第24章圆导学案.docx
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第24章圆导学案
24.1.1圆第1课时
主备人:
姜继雷审核人:
审核时间:
一、【自主学习】
1.理解圆的定义:
(阅读教材P78图24.1-2和图24.1-3,并自己动手画圆,独立完成后,
小组讨论,完成下列填空)
1.圆的运动定义:
把线段OP的一个端点O,使线段OP绕着点O在旋转,另一端点P运动所形成的图形叫做圆,其中点O叫做,线段OP叫做.以O为圆心的圆记作.
2.圆的集合定义:
圆是到的点的集合.
3.与圆有关的概念
①弦:
连结圆上任意两点的叫做弦.
②直径:
经过的弦叫做直径.
③弧:
,弧分为:
半圆(所对的弧叫做半圆)、劣弧(小于的弧)和优弧(大于的弧).
④同心圆:
相同,不相等的两个圆叫做同心圆.
⑤等圆:
能够互相的两个圆叫做等圆.
⑥等弧:
在或中,能够互相的弧叫做等弧.
2.同圆或等圆的性质:
在同圆或等圆中,它们的相等.
同圆或等圆的半径有什么性质?
二、【课堂合作探究】
1、到定点O的距离为2cm的点的集合是以为圆心为半径的圆.
2、已知⊙O中最长的弦为16cm,则⊙O的半径为________cm.
3、过圆内一点可以作出圆的最长弦_____条.
4、下列语句中,不正确的个数是()
①直径是弦;②弧是半圆;③长度相等的弧是等弧;④经过圆内任一定点可以作无数条直径.
A.1个B.2个C.3个D.4个
5、下列语句中,不正确的是()
A.圆既是中心对称图形,又是旋转对称图形
B.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
C.当圆绕它的圆心旋转89°57′时,不会与原来的圆重合
D.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个
6、等于
圆周的弧叫做()
A.劣弧B.半圆C.优弧D.圆
7、如图,⊙O中,点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上,图中弦的条数有()
A.2条B.3条C.4条D.5条
8、以已知点O为圆心,已知线段a为半径作圆,可以作()
A.1个B.2个C.3个D.无数个
三、【课外拓展】
如图,在⊙O中,半径OC与直径AB垂直,OE=OF,则BE与CF的关系如何?
并说明理由。
24.1.2垂直于弦的直径第1课时
一、自主学习
(一)复习巩固判断:
1、直径是弦,弦是直径。
()
2、半圆是弧,弧是半圆。
()
3、周长相等的两个圆是等圆。
()4、长度相等的两条弧是等弧。
()
5、同一条弦所对的两条弧是等弧。
()6、在同圆中,优弧一定比劣弧长。
()
(二)自主探究请同学按下面要求完成下题:
如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
(1)如图是轴对称图形吗?
如果是,其对称轴是什么?
圆是对称图形,其对称轴是任意一条过的直线.
(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?
为什么?
相等的线段:
相等的弧:
这样,我们就得到垂径定理:
垂直于的直径平分弦,并且平分弦所对的两条.
符号表式:
进一步,我们还可以得到结论:
平分弦()的直径垂直于,并且平分弦所对的两条.
表达式:
(三)、归纳总结:
1.圆是图形,任何一条所在直线都是它的对称轴.
2.垂径定理
推论.
活动2:
垂径定理的应用
如图3,已知在中⊙O,弦
的长为8
,圆心
到
的距离(弦心距)为3
,求⊙O的半径.(分析:
可连结
,作
于
解:
(2)如图4,根据垂径定理和勾股定理,“半弦、半径、弦到圆心距”构成直三角形,则
的关系为,知道其中任意两个量,可求出第三个量.
归纳:
(1)辅助线的常用作法:
连半径,过圆心向弦作垂线段。
三、【课堂展示质疑与小结】
1、下列各图,能否得到AE=BE的结论?
为什么?
2、如图,在⊙
中,⊙
的半径的半径是5
圆心
到
的距离为3
.求弦AB的长。
3.已知⊙O的半径为5,弦AB=8,P是弦AB上任意一点,则OP的取值范围是_______.
4.如图2,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,若∠COD=120°,OE=3厘米,则CD=___cm.
