高考数学二轮复习专题15立体几何教学案理Word文件下载.docx
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6.【xx课标1,理16】如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:
cm3)的最大值为_______.
【答案】
7.【xx课标1,理18】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)证明:
平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,,求二面角A-PB-C的余弦值.
【解析】
(1)由已知,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)在平面内作,垂足为,由
(1)可知,平面,故,可得
8.【xx课标II,理19】如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD,
E是PD的中点.
直线平面PAB;
(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为,求二面角的余弦值.
又M在棱PC上,设,则.②
由①,②解得
(舍去),
.所以,从而.设是平面ABM的法向量,则即
所以可取.于是,因此二面角的余弦值为.
9.【xx课标3,理19】如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
二.高考研究
【考纲解读】
1.考纲要求
(一)立体几何初步
(1)空间几何体
①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
②能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图.
③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.
④会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).
⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).
(2)点、直线、平面之间的位置关系
①理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理:
◆公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点在此平面内.
◆公理2:
过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
◆公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
◆公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
◆定理:
空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.
理解以下判定定理:
◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.
◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.
◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.
◆如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.
理解以下性质定理,并能够证明:
◆如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行.
◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.
◆垂直于同一个平面的两条直线平行.
◆如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.
③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
(二)空间向量与立体几何
(1)空间向量及其运算
①了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
(2)空间向量的应用
①理解直线的方向向量与平面的法向量.
②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.
③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).
④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
(三)空间想象能力
①能根据条件做出正确的图形,根据图形想象出直观形象;
能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系;
能对图形进行分解、组合;
会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.
②空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图和对图形的想象能力,识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系;
画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换;
对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志.
2.命题规律
(1)空间几何体的三视图成为近几年高考的必考点,单独考查三视图的逐渐减少,主要考查由三视图求原几何体的面积、体积,主要以选择题、填空题的形式考查;
该部分的命题通常围绕三个点展开.第一点是围绕空间几何体的三视图,设计由空间几何体的三视图判断空间几何体的形状,由其中的一个或者两个视图判断另外的视图等问题,其目的是考查对三视图的理解和空间想象能力;
第二点是围绕空间几何体的表面积和体积展开,设计根据已知的空间几何体求空间几何体的表面积或体积的问题,其中空间几何体一般以三视图的形式给出,目的是考查空间想象能力和基本的运算求解能力;
第三点是围绕多面体和球展开,设计求多面体的外接球的表面积、体积或者计算球的内接多面体的相关元素等问题,目的是考查空间想象能力、逻辑推理能力和基本的运算求解能力.
(2)高考对空间点、线、面位置关系的考查主要有两种形式:
一是对命题真假的判断,通常以选择题、填空题的形式考查,难度不大;
二是在解答题中考查平行、垂直关系的证明、常以柱体、锥体为载体,难度中档偏难.该部分的命题主要在三个点展开.第一点是围绕空间点、直线、平面的位置关系展开,设计位置关系的判断、简单的角与距离计算等问题,目的是考查对该部分基础知识的掌握情况及空间想象能力;
第二点是围绕空间平行关系和垂直关系的证明,设计通过具体的空间几何体证明其中的平行关系、垂直关系的问题,目的是考查运用空间位置关系的相关定理、推理论证的能力及空间想象能力;
第三个点是围绕空间角与距离展开(特别是围绕空间角),设计求解空间角的大小、根据空间角的大小求解其他几何元素等问题,目的是综合考查利用空间线面位置关系的知识综合解决问题的能力.
(3)求解立体几何问题是高考的必考内容,每套试卷必有立体几何解答题,一般设2问,前一问较简单,最后一问难度较大,而选用向量法可以降低解题难度.该部分的命题非常单纯,就是围绕用空间向量解决立体几何问题设计试题,考查空间向量在证明空间位置关系、求解空间角和距离问题中的应用,考查空间向量在解决探索性问题中的应用,其目的是考查对立体几何中的向量方法的掌握程度,考查运算求解能力.试题大多是解答题,而且以使用空间向量求解空间角为主.
3.学法导航
1.空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图,因此在分析空间几何体的三视图问题时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果.在还原空间几何体实际形状时,一般是以正(主)视图和俯视图为主,结合侧(左)视图进行综合考虑.
2.求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积,然后求和.求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体、锥体或台体,则可直接利用公式求解;
求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体,不能直接利用公式求解,则常用转换法、分割法、补形法等进行求解;
求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.
3.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径.球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图.
4.解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况,以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断,必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中.
