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在过去数十年里,有限元分析方法已经成为工程实践中广泛应用的分析工具.近年来在成熟的有限元分析技术之基础上,结构拓扑优化已经成功应用到各领域的结构设计中,包括飞行器、机械和土木结构设计.利用现代计算机的计算能力,结构拓扑优化能根据不同的目标函数和约束条件产生最优的结构拓扑和外形.作为一个有效的计算机辅助设计工具,拓扑优化能显著提高结构效率而且能缩短设计周期.
渐进结构优化法(evolutionarystructuraloptimization,ESO)及双向渐进结构优化法(BESO)是目前最常用的连续体拓扑优化方法之一.ESO最早由谢亿民和Steven[1-2]提出,这个方法基于简单的算法,逐渐把结构中的低效材料删除,以使结构“进化”为最优形态.通过与现成的商用的有限元分析软件相连接,ESO方法可以很方便地解决各种静/动力学和结构稳定等优化问题.关于ESO方法的基本原理及其应用可以参考国际上第一本有关ESO专著[3].一个简单的ESO优化例子展示于图1,通过简单地逐渐删除图中重力作用下的悬挂物体内的低应力单元,此物体最终“进化”成一个如苹果或樱桃般的形态.
在其后提出的BESO方法[4-5]里,材料不但能被删除,还可以被添加到结构中最需要的部位.ESO以及BESO方法由于其简单而有效的算法,已经用于多个实际工程设计,其中包括在日本建成的Akutagwa河畔办公楼[6],以及正在建造中的卡塔尔国际会展中心[7](也可参见).近年来,黄晓东和谢亿民[8]提出了改进算法的BESO,使BESO能够得到网格无关及收敛的优化结果.另外,Huang和Xie[9]提出了基于SIMP材料模型[10]的软删单元的BESO算法,并从理论上证明了BESO方法的合理性.BESO的理论细节及其实际工程应用可以参考文献[11].本文目的在于介绍ESO和BESO方法的近期发展以及主要研究成果,并讨论目前学术界对ESO类方法的主要疑问.
2用于主要受拉和主要受压结构的ESO方法
有些材料只适用于受拉或者受压,例如,编织材料或者混凝土.针对以这些材料构成的结构可以使用ESO方法来进行主要受拉或者主要受拉结构的优化设计.
对于主要受拉结构的设计,最大受压应力的单元被逐渐删除以得到优化结果.衡量单元删除的应力可以使用最大受压主应力σe,即第一主应力或者三向主应力之和,如下式表示
以下我们考虑一个在重力作用下悬挂于两个铰支座的物体,如图2所示,以主应力之和为删除准则,逐渐删除最小主应力之和(受压主应力为负)的单元,这个悬挂物体慢慢进化成一个只受拉的悬链线结构.
相似地,主要受压的优化结构可以通过逐渐删除最大受拉应力的单元而得到.图3展示了位于巴塞罗那的SagradaFamilia教堂之PassionFa¸
cade的优化设计[12],该设计以石材为构造材料并受重力作用.该建筑物原始设计出于AntoniGaud´
ı之手,而使用ESO对主要受压结构优化原则来设计得出了与原作高度相似的结果(Gaud´
ı手稿见图3(c)).
3吸能结构的BESO优化设计
吸能结构主要应用于撞击可能引起严重后果的情况,如造成人员或者车辆的损伤[13-14].当结构处于撞击时,外部动能在很大程度上会被结构吸收并转化为结构的塑性变形.针对吸能结构的优化设计在汽车领域有其重要意义.
吸能结构的拓扑优化通常需要某些约束条件,如对最大变形或者力的限制.一个典型的例子是,为了保证车辆乘员有足够的安全空间,通常会设定一个最大许可撞击距离.此外,撞击力不能超过乘员承受极限.换句话说,吸能结构不能刚度太小,否则撞击距离会超过最大允许量;
也不能刚度太大,否则会破坏最大撞击力限制.为了得到最有效的吸能设计,我们可以最大化单元体积内总能量吸收并设定力和位移的上限.优化问题设定如下式所示
实际操作时可利用非线性有限元分析控制撞击点的位移从零增加到最大允许值,并考虑两种不同情况下的单位体积最大吸能,即最终变形时和整个变形过程中.关于吸能结构优化的细节可以参考文献[11,15].
图4展示一个碰撞BESO优化例子.一个刚性的物体碰撞一条两端固定的梁于其顶部中点,设定最大许可撞击力和距离分别为70N和20mm.梁材料为:
杨氏模量1GPa,泊松比0.3,屈服应力1MPa,塑性硬化模量0.1GPa.图4(b)和4(c)分别展示了在两种不同情况下最大吸能的最终优化结果.