5.如图3,AB是半圆的直径,O是圆心,C是半圆上一点,E是弧AC的中点,OE交弦AC于D,若AC=8cm,DE=2cm,则OD的长为________cm.
6.⊙O的直径是50cm,弦AB∥CD,且AB=40cm,CD=48cm,则AB与CD之间的距离为_______.
五、【课外拓展】
P为⊙O内一点,OP=3cm,⊙O半径为5cm,则经过P点的最短弦长为____;最长弦长为___
24.1.2垂直于弦的直径第2课时
一、课前准备:
垂经定理内容:
1、⊙O的半径是5,P是圆内一点,且OP=3,过点P最短弦的长是、最长弦的长为.
2、已知在⊙O中,弦AB的长为8厘米,圆心O到AB的距离(弦心距)为3厘米,则⊙O的半径为。
3、已知在⊙O中,弦AB长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.
4、如图,在⊙O中,CD为弦,EC⊥CD,FD⊥CD,EC、FD分别交直径AB于E、F两点,求证:
AE=BF。
二、合作探究
1、如图①,AB为⊙O的直径,E是
中点,OE交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC=_____.
2、如图②,OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距,如果OE=OF,那么_______(只需写一个正确的结论)
①②③
3、如图③,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长.
4、已知:
如图,线段AB与⊙O交于C、D两点,且OA=OB.求证:
AC=BD.
5、AB是⊙O的直径,AC、AD是⊙O的两弦,已知AB=16,AC=8,AD=8,求∠DAC的度数.
弧、弦、圆心角
一、自主学习
(一)复习巩固
(1)圆是轴图形,任何一条所在直线都是它的对称轴.
(2)垂径定理
推论.
(二)自主探究
如图所示,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做.
请同学们按下列要求作图并回答问题:
如图所示的⊙O中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆旋转到∠A′OB′的位置,你能发现哪些等量关系?
为什么?
相等的弦:
;相等的弧:
结论:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的相等,所对的弦也.
符号表示:
同样,还可以得到:
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的相等,所对的弦也.
符号表示:
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角,所对的也相等.
符号表示:
注:
同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也。
新|课|标|第|一|网
(三)、归纳总结:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的相等,所对的弦也.
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的相等,所对的弦也.
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角,所对的也相等.
二、【课堂合作探究】
1、如图,AB,CD是⊙O的两条弦。
⌒
⌒
(1)如果AB=CD,那么,
(2)如果AB=CD,那么,
(3)如果∠AOB=∠COD,那么,
(4)如果AB=CD,OE⊥AB于点E,OF⊥CD于点F,OE与OF相等吗?
为什么
2、如图,在⊙O中,AB=AC∠ACB=60°,求证:
∠AOB=∠BOC=∠AOC
3、如图,AB是⊙O的直径,
=
=
,∠COD=35°,求∠AOE的度数。
三、【课后练习】
1、如图所示,CD为⊙O的弦,在CD上截取CE=DF,连结OE、OF,并且它们的延长交⊙O于点A、B。
(1)试判断△OEF的形状,并说明理由;
(2)求证:
=
。
2、已知如图,AB是⊙O的直径,M.N是AO.BO的中点。
CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于C.D点。
求证:
=
。
24.1.4圆周角
一、【自主学习】
(一)圆周角的概念
如果顶点不在圆心而在圆上,则得到如左图的新的角∠ACB,它就是圆周角.(如右图)
定义:
归纳:
一个角是圆周角的条件:
①顶点;②两边都和圆
(二)圆周角的定理
问题:
1、圆周角的度数与什么有关系?
2、圆心与圆周角有几种不同位置关系?
(1)当圆心在圆周角的一边上时,圆周角与相应的圆心角的关系:
(演示图形)观察得知圆心在圆周角上时,圆周角是圆心角的一半.
(2)其它情况,圆周角与相应圆心角的关系:
当圆心在圆周角外部时(或在圆周角内部时)
归纳:
可以发现同弧所对的圆周角,并且它的度数恰好等于这条弧所对等于它所对圆心角的.
三、【课堂合作探究】
1、判断下列各图形中的是不是圆周角,并说明理由.
