经济管理数学模型案例教程总.docx
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经济管理数学模型案例教程总
[2-1-12]利益分配的合作博弈模型
1、问题的提出
在经济和社会活动中,若干实体(如个人、公司、党派、国家等)相互合作结成联盟或者集团,常能获利得比他们单独行动时更大的经济或社会效益,并且,
通常这种利益是非对抗性的。
合理地分配这些效益的方案是促成合作的前提,那么,应该如何分配利益才算是合理?
2、模型的构建
假定在n方合作博弈中,若干人的每一种组合(特别,单人也看作为一种组合)都会得到一定的效益,合作中人数的增加不会引起效益的减少,于是,全体人员的合作将带来最大效益,在这种假定下,Shapley提出了一系列的公理的唯
一的分配这个最大效益的一种方案,并且严格证明了这种方案是满足这组公理的唯一的分配。
设I={1,2,…,n}为合作博弈的n方。
对于参加者的某种组合(即I的一个子
集)S,以v(S)记其相应的效益(它是一种有特定含义的特征函数).。
用p表示I中第
i位成员从合作收益中应得到的一份收入。
称P=(P1(V),P2(V),…,Pn(V))T为
Shapley值,它由效益函数v(S)确定它的计算公式为
Pi八w(S)[v(S)-v(Si)],i=1,2,,n(2.1.17)
s三Si
其中Si是I中包含i的所有子集,IS是子集S中的元素个数(组合S中的参加者
数量),w(S)是加权因子
w(S)QS)!
(S®
n!
注意到v(S)是有第i方参加的某种合作方案S的获利,v(Si)表示在这种合作方
式中第i方退出以后的获利。
因此,v(S)-v(Si)可以看成在这种合作方案中第i方的“贡献”。
根据前面的假设,任何一方在任何合作方案中的贡献都是非负
的。
而Piv则是在各种有第i方参加的合作方案Si中第i方“贡献”的加权总和。
通俗地说,就是按照贡献大小分配利益。
可以证明,这种分配方案满足:
i)不贡献的不得利(即如果他在各种合作方案中所有的贡献值都为零,则他的获利为零):
ii)各合作方的获利总和等于总收益。
3模型求解与应用
下面通过实例说明模型如何根据(2.1.17)求解合作获利的效益分配,沿河有
1、2、3三个城镇,地理位置及各城镇的距离如图2-9所示。
城镇排放的污需经过处理才能排入河中,三个城镇既可以单独建污水处理
厂,也可以联合建厂,用管道将污集中处理(污水必须从上游城镇送往下游城
镇,处理厂必须建在下游位置。
)按照经验公式,建造污水处理厂的费用p1和铺
设管道的费用P2分别为
P^73Q0'712(千元)
P2=0.66Q°51L(千兀)
其中Q表示污水处理量(吨/秒),L表示管道长度(km)、如果三城镇的污水量
分别为Q^5,Q2=3,Q6=6,试从节约总投资的角度为三城镇制定建厂方案。
如果联合建厂,费用应如何分担。
三城镇建厂方案一共有以下5种
(1)城镇分别建造,建造费用分别为
F
(1)=73X50。
12=230(千元),F
(2)=73x30.712=160(千元)
F(3)-7360.712=260(千元),
总投资额为F
(1)F
(2)F(3)=650(千元)
(2)城1,2合作,在城2处建厂,城3单独建,建造费用为
F(1,2)=73(53)0.7120.665°.5120=350(千元),总投资额为F(1,2)F(3)=610(千元)。
(3)城2,3合作,在城3处建厂,城1单独建.建造费用为
F(2,3)=73(36)0.7120.6630.5138=390(千元),总投资额为
F(2,3)F
(1)=620(千元)。
(4)城1,3合作,在城3处建厂,城2单独建.建造费用为
F(1,3)=73(56)0.7120.665°.5158=490(千元),总投资额为
F(1,3)F
(2)=650(千元)。
(5)三方合作建厂.建造费用为
F(1,2,3)=73(536)0.7120.6650.51200.66(53)0.5138=580(千元)
比较以上方案,费用最省的自然是第5种,三城镇自然都会考虑合作建设。
那
么,应该如何分担这笔合作建造费用?