4ESO类方法的合理性讨论
近年来,ESO类方法被广泛接受并应用到各种工程问题,但是同时,也引起了学术界对其合理性的质疑.Rozvany[16]在其评论文章中对这些质疑进行了集中讨论.这些质疑主要包括:
(1)ESO删除准则(如vonMises应力和单元应变能)与目标函数不存在合理性关系,从而认为ESO类方法不可能合理地得到优化解;
(2)ESO方法比导数型方法(gradient-type,如SIMP方法)低效并可能得到完全非优化解,导致最终可能需要从大量尝试中挑选最好的结果;
(3)ESO方法无法控制体积约束并得到优化解;
(4)ESO方法很难应用到带有其他约束条件的优化问题[17].黄晓东和谢亿民[18]对此做出了详细的回应.事实上,现在的BESO方法[11]以目标函数的导数为基础推导单元灵敏度,并根据单元灵敏度来指导单元的增减,以直接控制保留单元数来满足体积约束,通过单元的增减和保持体积分数来控制优化结果收敛,最终得到优化解.此外,黄晓东和谢亿民[19]提出了把非荷载点处位移和目标体积同时作为约束条件的BESO刚度优化方法,证明了BESO方法也可以应用于多种约束条件.
关于ESO类优化方法是否能得出优化解,Zhou和Rozvany[20]提出了一个用于检验的梁结构,如图5所示.这个例子引起了很多关于各种优化方法合理性的讨论.在这个例子中,由于竖直方向的力小于水平方向的力导致竖直支杆上单元应变能很小,使用硬删单元优化方法会删除此竖直支杆并无法恢复之.由此,Zhou和Rozvany得出结论,认为ESO和BESO等硬删单元的优化方法可能得到“非优化解”.
事实上,Norato等[21]的研究表明,即使是软删单元的优化方法如水平集(levelset)方法也可能得到类似ESO的结果.为此,黄晓东和谢亿民[18]对以上Zhou和Rozvany梁作出分析,使用不同方法对此梁作测试,所得到的各种优化解对比,如图6所示.SIMP方法被广泛认为是至少可以得到局部优化解的一种优化方法.但是当使用稍大的指数惩罚因子(p≥3.1),并在初始结构中不包含竖直支杆的情况下,SIMP方法也得出了跟BESO方法一样的解,如图6(a)与图6(b)所示.由此可以得出,ESO/BESO方法对Zhou和Rozvany梁得出的解并非“非优化解”,而是“低效局部优化解”.
事实上,这种低效局部优化解是由于惩罚因子过大而产生的.而硬删单元的BESO方法其实是软删单元BESO方法的一个特例,即把材料惩罚因子设定至趋向无限大.为此,我们先简要介绍软删单元的BESO方法[9].在这种方法中,“空”单元以软单元代替,并赋予低杨氏模量,单元的杨氏模量由以下SIMP材料模型决定
式中,E1为实体单元之杨氏模量,p为惩罚因子,设计变量xi为单元相对密度,即实体单元相对密度为1,而软单元相对密度设定为一个极小值xmin.由于单元灵敏度数为单元灵敏度之相对排序,单元灵敏度数(刚度优化)可以计算为
式中,C为结构平均柔度(meancompliance),ui为单元位移向量,Ki为单元刚度矩阵.综合以上,我们发现,当惩罚因子p设定为无限大时,软单元的杨氏模量和单元灵敏度均趋向于零,这时候软删单元和硬删单元是一致的.于是,由于惩罚因子设置过大,硬删单元的BESO方法对Zhou和Rozvany梁得出了低效局部优化解,就像SIMP方法一样.
黄晓东和谢亿民指出,为了避免这种低效局部优化解,可以在计算程序中检查结构边界条件的变化,如本例中竖直支杆的删除即引起结构边界改变,当这种情况发生时,可以中断优化进程,细分有限元网格并重新开始进行优化.例如,图6(c)所示,经过细分有限元网格后,BESO最终得出了保留竖直支杆的优化解.
5重复结构的优化设计
几何形状周期性重复的结构是日常生活中常见的一种结构形式.重复结构是以某单一模块为基础结构,线性地或旋转地复制该基础模块而产生的结构.该类结构广泛应用于建筑、机械以及航空工业中,如夹芯板、防撞网格和空间桁架等.重复结构主要优点在于,设计范围缩小(基础模块设计)以及施工方便(模块预制及现场拼装).
为了满足结构的重复性,在BESO优化设计中需要考虑各模块中相应单元的同步增减.基于此,我们引入重复性约束条件以同步设计变量状态,表示于下式
其中设计变量之第一下标为模块编号,第二下标为单元于模块内的内部编号.