2、一条弧所对的圆周角有无数多个,而这条弧所对的圆周角的度数只有一个,但一条弦所对的圆周角的度数有两个.讨论交流为什么?
3、如图,△ABC的3个顶点都在⊙O上,∠ACB=40°,则∠AOB=__,∠OAB=_____。
4、如图,点A、B、C、D在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角,在这8个角中,有几对相等的角?
请把它们分别表示
5、如图,AB是⊙O的直径,∠BOC=120°,CD⊥AB,则∠ABD=___________。
6、如图,△ABC的3个顶点都在⊙O上,∠BAC的平分线交BC于点D,交⊙O于点E,则图中相等的圆周角有______________________。
四、【课外拓展】
如图,已知AB=AC,∠APC=60°,
(1)求证:
△ABC是等边三角形;
(2)若BC=4cm,求⊙O的面积.
24.1.4圆周角
(2)
一、【复习回顾】
1、圆周角定义:
_________________________________。
2、圆周角定理:
_________________________________。
3、如图,点A、B、C、D在⊙O上,若∠BAC=40°,
则
(1)∠BOC=°,理由是;
(2)∠BDC=°,理由是。
二、【自主学习】
1、如图,点A、B、C在⊙O上,
若BC是⊙O的直径,它所对的圆周角∠BAC是多少?
为什么?
若∠BAC=90°,弦BC经过圆心吗?
为什么?
由此,你能得出的结论是:
__________________________。
2.阅读教材p87最后一段:
如果一个多边形的顶点都在圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做这个.
如图1,四边形
是⊙O的,⊙O是四边形
的.
2.圆内接四边形的对角之间有什么性质呢?
请你量一量图1中的两对对角,看看有什么规律?
规律:
圆内接四边形的对角
如图:
符号表示:
三、【课堂探究】
2.在⊙O中,若圆心角∠AOB=100°,C是弧AB上一点,则∠ACB等于().
A.80°B.100°C.130°D.140
3.如图3,
是⊙O的直径,
则∠D等于()
A.
B.
C.
D.
4.如图4,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=138°,则它的一个外角∠DCE等于().
A.69°B.42°C.48°D.38°
5、如图,⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD、BD的长.
四【课后练习】
1、OA、OB、OC都是⊙O的半径,∠AOB=2∠BOC。
求证:
∠ACB=2∠BAC。
2、如图,在⊙O中,∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A。
24.2.1点与圆的位置关系
一、【自主学习,基础过关】
(一)知识回顾,温故知新
1、圆的定义是
2、什么是两点间的距离:
(二)自学自悟,自主检测
⒈圆上所有的点到圆心的距离都等于.
⒉确定圆需要两个基本条件,一个是______,另一个是_____,其中,____确定圆的位置,______确定圆的大小.
3.点确定一条直线.
二、【合作探究,释疑解惑】
1.1.阅读教材p92,思考:
(1)平面上的一个圆把平面上的点分成部分,即点在圆、点在圆、点在圆.
(2)各部分的点与圆有什么共同特征?
自己画图验证一下,看看能得到什么规律?
2.点和圆的位置关系:
平面内,设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d,
则有三种位置关系:
(1)点P在⊙O外
______;
(2)点P在⊙O上
______;
(3)点P在⊙O内
______.
完成检测反馈1、2题
3、阅读教材p93“探究”内容,
思考:
(1)、平面上有一点A,经过已知A点的圆有几个?
圆心在哪里?
(2)、平面上有两点A、B,经过已知点A、B的圆有几个?
它们的圆心分布有什么特点?
(3)、平面上有三点A、B、C,经过A、B、C三点的圆有几个?
圆心在哪里?
结论:
_____
4、自学P94有关概念
有关概念:
(1)三角形的外接圆:
(2)三角形的外心:
思考:
1、三角形的外心是什么的交点?
2、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离。
【课堂合作探究】
1.若⊙A的半径为5,点A的坐标为(3,4),点P的坐标为(5,8),则点P的位置为()
A.在⊙A内B.在⊙A上
C.在⊙A外D.不确定
2.⊙O的半径为3
,点O到点P的距离为
则点P()
A.在⊙O外B.在⊙O内C.在⊙O上D.不能确定
3、判断下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆().
