初二数学下多边形提高知识讲解+巩固练习文档格式.docx
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知识点二、多边形内角和定理
n边形的内角和为(n-2)·
180°
(n≥3).
(1)内角和定理的应用:
①已知多边形的边数,求其内角和;
②已知多边形内角和求其边数;
(2)正多边形的每个内角都相等,都等于
知识点三、多边形的外角和
多边形的外角和为360°
.
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做多边形的外角和.n边形的外角和恒等于360°
,它与边数的多少无关;
(2)正n边形的每个内角都相等,所以它的每个外角都相等,都等于
(3)多边形的外角和为360°
的作用是:
①已知各相等外角度数求多边形边数;
②已知多边形边数求各相等外角的度数.
【典型例题】
类型一、多边形的概念
1.(春•定陶县期末)观察下面图形,解答下列问题:
(1)观察规律,把下表填写完整:
(2)若一个多边形的内角和为1440°
,求这个多边形的边数和对角线的条数.
【思路点拨】
(1)过n边形的一个顶点可画出(n﹣3)条对角线,那么过n个顶点可以画出n(n﹣3)条对角线,根据两点确定一条直线,再把所得结果除以2即可求得多边形的对角线的总条数;
(2)根据内角和公式可得多边形的边数,把边数代入
(1)得到的公式即可求得相应的对角线条数.
【答案与解析】
解:
(1)9,14,
.
(2)设多边形的边数为n.
则(n﹣2)×
180=1440,
解得n=10.
∴对角线的条数为:
=35(条).
【总结升华】主要考查三角形的内角和公式及n边形对角线的条数的规律.根据一个顶点处的对角线条数得到n边形对角线的条数的相应规律是解决本题的难点.
举一反三:
【变式1】如图,四边形ABCD中,∠B=40°
,沿直线MN剪去∠B,则所得五边形AEFCD中,∠1+∠2=。
【答案】220°
【变式2】
(秋•黄陂区校级期中)
(1)如图,延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到5个角,∠B1,∠B2,∠B3,∠B4,∠B5,求∠B1+∠B2+∠B3+∠B4+∠B5的度数;
(2)若延长凸n边形A1A2…An的各边得n个角,则得到n个角的和等于 .
【答案】解:
(1)如图,
∵∠1=∠B2+∠B4,∠2=∠B1+∠B3,
∵∠1+∠2+∠B5=180°
,
∴∠B1+∠B2+∠B3+∠B4+∠B5=180°
(2)若延长凸n边形A1A2…An的各边得n个角,
则得到n个角的和=(n﹣2)•180°
﹣n•180°
+(n﹣2)•180°
=(n﹣4)•180°
故答案为(n﹣4)•180°
类型二、多边形内角和定理
2.如图所示,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
【思路点拨】由于∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的度数都不能直接求出.因此求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的结果只能实施整体求值.
连接DE,用对顶三角形的性质,可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE,
所以∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠BEF+∠F
=∠BED+∠ADE+∠C+∠ADC+∠BEF+∠F
=∠C+∠EDC+∠FED+∠F.
因为四边形CDEF的内角和为360°
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°
【总结升华】如图所示为对顶三角形.利用∠A+∠B=∠C+∠D“转移”角.
【高清课堂:
多边形及其内角和例5
(2)(3)】
【变式】
(1)如图1,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=.
(2)如图2,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=.
【答案】
(1)360°
(2)540°
3.(山东莱芜)一个多边形截去一个角后,形成新多边形的内角和为2520°
,则原多边形的边数为().
A.15B.16C.17D.15或16或17
【思路点拨】一个多边形截去一个角后的多边形的边数不确定,要分类讨论.
【答案】D
【解析】
本题可设新多边形为n边形,由题意可知,原多边形可以为n边形;
(n+1)边形;
(n-1)边形:
即(n-2)×
=2520°
解得n=16.
故n-1=15,n+1=17.