引入以上约束条件进行单元灵敏度计算,最后得到单元灵敏度修正值为各模块内相同编号的单元灵敏度之平均值,如下式所示,其中m为结构中模块总数量,αij为不考虑重复性约束时的单元灵敏度
车轮是典型的旋转性重复结构,图7展示了使用BESO对二维车轮进行刚度优化的一个例子.此例以一个真实五辐条(即五模块)车轮作为初始设计,保持材料用量不变.作用在车轮上的荷载包括轮胎对轮框的压力,车辆的自重以及车辆刹车时引起对车轮的切向荷载.荷载经过转换和简化成为作用在轮框外周的分布荷载组合.图7中优化历史表明了轮框柔度的逐渐降低,途中得到与另外一个真实轮框相似的结构形式并继续优化,最终优化设计比初始设计减少58%的平均柔度.
此外,应用不同的模块数将得到其他不同的结果.如图8所示,在与图7例子相同的设计域上应用不同的模块数,BESO分别得出17模块以及与24模块的优化设计.通过与相应真实车轮(图8中17模块宝马车轮与24模块凯迪拉克车轮)的对比,读者可以发现,这些已经成熟应用于实际车辆上的车轮设计非常接近BESO得出的理论优化设计.关于重复结构优化的细节与车轮优化设计的细节可以参考文献[22-23].
6关于动力学问题的优化
对很多工程领域而言结构自振频率是一个很重要的问题,当结构自振频率接近外部动荷载频率时,引发的共振可能会对结构产生破坏性的影响.为了避免共振效应,结构自振频率可以通过频率优化(最大化或者最小化)来避免进入外部动态荷载频率范围.ESO用于结构自振频率优化问题最早由Xie和Steven[24]提出.2000年,Rong等[25]将ESO方法应用于有动力响应约束的拓扑优化问题中.
结构拓扑优化中广泛使用的固体各向同性惩罚微结构(solidisotropicmicrostructurewithpenalization,SIMP)[26]材料模型被证明并不适合频率优化问题[27],这是由于人为的局部振动模态在低密度区域的存在会干扰结构优化对目标模态的跟踪.所以,Huang等[28]提出了修正的SIMP材料模型,并结合软删单元的BESO方法应用于频率优化问题中.在这种材料模型中,由于软材料依然留有一定程度的刚度,结构分析时并不会出现人为的低频振动模态.修正的SIMP材料模型表达如下,其中ρ1和E1分别为实体单元的质量密度与杨氏模量
图9(a)为一个简支于底部四个角点的1m×
1m×
0.5m立方体结构,其中在底面中心有一个5000kg的集中质量.结构所用材料性质为:
杨氏模量200GPa,泊松比0.3,质量密度7800kg/m3.优化目标为最大化结构基频,目标体积为整个立方体的15%.最终优化结果展示于图9(b),基频为ω1=502.6rad/s.为了更好地展示最终结果的材料分布,有限元模型需要转化为CAD模型以进行后续设计,图9(c)展示了该结果经过表面光滑拟合后的CAD模型.
7多约束条件下的优化
实际工程设计中通常会考虑多种设计要求,在优化设计中,这些要求表现为约束条件,例如,最大材料用量、最大位移、最大应力和最小基频等等.与多目标优化为题不同,各目标函数和约束量并不能使用固定权重,而需要作为拉格朗日乘数经过计算决定.与通常解决单一体积约束的ESO/BESO方法不同,Zuo等[29]提出了基于多约束条件的BESO方法.
解决多约束条件优化问题的关键在于拉格朗日乘数的决定.由于BESO方法直接操作单元的增减,体积约束可以很便利的满足,其他的约束条件如位移和基频等则需要通过调整拉格朗日乘数来满足.在BESO方法中,拉格朗日乘数作为额外的设计变量,根据约束量与限制值之间的差距通过逐渐逼近的方式来决定.关于多约束条件的BESO方法,可以参考文献[19,29].
图10展示了一个钢混多层结构的加固设计实例.初始设计如图10(a)所示,为一个框架剪力墙结构,在两短边设置了对称的短肢剪力墙,结构平面布置了六条空心钢柱和两个钢混电梯筒,楼板与屋顶为钢筋混凝土预制板.为了方便优化结果与初始设计的对比,剪力墙假设以钢构造.这个优化实例包括了作用于楼板与楼顶的各种定/活荷载和作用于长边表面上的风荷载,考虑结构于短边方向的变形并优化剪力墙的设置.
很多结构规范规定了多/高层建筑在风荷载下的位移限制,本例取结构高度的500分之一,即68mm作为楼顶许可位移.另外,细长结构的基频因通常较低容易产生于外部激励下的共振,所以本例对最小许可基频也作了设定(12rad/s).优化目标为提高结构的整体刚度并保持材料用量不变.图10(b)展示了最终优化结果.经过优化后,剪力墙演化成斜支撑系统,并随之带来明显的结构性能提高:
结构平均柔度减少70.5%,屋顶位移(67.94mm)与基频(12.01rad/s)均满足约束.
