家庄二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=6,S15=15,则公差d= .
解析∵a6=6,S15=15,
∴a1+5d=6,15a1+d=15,
∴d=-.
答案-
12.(2018河南一模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,若{an}和{}都是等差数列,且公差相等,则a2= .
解析∵{an}和{}都是等差数列,且公差d相等,
∴=+(n-1)d,即Sn=[dn+(-d)]2=d2n2+2d(-d)n+(-d)2.
又∵Sn=na1+d=n2+n,
∴
解得或(舍去).
∴a2=.
答案
13.(2016海淀区期末)已知数列{an}满足an+1-an=2,n∈N*,且a3=3,则a1= ,其前n项和Sn= .
解析∵数列{an}满足an+1-an=2,n∈N*,且a3=3,
∴数列{an}是公差为2的等差数列,
∴a3=a1+2d=a1+4=3,
解得a1=-1,
∴Sn=na1+d=-n+×2=n2-2n.
答案-1 n2-2n
14.(2018大荔县模拟)设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意正整数n都有=,则+的值为 .
解析∵等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,
且对任意正整数n都有=,
∴+=+=
==
===.
答案
15.(2018北京模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S25>0,S26<0,则数列,,…,的最大项是第 项.
解析在等差数列{an}中,
由S25>0,S26<0,得
∴
∴数列{an}是递减数列,且前13项大于0,从第14项起小于0,
∴a1>a2>…>a13>0,从而0 0<<<…<. 又∵当14≤n≤25,n∈N*时,an<0,Sn>0,即<0, ∴数列,,…,的最大项是第13项. 答案13 精美句子 1、善思则能“从无字句处读书”。 读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;读太阳,读出了它普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。 读大海,读出了它气势磅礴的豪情。 读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂;幸福是“春种一粒粟,秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与析”的愉悦。 幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;幸福是“夜来风雨声,花落知多少”的恬淡。 幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。 幸福是“壮志
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