如果不采用Shapley的方法,人们首先会想到根据排放污水量平均分担的办法
于是,城1应该分担
同样,城2应分担V
(2)=124(千元),城3应分担V(3)=249(千元)
然而,按照这样的方案,城1可以节省23千元。
城3可以节省36千元,城3却只能节省11千元似乎并不尽合理。
考虑到合作建厂的费用由建处理厂和铺设管道两部分组成,城3提出另外的方
案:
建处理厂费用应按排污量平均分担,而2,3段管道费用应由1,2两城分
担,1,2段管道费用由城1单独承担.这种方案貌似公平,但仔细算来,城3
只需承担费用
而城2和城1的费用将分别达到130千元和245千元(计算略).城1甚至超过
单独建厂的费用,这显然更是不合理的
如果采用Shapley的方法,我们可以把合作方案节省的投资额看成收益,它将符合特征函数的要求,因此,可以要Shapley值计算各方节省的资金额。
更方
便地,可以直接用各种合作方案的建造费用作为效益函数计算Shapley值,其
结果就是各方应承担的投资费用•用上述数据计算,以第1城为例,可得下表
表2-1-6
Si
{1,2}
需}
{1,2,3}
v(Si)
230
350
490
580
v(Si)
0
160
260
390
Av
230
190
230
190
S
时
百,2〉
需}
{1,2,3}
S
1
2
2
3
w(S)
1/3
1/6
1/6
1/3
w(|SMv
230/3
190/6
230/6
190/3
z
210
即得口=210(千元)。
类似地可以计算得到p2=125(千元),
P3=245(千元).也就是说,如果三方合作,则各方投资应按上述比例分摊•这
时,各方按排污量平均每秒吨的投资额分别为42千元、41.67千元、和40.83
千元•排放距离即铺设管道长些,承担费用略大些。
各方节省额的差额比按照排放污水量平均分担方案小些,这种分摊结果还是更合理些。
[2-4-1]钢管的订购和运输模型
1、问题的提出
2000年全国大学生数学建模竞赛B题《钢管的订购种运输》,问题是要铺设天然气输送管道,在若干钢管生产厂以及不同的运输路径、方案中,如何进行选
择,确定购运计划,才能使总费用最小。
2.模型和构建
《钢管的订购和运输》赛题提出的大到上是这样的问题:
要铺设一条Ai、A2—「-Ais的输送天然气的主管道,如图2-24所示
经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有Si,S2,…,S7.图中粗线表示铁路,单细线表示公路,双细线表示要铺设管道的地方(假设沿线原有公路或建有施工公路),每段铁路和公路旁的数字表示路段长(单位:
km)•为和距离有所区别,1km长的钢管称为1个单位。
钢厂Si在指定期限内该种钢管的最大生产能力为$单位(如下表):
表2-4-1
i
1
2
3
4
5
6
7
Si
800
800
1000
2000
2000
2000
3000
1单位钢管的铁路运价如下表:
表2-4-2
里程(km)
<300
301~350
351~400
401~450
451~500
运价(万元)
20
23
26
29
32
里程(km)
501~600
601~700
701~800
801~900
901~1000
运价(万元)
37
44
50
55
60
注:
1000km以下每增加1~100km,运价增加5运价(万元)
公路运价不1单位钢管每千米路程0.1运价(万元)(不足1km部分按1km计算).钢管可从某几家钢厂订购,由铁路、公路运往各铺设点(不足是运到AA,…,As,而是管道的全线)。
请制定订购和运输计划,我们应当分成几个层面和的子问题
考虑:
首先需要计算出单位长度钢管从各钢厂S,运到需要铺设点P,(以1km管道为
一个点,总共有5171个点)的最小运输费用Cj((i=1,2,…,7;j=1,2,…,5171).
钢管可以通过铁路或公路运输。
公路运费是运输里程的线性函数(稍有不同的是不足1km要进整),但是铁路运价却是一种分段的阶跃的常数函数。
因此在计算时,不管对运输里程还是费用而言,都不具有可加性。
图论中用以计算最短
路的Dijkstra算法和Floyd算法等都将失效,只能将铁路运价(即由运输总里程找出对应费率)和公路运价分别计算后再迭加,好在整个图形比较简单,钢厂出来都是铁路,铺设点沿线都是公路。
而且通常情况下平均每千米的铁路运价要低于公路运价,所以只要在优先考虑尽量使用铁路运输的前提下,通过可能方案的
枚举,就能找到费用最小的路径和费用。
(根据题目提供的数据,铁路运价中601km段的运价比分解为300+301段的运价要高,从而带来计算的问题。
这可能是命题者的疏忽。
此外,有个别点对Si>Pj在运输方案的枚举计算时会出现意夕卜,但这不具一般性。
)
其实,并不需要逐一求出所有点对S>Pj的费用5。
因为从S到Pj总要经
过某个枢纽站。
假定Pj位于构纽站Ak和Ak1之间,那么只要比较从Si>Ak>Pj
和Sj—•Ak1—•Pj两者的大小。
也就是说,只要先求出SirAk的费用
(i=1,2,…,7;k=2,3,…,15),再在AkAk1段上找出通过两侧到达铺设点Pj费用相同的平衡点Qik,显然如果Pj在平衡点的左侧应该经过Ak,在平衡点的右侧则应该经过Ak1到达。
这样就可以大大减少计算量。
(直接计算Cij需要算7X5171个量,而计算S>Ak的费用则需要7X14个,平衡点Qik共7X13个,总共119个量。
每个点的费率再需加一小段公路运费即可)。
根据题意,公路路段的费用,行驶里程不足1km部分按1km计算。
因此,平衡点Qik的小数部分是不起作用的,不妨均取整数,根据铺设点Pj在平衡点的哪一侧来确定费率Cj。
知道了从钢厂到铺设点的费率,就容易得出原问题的数学模型一一运输问题模型。
模型一:
线性规模型
用Xik表示铺设点Pj的钢管是否从第i家钢厂购运而来。
如果是则取1,否
则取0。
那么,总的运输费用便是:
w八'CijXj.
ij
根据钢厂生产能力有以下不等式:
Xj j 于是,原问题就可以表示成: minW=送送Cj況Xjj. ij S.t.'Xj j Xj=0,1,i=1,2,,7,j=1,2,,5171. 这就是原问题的运输问题模型。 用该模型求解,显然存在变量过多(共有7X5171个)的困难。 考虑到前文所述钢厂到铺设点的运输必定要经过枢纽站,因此可以用下述方式简化。 模型二: 二次规划模型 用Xik表示从钢厂Si运到枢纽站Ak、Zk分别表示从枢纽站Ak向右边(即 Ak段)及左边(即A^Ak段)的钢管总量,(这里假设yk、Zk都是整数)) 注意到将总量为yk的钢管运到每单位铺设点,其运费应为第一公里、第二公 里直到第yk公里的运费之和,即为0.1(1,2•yj。 往左也一样。 又因 为从枢纽站运往两边的量受路段长度制约,故有
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