高中数学导数题型分析报告及解题方法.docx
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高中数学导数题型分析报告及解题方法
导数题型分析及解题方法
一、考试内容
导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数;
两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。
二、热点题型分析
题型一:
利用导数研究函数的极值、最值。
1.在区间上的最大值是2
2.已知函数处有极大值,则常数c=6;
3.函数有极小值-1,极大值3
题型二:
利用导数几何意义求切线方程
1.曲线在点处的切线方程是
2.若曲线在P点处的切线平行于直线,则P点的坐标为(1,0)
3.若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为
4.求下列直线的方程:
(1)曲线在P(-1,1)处的切线;
(2)曲线过点P(3,5)的切线;
解:
(1)
所以切线方程为
(2)显然点P(3,5)不在曲线上,所以可设切点为,则①又函数的导数为,
所以过点的切线的斜率为,又切线过、P(3,5)点,所以有②,由①②联立方程组得,,即切点为(1,1)时,切线斜率为;当切点为(5,25)时,切线斜率为;所以所求的切线有两条,方程分别为
题型三:
利用导数研究函数的单调性,极值、最值
1.已知函数的切线方程为y=3x+1
(Ⅰ)若函数处有极值,求的表达式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数在[-3,1]上的最大值;
(Ⅲ)若函数在区间[-2,1]上单调递增,求实数b的取值范围
解:
(1)由
过的切线方程为:
①
②
而过
故
∵③
由①②③得a=2,b=-4,c=5∴
(2)
当
又在[-3,1]上最大值是13。
(3)y=f(x)在[-2,1]上单调递增,又由①知2a+b=0。
依题意在[-2,1]上恒有≥0,即
①当;
②当;
③当
综上所述,参数b的取值范围是
2.已知三次函数在和时取极值,且.
(1)求函数的表达式;
(2)求函数的单调区间和极值;
(3)若函数在区间上的值域为,试求、应满足的条件.
解:
(1),
由题意得,是的两个根,解得,.
再由可得.∴.
(2),
当时,;当时,;
当时,;当时,;
当时,.∴函数在区间上是增函数;
在区间上是减函数;在区间上是增函数.
函数的极大值是,极小值是.
(3)函数的图象是由的图象向右平移个单位,向上平移4个单位得到的,
所以,函数在区间上的值域为().
而,∴,即.
于是,函数在区间上的值域为.
令得或.由的单调性知,,即.
综上所述,、应满足的条件是:
,且.
3.设函数.
(1)若的图象与直线相切,切点横坐标为2,且在处取极值,求实数的值;
(2)当b=1时,试证明:
不论a取何实数,函数总有两个不同的极值点.
解:
(1)
由题意,代入上式,解之得:
a=1,b=1.
(2)当b=1时,
因故方程有两个不同实根.
不妨设,由可判断的符号如下:
当>0;当<0;当>0
因此是极大值点,是极小值点.,当b=1时,不论a取何实数,函数总有两个不同的极值点。
题型四:
利用导数研究函数的图象
1.如右图:
是f(x)的导函数,的图象如右图所示,则f(x)的图象只可能是(D)
(A)(B)(C)(D)
2.函数(A)
3.方程(B)
A、0B、1C、2D、3
题型五:
利用单调性、极值、最值情况,求参数取值范围
1.设函数
(1)求函数的单调区间、极值.
(2)若当时,恒有,试确定a的取值范围.
解:
(1)=,令得
列表如下:
x
(-∞,a)
a
(a,3a)
3a
(3a,+∞)
-
0
+
0
-
极小
极大
∴在(a,3a)上单调递增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上单调递减
时,,时,
(2)∵,∴对称轴,
∴在[a+1,a+2]上单调递减
∴,
依题,即
解得,又∴a的取值范围是
2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值
(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间
(2)若对x〔-1,2〕,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围。
解:
(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b
由f()=,f
(1)=3+2a+b=0得a=,b=-2
f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:
x
(-,-)
-
(-,1)
1
(1,+)
f(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
所以函数f(x)的递增区间是(-,-)与(1,+),递减区间是(-,1)
(2)f(x)=x3-x2-2x+c,x〔-1,2〕,当x=-时,f(x)=+c
为极大值,而f
(2)=2+c,则f
(2)=2+c为最大值。
要使f(x)c2(x〔-1,2〕)恒成立,只需c2f
(2)=2+c,解得c-1或c2
题型六:
利用导数研究方程的根
1.已知平面向量=(,-1).=(,).
(1)若存在不同时为零的实数k和t,使=+(t2-3),=-k+t,⊥,
试求函数关系式k=f(t);
(2)据
(1)的结论,讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.
解:
(1)∵⊥,∴=0即[+(t2-3)]·(-k+t)=0.
整理后得-k+[t-k(t2-3)]+(t2-3)·=0
∵=0,=4,=1,∴上式化为-4k+t(t2-3)=0,即k=t(t2-3)
(2)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况,可以看作曲线f(t)=t(t2-3)与直线y=k的交点个数.
于是f′(t)=(t2-1)=(t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时,f′(t)、f(t)的变化情况如下表:
t
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,+∞)
f′(t)
+
0
-
0
+
F(t)
↗
极大值
↘
极小值
↗
当t=-1时,f(t)有极大值,f(t)极大值=.
当t=1时,f(t)有极小值,f(t)极小值=-
函数f(t)=t(t2-3)的图象如图13-2-1所示,
可观察出:
(1)当k>或k<-时,方程f(t)-k=0有且只有一解;
(2)当k=或k=-时,方程f(t)-k=0有两解;
(3)当-<k<时,方程f(t)-k=0有三解.
题型七:
导数与不等式的综合
1.设在上是单调函数.
(1)求实数的取值范围;
(2)设≥1,≥1,且,求证:
.
解:
(1)若在上是单调递减函数,则须这样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数.
若在上是单调递增函数,则≤,
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