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形()
(3)经过三点一定可以确定一个圆()
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等()
4.下列说法正确的是()
A.三点确定一个圆B.任意的一个三角形一定有一个外接圆
C.三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点
D.任意一个圆有且只有一个内接三角形
5、已知⊙O的半径为4,OP=3.4,则P在⊙O的。
6、已知点P在⊙O的外部,OP=5,那么⊙O的半径r满足。
7、已知⊙O的半径为5,M为ON的中点,当OM=3时,N点与⊙O的位置关系是N在⊙O的。
【课后练习】
1、正方形ABCD的边长为2cm,以A为圆心2cm为半径作⊙A,则点B在⊙A;点C在⊙A;点D在⊙A。
2、在
中,
,外心
到
的距离为
,则
外接圆的半径为.
3、如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=12,求△ABC的外接圆半径。
4、如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,AD与三角形的外接圆交于点D,连接BD,求证:
DB=DC.
24.2.2直线与圆有关的位置关系
一、【复习回顾】
(一)知识回顾,温故知新(小组讨论完成)
回答问题:
如果设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为d,你用d与r之间的数量关系表示点P与⊙O的位置关系。
(二)自学自悟,自主检测
1、已知⊙P的半径为3,点Q在⊙P外,点R在⊙P上,点H在⊙P内,则PQ__3,PR____3,PH_____3
二、【自主学习】
(一)阅读教材自学教材P93---P942思考下列问题:
1、操作:
请你画一个圆,上、下移动直尺。
思考:
在移动过程中它们的位置关系发生了怎样的变化?
讨论:
①通过上述操作说出直线与圆有几种位置关系
②直线与圆的公共点个数有何变化?
2、完成基本概念:
(1)、直线和圆有公共点时,直线和圆相交,直线叫做圆的。
(2)、直线和圆有公共点时,直线和圆相切,直线叫做圆的;这个点叫做
(3)、直线和圆有公共点时,直线和圆相离。
(二)思考:
如何判断直线与圆的位置关系?
3、探索:
若⊙O半径为r,O到直线l的距离为d,则d与r的数量关系和直线与圆的位置关系:
①直线与圆dr,
②直线与圆dr,新课标第一网
③直线与圆dr。
(三)、归纳总结:
新课标第一网
1、直线与圆有___种位置关系,分别是、、。
2、若⊙O半径为r,O到直线l的距离为d,则d与r的数量关系和直线与圆的
位置关系:
①直线与圆dr,
②直线与圆dr,③直线与圆dr。
三、【课堂探究】
1、设⊙O的半径为r,直线l到圆心O的距离为d,则有:
直线l和⊙O相交
;
直线l和⊙O相切
;直线l和⊙O相离
。
2、在Rt△ABC中,∠C=900,AC=3cm,AB=6cm,以点C为圆心,与AB边相切的圆的半径为。
3、已知⊙O的半径r=3cm,直线l和⊙O有公共点,则圆心O到直线l的距离d的取值范围是。
4、已知⊙O的半径是6,点O到直线a的距离是5,则直线a与⊙O的位置关系是。
5、圆O的直径4,圆心O到直线L的距离为3,则直线L与圆O的位置关系是()
(A)相离(B)相切(C)相交(D)相切或相交
6、直线
上的一点到圆心O的距离等于⊙O的半径,则直线
与⊙O的位置关系是()
(A)相切(B)相交(C)相离(D)相切或相交
四、【课后练习】
1、直角三角形ABC中,∠C=900,AB=10,AC=6,以C为圆心作圆C,与AB相切,则圆C的半径为( )
(A)8 (B)4 (C)9.6(D)4.8
2、在直角三角形ABC中,角C=900,AC=6厘米,BC=8厘米,以C为圆心,为r半径作圆,当(1)r=2厘米 ,圆C与AB位置关系是,
(2)r=4.8厘米 ,圆C与AB位置关系是,
(3)r=5厘米 ,圆C与AB位置关系是。
3、已知圆O的直径是10厘米,点O到直线L的距离为d.
(1)若L与圆O相切,则d=_________厘米
(2)若d=4厘米,则L与圆O的位置关系是_________________
(3)若d=6厘米,则L与圆O有___________个公共点.