因此原多边形可以是十五边形,也可以是十六边形,也可以是十七边形,所以选D.
答案:
【总结升华】此问题比较抽象,可以利用四边形类比发现其规律,然后再推广到一般.
多边形及其内角和例2、3】
【变式1】
(1)一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005º
,求多边形的边数。
(2)如果一个凸多边形,除了一个内角以外,其它内角的和为2570︒,求这个没有计算在内的内角的度数.
(1)用2005÷
180=11余25,n-2=11,n=13.
(2)用2570÷
180=14余50,180o-50o=130o
【变式2】若多边形最多有四个钝角,那么此多边形的边数最多是______.
【答案】七
类型三、多边形的外角和
4.科研人员为某机器人编制了一段程序,如果机器人在平地上按照图中的步骤行走,那么该机器人所走的总路程为()
A.6米B.8米C.12米D.不能确定
【答案】C
解析:
先按照程序的步骤画图(如图所示),发现一次转弯后不能回到出发点,从画出的图形,可以发现要使机器人回到点A处,那么机器人走过的路径应该是一个多边形,每次转弯的角就是这个多边形的外角.利用多边形的外角和为360°
,而30°
×
12=360°
,所以经过12次转弯即可到达点A处.又因为每次走1米,所以该机器人所走的总路程为12米.
【总结升华】解决此题的关键同样是把生活实际问题转化为数学问题,在散步之中感悟数学知识.其中蕴含了多边形的外角和为360°
的有关知识.本例为“设计程序”类考题,读懂程序,画出图形,理解很重要.
【变式】如图所示是某厂生产的一块模板,已知该模板的边AB∥CF,CD∥AE.按规定AB、CD的延长线相交成80°
角,因交点不在模板上,不便测量.这时师傅告诉徒弟只需测一个角,便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定,你知道需测那一个角吗?
说明理由.
测∠A或∠C的度数,只需∠A=100°
或∠C=100°
即知模板中AB、CD的延长线的夹角是否符合规定.
理由如下:
连接AF,∵AB∥CF,
∴∠BAF+∠AFC=180°
又∵∠EAF+∠E+∠AFE=180°
∴∠BAE+∠E+∠EFC=360°
若∠C=100°
则AB、CD的延长线的夹角=540°
-360°
-100°
=80°
即符合规定.
同理:
若连接CE,可得∠AEF+∠F+∠DCF=360°
若∠A=100°
,则也符合规定.
多边形及其内角和(提高)巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1.过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形,这个多边形的边数为()
A.5B.6C.7D.8
2.一个多边形的内角和超过640°
,则此多边形边数的最小值是()
A.5B.6C.7D.8
3.如果一个多边形的每一个外角都是锐角,那么这个多边形的边数一定不小于()
A.3B.4C.5D.6
4.(•莱芜)一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°
,则这个多边形对角线的条数是( )
A.27B.35C.44D.54
5.利用边长相等的正三角形和正六边形的地砖镶嵌地面时,在每个顶点周围有a块正三角形和b块正六边形的地砖(ab≠0),同a+b的值为()
A.3或4B.4或5C.5或6D.4
6.(内蒙古鸟兰察布)如图所示,已知长方形ABCD,一条直线将该长方形ABCD分割成两个多边形,若这两个多边形的内角和分别为M和N,则M+N不可能是()
A.360°
B.540°
C.720°
D.630°
7.(江苏扬州)两本书按如图所示方式叠放在一起,则图中相等的角是()
A.∠1与∠2B.∠2与∠3C.∠1与∠3D.三个内角都相等
8.从一个
边形中除去一个角后,其余
个内角和是2580°
,则原多边形的边数是().
A.15B.17C.19D.13
二、填空题
9.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有个.
10.如图,国旗上的五角星的五个角的度数是相同的,每一个角的度数都是.
11.(•徐州)若正多边形的一个内角等于140°
,则这个正多边形的边数是 .