5.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行,常用方法如下
(1)证明线线平行常用的方法:
一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;
二是利用平行四边形进行平行转换;
三是利用三角形的中位线定理证线线平行;
四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.
(2)证明线线垂直常用的方法:
①利用等腰三角形底边中线即高线的性质;
②勾股定理;
③线面垂直的性质,即要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,l⊥α,a⊂α⇒l⊥a.
6.折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口.存在探索性问题可先假设存在,然后在此前提下进行逻辑推理,得出矛盾或肯定结论.
7.利用向量法证明平行、垂直关系,关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件,准确写出相关点的坐标,进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量,但向量证明仍然离不开立体几何定理的条件.
8.二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得,它等于两个法向量的夹角或其补角.利用向量法求二面角,必须能判定“所求二面角的平面角是锐角或钝角”,否则解法是不严谨的.
主干整合归纳扩展
一.基础知识整合
1.三视图:
(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求:
正俯一样长,正侧一样高,俯侧一样宽,即“长对正,高平齐,宽相等”.
(2)三视图排列规则:
俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;
侧视图放在正视图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样.
(3)画三视图时,可见的轮廓线用实线画出,被遮挡的轮廓线,用虚线画出.
2.直观图:
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x’轴、y’轴的夹角为45o(或135o),z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直;
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行.平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变,平行于y轴的线段长度在直观图中减半.
3.体积与表面积公式:
柱体的体积公式:
锥体的体积公式:
台体的体积公式:
球体的体积公式:
.球的表面积公式:
.
棱柱、棱锥及棱台的各个面的面积之和,即为其表面积.
4.空间直线、平面之间的位置关系的判定与性质:
①空间直线、平面之间的位置关系:
(1)位置关系的分类
(2)直线和平面的位置关系
位置关系
直线a在平面α内
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
符号表示
图形表示
(3)两个平面的位置关系
图示
表示法
公共点个数
两平面平行
两平面相交
斜交
有无数个公共点在一条直线上
垂直
②空间直线、平面之间的位置关系的判定与性质:
(1)异面直线的判定:
1、定义法(不易操作)
2、反证法:
先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严密的推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.
3、客观题中,也可用下述结论:
过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线,如图:
(2)直线与直线平行
直线和平面平行的性质定理:
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.(线面平行线线平行){
}
面面平行的性质定理:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(面面平行线线平行){
公理4:
平行于同一直线的两条直线互相平行{}
直线和平面垂直的性质:
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.{
(3)直线与直线垂直
定义法:
如果两条异面直线所成的角是直角,那么这两条异面直线互相垂直.
如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线.(线面垂直线线垂直)
两条平行线,若一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线.{}
(4)直线与平面平行:
判定定理:
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(线线平行线面平行),{
面面平行的定义:
两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.(面面平行线面平行){}
结论:
平面外的两条平行直线,若其中一条平行于一个平面,则另一条必定也平行于这个平面.
{}
(5)直线与平面垂直:
如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线和平面互相垂直.判定定理:
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.(线线垂直线面垂直){
面面垂直的性质定理:
如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.(面面垂直线面垂直){
两条平行直线,若其中一条垂直于一个平面,则另一条必定也垂直于这个平面.
一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面.{
(6)平面与平面平行:
两个平面没有公共点,称两个平面平行.判定法:
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(线面平行面面平行){
},借助法:
垂直于同一条直线的两个平面平行.{}
(7)平面与平面垂直:
若两个平面所成的二面角是直二面角,则称这两个平面垂直.判定法:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.(线面垂直面面垂直){
5.空间的角与距离
(1)异面直线的夹角:
定义:
对于异面直线a和b,在空间任取一点P,过P分别作a和b的平行线和,我们把和所成的锐角或者叫做异面直线a和b所成的角.范围:
(0°
,90°
】
(2)斜线与平面所成的角:
把直线l与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线l和平面α所成的角.直线和平面所成的角的范围【0°
(3)二面角:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.范围为【0°
,180°
(4)点到直线距离和点到平面的距离
点到直线的距离:
①直接作直线的垂线.②求点P到平面内的直线a的距离:
第一步:
过P作交平面于点Q,第二步:
在内过Q作作,垂足为R;
第三步:
连结、,则即为点P到直线的距离.
点到平面的距离:
①直接作平面的垂线;
②要作垂线,先作垂面;
③体积法(等积法).
6.空间向量与立体几何
(1)空间向量与平行关系
直线的方向向量:
直线的方向向量是指和这条直线平行或重合的向量,一条直线的方向向量有无数个.
平面的法向量:
直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.
空间中平行关系的向量表示
线线平行:
设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),且a2b2c2≠0,则l∥m⇔⇔⇔.