8材料微结构的优化设计
多孔材料是轻量高效的材料,在物理、力学、热力学等方面具有显著优于普通材料的特性.多孔材料的性能取决于该材料微结构里面固体和孔洞的分布.多孔材料广泛存在于自然界并被人们模仿来制造人工材料,例如,蜂窝材料和金属泡沫.多孔材料的特性可以通过拓扑优化的手段,以材料的性能如体积模量等为目标或者约束条件对材料进行优化设计.材料优化设计的方法一般基于反向均匀化(inversehomogenization)[30]的概念,对材料的周期性单胞微结构进行优化.
ESO和BESO方法已经被应用到多个问题的宏观结构优化,文献[31]作者首次将BESO方法用于周期性多胞材料的微结构优化设计.由于微结构拓扑存在多个优化解而且优化结果取决于优化所用的参数和方法[30,32],将BESO应用于材料优化的积极意义之一是使用新算法以寻求更广泛的可能优化解.
图11为一个三维材料单胞微结构优化设计的例子.优化目标为最大化该材料的体积模量和剪切模量,并以目标体积为约束条件.优化建立在一个划分为26×
26×
26个8节点单元的三维单胞上.图11(a)为最大化体积模量的优化解,其目标体积为该单胞的30%,从左至右依次为单胞微结构及2×
2×
2的单胞组合.图11(b)为最大化剪切模量的优化解,其目标体积为该单胞的10%,从左至右依次为单胞微结构及2×
2的单胞组合.
9结构拓扑优化的软件实现
成熟的结构拓扑优化方法对于工程结构设计有重大现实意义,在结构概念设计阶段,拓扑优化即能得出有效的初步结构设计.对建筑设计而言,拓扑优化能指导建筑师有效的作出合理而创新的设计方案.然而,即使在理论上已经成熟,现阶段的拓扑优化技术依然未能成为广泛使用的结构使用工具.原因之一在于拓扑优化计算机软件对使用者的要求较高,在很多情况下,使用者需要掌握一定的专业知识以操作复杂的软件界面,如专业的有限元分析界面.这在一定程度上阻碍了拓扑优化在结构设计尤其是建筑设计中的广泛应用.以建筑设计为例,一个对建筑师友好(architectfriendly)的软件界面无疑会提高拓扑优化在建筑设计中的使用效率.
基于此,左志豪和射亿民等[33]的研究组作了一个创新的实践性尝试,即开发依附于常用结构建模界面(如广泛使用的Rhinoceros3D)的拓扑优化软件,命名为BESO3D的计算机程序.BESO3D内嵌独立的有限元分析和拓扑优化引擎,通过Rhinoceros第三方插件,BESO3D可以跟Rhinoceros进行数据交换.软件使用者可以利用Rhinoceros强大的建模功能建立复杂的结构原形,并通过插件调用BESO3D进行对结构的拓扑优化.当优化进程结束后,优化结果可以通过此插件再次调入Rhinoceros环境进行进一步的处理,例如,表面光滑拟合与着色上光等.
图12展示了一个基于Rhinoceros界面的BESO3D优化算例.被优化的为一桥状结构,上表面设置均布荷载,两个固定支座设置于下表面中轴线上.基于结构对称性,对该结构的四分之一模型进行优化,并在上表面设置非设计层以承受均布荷载.该结构的设计区域以及边界条件如图12(a)所示.算例以设计区域的15%作为目标体积,并在此约束条件下对该结构进行总体刚度优化设计.最终优化结果在Rhinoceros中进行了全结构拼合以及表面光滑处理后,如图12(b)所示.
这种依附于现有建模界面的结构优化软件模式的关键在于,建筑师并不需要重新学习一个新软件的操作以及不需要掌握复杂的专业知识,而只需要专注于其熟悉的建模界面.由此结构拓扑优化技术可以有效而轻易的应用到实际结构设计中.关于BESO3D引擎,Rhinoceros插件及更多结构优化计算机程序(如连接于ABAQUS的BESO3D版本)的信息可以访问http:
//isg.rmit.edu.au.
10结束语
本文介绍了渐进结构优化法(ESO)和双向渐进结构优化法(BESO)近期的主要进展,包括受拉与受压结构的优化、吸能结构的优化、BESO方法的合理性讨论、重复结构的优化、动力学问题的结构优化、多约束条件下的结构优化以及拓扑优化的软件实现.在成熟算法的基础上,本文展示了ESO/BESO方法解决工程结构优化问题的能力,并通过实践与Rhinoceros建模环境的软件整合,揭示了BESO通过成熟友好的用户界面而广泛应用于日常实际工程设计的前景.有关本文作者的研究以及软件的详细信息,可以访问网站http:
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