12.将一块正六边形硬纸片(如图
(1)),做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面,如图
(2)),需在每一个顶点处剪去一个四边形,如图
(1)中的四边形
,那么
的度数是________.
13.将一个宽度相等且足够长的纸条打一个结,如图
(1),然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图
(2)所示的正五边形ABCDE,其中∠BAC=________.
14.用三块正多边形的木板铺地,拼在一起并相交于一点的各板完全吻合,如果其中两块木板的边数都是5,则第三块木板的边数是________.
15.小勇制造了一个简单的机器人,小勇遥控它每前行1m就向左转30°
,再向前行1m又向左转30°
,问它需要走m才能走回原地.
三、解答题
16.
(1)以AB=20mm,BC=30mm,CD=18mm,DA=21mm为边画四边形ABCD;
(2)所画的四边形ABCD唯一吗?
为什么?
(3)添加什么条件,四边形ABCD的形状就唯一确定?
17.一个多边形除一个内角外,其余各内角之和是2570°
,求这一内角的度数.
18.(春•西城区校级期中)附加题:
探究题:
我们知道等腰三角形的两个底角相等,如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰,所以∠BAC=∠BCA.利用这条性质,解决下面的问题:
已知下面的正多边形中,相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a.如图:
正五边形α= ;
正六边形α= ;
正八边α= ;
当正多边形的边数是n时,α= .
1.【答案】D;
2.【答案】B;
(提示:
假设内角和是640°
的多边形的边数为n,则有(n-2)·
180=640,解得
,因为多边形的内角和越大,其边数也越大,故当多边形的内角和超过640°
时,其边数
,因为n是正整数,所以其最小值是6.)
3.【答案】C;
【解析】
因为每个外角都是锐角,即小于90°
,设边数为n,则这些锐角的和一定小于n×
90°
,而外角和为360°
,所以360°
<n×
,即n不小于5.)
4.【答案】C;
【解析】解:
设这个内角度数为x,边数为n,
∴(n﹣2)×
﹣x=1510,
180n=1870+x,
∵n为正整数,
∴n=11,
∴
=44,
故选:
C.
5.【答案】B;
根据正多边形镶嵌的条件,在每个顶点处各正多边形的内角之和为360°
,得60°
·
a+120°
b=360°
,即a+2b=6,即a=6-2b,因ab≠0,且a,b均为正整数,所以当b=1或2,b=1时,a=4,a+b=5;
当b=2时,a=2,a+b=4,故选B.)
6.【答案】D;
7.【答案】B;
8.【答案】B;
【解析】解:
设除去的内角为
,则
,即
又∵
为整数,∴
9.【答案】3个.
10.【答案】36°
【解析】将五角星的五个角转移到一个三角形中,由三角形内角和定理以及五角星的各个角都相等,即可求出各个角的度数.
11.【答案】9;
∵正多边形的一个内角是140°
∴它的外角是:
﹣140°
=40°
360°
÷
40°
=9.
故答案为:
9.
12.【答案】60°
13.【答案】36°
14.【答案】10;
15.【答案】12
【解析】机器人走过了一个外角为30°
的正多边形,
由任意多边形的外角和均为360°
所以有
,得
,所以它需要走12m才能走回原地.
16.【解析】
(1)略
(2)不唯一,四边形具有不稳定性(3)添加一个角的度数.
17.【解析】
设这一内角为x°
,多边形的边数为n,则2570°
+x°
=(n-2)·
,因为n是正整数,所以x必须等于130.
∴这一内角度数为130°
18.【解析】
∵五边形ABCDE是正五边形,
∴AB=BC=AE,∠ABC=∠BAE=108°
∴∠BEA=∠ACB=
=36°
∴∠CAE=108°
﹣36°
=72°
∴α5=180°
﹣∠EAO﹣∠AOE=72°
α6=60°
,α8=45°
当正多边形的边数是n时,α=
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