线面平行:
设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α的法向量为u=(a2,b2,c2),则l∥α⇔⇔⇔.(3)面面平行
设平面α,β的法向量分别为u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,c2),则α∥β⇔⇔⇔
空间向量与垂直关系
空间垂直关系的向量表示
空间中的垂直关系
线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线l的方向向量为a=(a1,a2,a3),直线m的方向向量为b=(b1,b2,b3),则l⊥m⇔_
设直线l的方向向量是a=(a1,b1,c1),平面α的法向量u=(a2,b2,c2),则l⊥α⇔
若平面α的法向量u=(a1,b1,c1),平面β的法向量为v=(a2,b2,c2),则α⊥β⇔
空间中垂直关系的证明方法
①证明两直线的方向向量的数量积为0.
①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.
①证明两个平面的法向量垂直.
②证明两直线所成角为直角.
②证明直线与平面内的相交直线垂直.
②证明二面角的平面角为直角._.
1月20日星期五
空间向量与空间角
空间中的角
角的分类
向量求法
范围
异面直线
所成的角
设两异面直线所成的角为θ,它们的方向向量为a,b,则cosθ=
=
直线与平
面所成
的角
设直线l与平面α所成的角为θ,l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则sinθ=
二面角
设二面角α—l—β的平面角为θ,平面α、β的法向量为n1,n2,则|cosθ|=
[0,π]
二.高频考点突破
考点1:
空间几何体的三视图、表面积、体积
【例1】我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器------商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:
寸),若取3,其体积为12.6(立方寸),则图中的为____________.
分析:
以三视图为载体考查几何体的体积,解题的关键是根据三视图想象还原几何体的形状构成,并从三视图发现几何中各元素间的位置关系及数量关系,然后在直观图中求解.在求几何体的体积时,若给定的几何体是规则柱体,锥体或台体,可直接利用公式求解.若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出,常用转换法,分割法,补形法等求解.
【例2】一块边长为的正方形铁皮按如图
(1)所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,将该容器按如图
(2)放置,若其正视图为等腰直角三角形,则该容器的体积为()
(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义,真正把握几何体的结构特征,可以根据条件构建几何模型,在几何模型中进行判断;
(2)解决本类题目的技巧:
三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型,有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.
【答案】D
【规律方法】1、画三视图的基本原则是:
长对正,宽相等,高平齐.在做题时也要根据这个原则来画直观图.要根据这个原则来验证所画直观图是否正确.
2、三视图问题关键是搞清楚三视图中的每条轮廓线代表的意义,三视图中给出的尺寸在几何体中对应哪些线段的尺寸,三视图中的角度在几何体对应的角度是多少.尤其要注意图中的直角,这是一个很重要的信息.必须结合三视图弄清几何体的直观图的构成,根据三视图的信息确定直观图中相关的量,然后才能进行相关计算.
3、求几何体体积问题,可以多角度、多方位地考虑问题.在求三棱锥体积的过程中,等体积转化法是常用的方法,转换底面的原则是使其高易求,常把底面放在已知几何体的某一面上.
4、求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体变为规则几何体,易于求解.
【举一反三】【xx黑龙江齐齐哈尔八中三模】如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()
A.B.C.D.
【答案】A
考点2:
球与多面体
【例3】已知正四棱锥的底面边长为,体积为,则此棱锥的内切球与外接球的半径之比为()
A.1:
2B.4:
5C.1:
3D.2:
5
分析:
本题考查的是正四棱锥的内切球与外接球的半径的计算的综合运用问题,解答时先准确的画出示意图,搞清该几何体的内切球与外接球的半径所在的几何图形,再运用所学知识进行求解.求解时先借助体积公式构建含四棱锥高的方程,求出,再依据图形建立方程
和,求出与,使得问题获解.
【例4】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,为球的直径,若该三棱锥的体积为,
,则球的表面积为()
【分析】本题主要考查了球与棱锥的组合体问题、棱锥的体积和球的体积表面积等基础知识,考查考生的空间想象能力和计算能力,属于中档题.解答本题的关键是根据棱锥的体积公式求出点到平面的距离,再由球的截面性质求出球的半径,解答时要注意根据判断截面圆的直径,最后根据球的表面积公式得到答案.
【解析】设棱锥的高为,因为
所以,所以,因此点到平面的距离为,外接圆的直径为,所以,所以球的表面积为,故选A.
【规律方法】1、涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空间问题化归为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系.
2、求与球有关的“切”或者“接”球半径时,往往用到的方法有构造法或者直接确定球心.
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