苏教版数学选修11第3章 章末分层突破.docx
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苏教版数学选修11第3章章末分层突破
章末分层突破
[自我校对]
①(Δx→0)
②f′(x0)
③导数的运算法则
④导数的应用
⑤函数的最值
利用导数的几何意义求曲线的切线方程
运用导数的几何意义,可以求过曲线上任一点的切线的斜率,从而进一步求出过此点的切线方程.还可以结合几何的有关知识,求解某些点的坐标、三角形面积等.导数的几何意义是近几年高考的要点和热点之一,常结合导数的运算进行考查,常以选择题、填空题的形式出现.
对于较为复杂的此类问题,一般要利用k=f′(x0)((x0,f(x0))为切点)及切点的坐标满足切线方程和曲线方程列方程组求解.
求过曲线y=x3-2x上的点(1,-1)的切线方程.
【精彩点拨】 切线过曲线上一点(1,-1),并不代表(1,-1)就是切点,故需先设出切点,再求解.
【规范解答】 设切点为P(x0,y0),则y0=x-2x0.∵y′=3x2-2,则切线的斜率k=f′(x0)=3x-2,∴切线方程为y-(x-2x0)=(3x-2)(x-x0).
又∵切线过点(1,-1),∴-1-(x-2x0)=(3x-2)(1-x0),整理,得(x0-1)2(2x0+1)=0,解得x0=1或x0=-.∴切点为(1,-1)或,相应的切线斜率为k=1或k=-.
故所求切线方程为y-(-1)=x-1或y-=-·,即x-y-2=0或5x+4y-1=0.
[再练一题]
1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=2处取得极值,并且它的图象与直线y=-3x+3在点(1,0)处相切,则函数f(x)的表达式为________.
【解析】 f′(x)=3x2+2ax+b.∵f(x)与直线y=-3x+3在点(1,0)处相切,
∴即
∵f(x)在x=2处取得极值,∴f′
(2)=12+4a+b=0.③
由①②③解得∴f(x)=x3-3x2+2.
【答案】 f(x)=x3-3x2+2
利用导数研究函数的单调性
1.求函数的单调区间应先确定函数的定义域,利用f′(x)>0,f′(x)<0的解集确定单调区间,这是函数中常见问题,是考查的重点.
2.求含参数的函数的单调区间讨论时要注意的三个方面:
(1)f′(x)=0有无根,
(2)f′(x)=0根的大小,(3)f′(x)=0的根是否在定义域内.另外当f′(x)=0的最高次项系数含有字母时,则要讨论系数是否为0.
3.已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路:
①转化为不等式在某区间上恒成立问题,即f′(x)≥0(或≤0)恒成立,用分离参数求最值或函数的性质求解,注意验证使f′(x)=0的参数是否符合题意,②构造关于参数的不等式求解,即令f′(x)>0(或<0)求得用参数表示的单调区间,结合所给区间,利用区间端点列不等式求参数的范围.
已知函数f(x)=x3-ax-1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围.
【精彩点拨】
(1)求出f′(x),讨论f′(x)=0的根是否存在,求函数的单调区间;
(2)根据题意有f′(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立,分离参数后可求实数a的取值范围.
【规范解答】
(1)f′(x)=3x2-a.
①当a≤0时,f′(x)≥0,所以f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.
②当a>0时,令3x2-a=0得x=±;当x>或x<-时,f′(x)>0;
当-<x<时,f′(x)<0.
因此f(x)在,上为增函数,在上为减函数.
综上可知,当a≤0时,f(x)在R上为增函数;
当a>0时,f(x)在,上为增函数,在上为减函数.
(2)因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,所以f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,
即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.
又因为a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,
所以a≤0,即a的取值范围为(-∞,0].
[再练一题]
2.设函数f(x)=x2+ex-xex.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若当x∈[-2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】
(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex).
若x<0,则1-ex>0,所以f′(x)<0;
若x>0,则1-ex<0,所以f′(x)<0;
若x=0,则f′(x)=0.
∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,即f(x)的单调减区间为(-∞,+∞).
(2)由
(1)知f(x)在[-2,2]上单调递减,
∴f(x)min=f
(2)=2-e2.
∴当m<2-e2时,不等式f(x)>m恒成立.即实数m的取值范围是(-∞,2-e2).
利用导数研究函数的极值和最值
1.利用导数研究函数极值的一般流程
2.求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤:
(1)求函数在(a,b)内的极值;
(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);
(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
3.注意事项:
(1)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论.
(2)解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题,处理好f′(x)=0时的情况;区分极值点和导数为0的点.
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:
3x-y+1=0,若x=时,y=f(x)有极值.
(1)求a,b,c的值;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.
