第8讲 解三角形实质是解方程.docx
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第8讲解三角形实质是解方程
第8讲 解三角形——实质是解方程
对解三角形的复习要紧紧抓住正弦定理、余弦定理,弄清楚正、余弦定理所反映的边、角混合关系.解三角形的实质是解方程,通过正弦定理或余弦定理,建立三角形未知元素的代数方程或三角方程,借助其他知识,如三角形内角和定理、三角变换公式等,解出方程,并注意是否有增解.
1.结合三角形全等的条件认识正、余弦定理.
三角形全等有角边角、边边边、边角边定理,所以已知三角形三边,两边及其夹角,利用余弦定理求其他边、角时,解是唯一的,已知三角形任意两角及一边,利用正弦定理求其他边、角时,解是唯一的.但已知两边及一边所对的角时,利用正弦定理求其他边、角时,可能会出现两解,因为两三角形两边及一边所对的角分别对应相等时,不能保证三角形全等.
2.了解专业术语,会画图形.
知道俯角、仰角、方位角等专业术语的含义,会画图形,将题目条件直观地表现出来,有助于分析问题.图形是载体,根据条件,画出图形,将条件直观化,是合理选择公式的关键.
3.会设计测量方案.
对于实际测量问题,能独立地设计测量方案.能从课本的《应用举例》中提炼出常见的测量距离、高度、角度问题等测量方案,并能指导自己设计解决实际问题的测量方案.
4.重视三角形内角和定理的作用.
在解三角形问题中,三角形内角和定理起着重要的作用,如确定角的范围,确定三角函数值的符号,防止出现增解等.
例1 在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.
(1)求cosA的值;
(2)求c的值.
解后反思
1.解三角形的实质是根据题意寻求等量关系,通过正弦、余弦定理,建立所求的方程.
2.解三角形得到多解时,一定要注意检验.往往利用大角对大边,三角形内角和定理等知识判断解的情况,或通过题设检验.
例2 在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,ccosA=b,则△ABC的形状是________三角形.
解后反思
判断三角形的形状,要充分利用正弦定理、余弦定理进行边角转化,由边的代数运算或角的代数运算、三角运算,暴露边与边或角与角的关系,从而作出判断.
例3 如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量cosA=,cosC=.
(1)求索道AB的长;
(2)问:
乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
解后反思
1.本例所呈现的三角形模型十分清晰,如何将实际问题转化为解三角形问题,是解决问题的关键所在.
2.求解实际问题,首先要准确理解题意,理清已知与所求,能将求解的问题归结到三角形中去,借助正弦定理或余弦定理解决,最后把数学问题还原到实际问题中去.
总结感悟
1.解三角形的实质是解方程,通过正弦定理或余弦定理,建立三角形未知元素的代数方程或三角方程.注意利用题设,大角对大边、三角形内角和定理等知识判断解的情况,防止增解.
2.运用数形结合的思想,要根据条件画出图形,将条件直观化,有助于分析问题,选择恰当公式.
3.判断三角形的形状,主要途径有两条:
(1)化边为角;
(2)化角为边.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化,由边的代数运算或通过三角变换,暴露边与边或角与角的关系,从而作出判断.
4.解三角形实际问题,要理解问题的实际背景,将实际问题转化为数学问题.
A级
1.在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2asinB=b,则角A=________.
2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2+c2-b2=ac,则角B的值为________.
3.若a,b,c是△ABC的三边,直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离,则△ABC一定是________三角形.
4.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为________.
5.在△ABC中,若b=a,B=2A,则△ABC的形状为________三角形.
6.(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=________.
B级
7.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为________.
8.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC.则A的取值范围是__________.
9.在△ABC中,B=60°,AC=,则AB+2BC的最大值为________.
10.在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,则AB的长是______.
11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asinBcosC+csinBcosA=b,且a>b,则B=______.
12.如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值是________.(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)
13.(2016·全国Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(1)求C;
(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
第8讲 解三角形——实质是解方程
复习指导
题型分析
例1 解
(1)在△ABC中,由正弦定理
=⇒==
∴cosA=.
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA⇒
32=
(2)2+c2-2×2c×
则c2-8c+15=0.
∴c=5或c=3.
当c=3时,a=c,∴A=C.
由A+B+C=π,知B=,与a2+c2≠b2矛盾.∴c=3舍去.
故c的值为5.
例2 直角
解析 方法一 由cosA=,
得a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.
方法二 由正弦定理得:
sinCcosA=sinB,即sinCcosA=sin(A+C),得sinAcosC=0,即cosC=0,
故△ABC是直角三角形.
例3 解
(1)在△ABC中,
因为cosA=,cosC=,
所以A,C∈(0,],
且sinA=,sinC=.
从而sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sinAcosC+cosAsinC
=×+×=.
由正弦定理=,得AB=×sinC=×=1040(m).
所以索道AB的长为1040m.
(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130tm,所以由余弦定理得
d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50),
由于0≤t≤,即0≤t≤8,故当t=min时,甲、乙两游客距离最短.
(3)由正弦定理=,得BC=×sinA=×=500(m).
乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C.
设乙步行的速度为vm/min,由题意得-3≤-≤3,解得≤v≤,
所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在(单位:
m/min)范围内.
线下作业
1.
解析 在△ABC中,利用正弦定理得
2sinAsinB=sinB,∴sinA=.
又A为锐角,∴A=.
2.
解析 由a2+c2-b2=ac联想到余弦定理得cosB=,∴角B=.
3.钝角
解析 由题设知>1,
即a2+b2 于是cosC=<0, 所以C为钝角,故△ABC为钝角三角形. 4. 解析 因为S=×AB×ACsinA =×2×AC=,所以AC=1, 所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos60°=3,所以BC=. 5.等腰直角 解析 由正弦定理知sinB=sinA, 又∵B=2A,∴sin2A=sinA, ∴2sinAcosA=sinA, ∴cosA=,∴A=45°,B=90°. 故△ABC为等腰直角三角形. 6. 解析 在△ABC中由cosA=,cosC=,可得sinA=,sinC=,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=,由正弦定理得b==. 7. 解析 由(a+b)2-c2=4 得(a2+b2-c2)+2ab=4.① ∵a2+b2-c2=2abcosC, 故方程①化为2ab(1+cosC)=4. ∴ab=. 又∵C=60°,∴ab=. 8.(0,] 解析 由题意及正弦定理
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