4、在RtΔABC中,∠C=90º,AC=4cm,BC=3cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关系?
为什么?
切线的判定定理、性质
【自主学习,基础过关】
知识回顾,温故知新(小组讨论完成)
1、点和圆的位置关系.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,
则有:
2、直线和圆的位置关系:
设⊙O的半径为r,直线L到圆心O的距离为d,则有
【合作探究,释疑解惑】
(一)、探索直线与圆相切的另一个判定方法
如右图,⊙O中,直线l经过半径OA的外端,点A作且直线l⊥OA,
你能判断直线l与⊙O的位置关系吗?
你能说明理由吗?
理由:
结论:
__________________________________________
总结:
切线判定定理:
定理的符号语言:
(二)、思考探索;如图,直线l与⊙O相切于点A,OA是过切点的半径,直线l与半径OA是否一定垂直?
你能说明理由吗?
切线的性质定理:
定理的符号语言:
(三)、归纳总结:
1、判断直线与圆相切有哪些方法?
2、直线与圆相切有哪些性质?
【课堂检测】
活动:
新知应用
例1直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,
求证:
直线AB是⊙O的切线。
2、如图,点D是∠AOB的平分线OC上任意一点,过D作DE⊥OB于E,以DE为半径作⊙D,判断⊙D与OA的位置关系,并证明你的结论
四、【展示质疑与小结】
证明切线的方法:
1、已知直线与圆公共点明确:
作半径,证垂直.
2、直线与圆的公共点没有确定,作垂直,证半径.
五、【能力检测】
1、如图:
在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC交于点D,过D作DF⊥BC,交AB的延长线于E,垂足为F。
求证:
直线DE是⊙O的切线
2、如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,∠CAD=∠ABC,判断直线AD与⊙O的位置关系,并说明理由。
直和圆位置关系学案(3)
一、自主学习
(一)复习巩固
1、三角形的外心:
2、角平分线的性质定理:
3、切线的判定定理:
4、切线的性质定理:
(二)自主探究
1、按探究要求,请同学们动手操作,思考24.2—12中,OB是⊙O的一条半径吗?
PB是⊙O的切线吗?
利用图形的轴对称性,说明圆中的PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系?
2、什么叫切线长?
注意:
切线和切线长是两个不同的概念,切线是,不能度量;切线长是的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量。
3、切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条,它们的切线长,这一点和圆心的连线两条切线的.
4、常用辅助线
已知PA,PB切⊙O于A,B。
(1)
(2) (4) (3)
图
(1)中,有什么结论?
图
(2)中,连结AB,增加了什么结论?
图(3)中,再连结OP,增加了什么结论?
图(4)中,再连结OA,OB。
又增加了什么结论?
5、和三角形的各边都相切的圆
与三角形各边都的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条的交点,叫做三角形的内心。
注意:
“接”与“切”是说明三角形顶点和边与圆的关系,顶点都在圆上的叫做“接”,各边都与圆相切的叫做“切”。
(三)、归纳总结:
1、圆的切线长概念
2、切线长定理
3、三角形的内切圆及内心的概念
(四)课堂探究:
1、如图,PA、PB分别切圆O于A、B,并与圆O的切线,分别相交于C、D,已知PA=7cm,则△PCD的周长等于_________.
2、如图,PA、PB分别切圆O于A、B两点,C为劣弧AB上一点,∠APB=30°,则
∠AOB=_________.
3、Rt在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则△ABC的内切圆的半径r=_________.
4、如图4,圆O内切Rt△ABC,切点分别是D、E、F,则四边形OECF是_______.
5、如图,已知⊙O是△ABC的内切圆,切点为D、E、F,如果AB=2,BC=3,AC=1,且△ABC的面积为6.求内切圆的半径r.(提示:
内心为O,连接OA,OB,OC)
6、如图,△ABC中,∠A=α°,O是△ABC的内心。
求证:
圆和圆位置关系学案
一、自主学习
(一)复习巩固
1.直线和圆有几种位置关系?
各是怎样定义的?
(设圆心到直线的距离为d,半径为r)
2.平面内点和圆的关系有多少种呢?
(设圆心与点的距离为d,半径为r)
(二)自主探究
1、古
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