【精彩点拨】
(1)利用f′
(1)=3、f′=0、f
(1)=4构建方程组求解;
(2)令f′(x)=0→列表→求极值和区间端点的函数值→
比较大小→得最大值和最小值
【规范解答】
(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b.
当x=1时,切线l的斜率为3,可得2a+b=0,①
当x=时,y=f(x)有极值,则f′=0,可得4a+3b+4=0,②
由①②,解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为1,所以f
(1)=4.
所以1+a+b+c=4,得c=5.
(2)由
(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,f′(x)=3x2+4x-4.令f′(x)=0,解得x1=-2,x2=.
当x变化时,f′(x),f(x)的取值及变化情况如下表所示:
x
-3
(-3,-2)
-2
1
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
8
13
4
由表可知,函数y=f(x)在[-3,1]上的最大值为13,最小值为.
[再练一题]
3.已知函数f(x)=x3-x2+cx+d有极值.
(1)求c的取值范围;
(2)若f(x)在x=2处取得极值,且当x<0时,f(x)<d2+2d恒成立,求d的取值范围.
【解】
(1)∵f(x)=x3-x2+cx+d,∴f′(x)=x2-x+c,要使f(x)有极值,
则方程f′(x)=x2-x+c=0有两个实数解,从而Δ=1-4c>0,∴c<.
(2)∵f(x)在x=2处取得极值,∴f′
(2)=4-2+c=0,∴c=-2.∴f(x)=x3-x2-2x+d.
∵f′(x)=x2-x-2=(x-2)(x+1),∴当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0,函数单调递增,
当x∈(-1,2]时,f′(x)<0,函数单调递减.∴x<0时,f(x)在x=-1处取得最大值+d,
∵x<0时,f(x)<d2+2d恒成立,∴+d<d2+2d,即(d+7)(d-1)>0,
∴d<-7或d>1,即d的取值范围是(-∞,-7)∪(1,+∞).
分类讨论思想
利用分类讨论思想解答问题已成为高考中的热点问题,尤其是函数、导数中的解答题,在含参数的问题中,无论是研究单调性,还是极值、最值,一般都需要分类讨论.
已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a>0.
(1)求a的值;
(2)若对任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,求实数k的最小值.
【精彩点拨】
(1)求出函数f(x)的最小值用a表示解方程可得a的值;
(2)构造函数g(x)=f(x)-kx2,分类讨论求其在[0,+∞)的最大值,使其最大值≤0可得k的取值范围,即得其最小值.
【规范解答】
(1)f(x)的定义域为(-a,+∞).f′(x)=1-=.
由f′(x)=0,得x=1-a>-a.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-a,1-a)
1-a
(1-a,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
因此,f(x)在x=1-a处取得最小值,故由题意f(1-a)=1-a=0,所以a=1.
(2)当k≤0时,取x=1,有f
(1)=1-ln2>0,故k≤0不合题意.
当k>0时,令g(x)=f(x)-kx2,即g(x)=x-ln(x+1)-kx2.
g′(x)=-2kx=.
令g′(x)=0,得x1=0,x2=>-1.
①当k≥时,≤0,g′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,
因此g(x)在[0,+∞)上单调递减.从而对于任意的x∈[0,+∞),总有g(x)≤g(0)=0,即f(x)≤kx2在[0,+∞)上恒成立.故k≥符合题意.
②当0<k<时,>0,对于x∈,g′(x)>0,
故g(x)在内单调递增,因此当取x0∈时,
g(x0)>g(0)=0,即f(x0)≤kx不成立.故0<k<不合题意.
综上,k的最小值为.
[再练一题]
4.设函数f(x)=aex++b(a>0).
(1)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;
(2)设曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为y=x,求a,b的值.
【解】
(1)f′(x)=aex-,
当f′(x)>0,即x>-lna时,f(x)在(-lna,+∞)上单调递增;
当f′(x)<0,即x<-lna时,f(x)在(-∞,-lna)上单调递减.
①当0<a<1时,-lna>0,f(x)在(0,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增,从而f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(-lna)=2+b;
②当a≥1时,-lna≤0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,
从而f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(0)=a++b.
(2)依题意f′
(2)=ae2-=,解得ae2=2或ae2=-(舍去),所以a=,代入原函数可得2++b=3,即b=,故a=,b=.
1.已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f
(1))处的切线过点(2,7),则a=________.
【解析】 先用“导数法”求出切线方程,然后代入点(2,7)求出a的值.
∵f′(x)=3ax2+1,
∴f′
(1)=3a+1.
又f
(1)=a+2,
∴切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1).
∵切线过点(2,7),∴7-(a+2)=3a+1,解得a=1.
【答案】 1
2.已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为________.
【导学号:
24830093】
【解析】 因为f(x)=(2x+1)ex,
所以f′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,
所以f′(0)=3e0=3.
【答案】 3
3.函数f(x)=(x≥2)的最大值为_
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