华东师范大学数学系数学分析第4版下册知识点总结笔记课后答案Word文档格式.docx
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是两个正项级数.如果
则
1若0v1v+1级数siS"
同敛散。
2若1=0且级数S"
收敛,级数S,也收敛。
3若1=+0C且级数S"
发散,级数S也发散。
Q比式判别法和根式判别法
(1)比式判别法
设工*为正项级数,且存在正整数N()及常数q(0<
q<
l),则
1若对任意n>
No,SPWun+1/un<
q,则工%收敛。
2若对任意n>
No,都有5+]/11診1,则》i.发散。
(2)比式判别法的极限形式
若Xw为正项级数,且,则
1若qV1,则工Un收敛。
2若q>
1或q=+oo,则工片发散。
3若q=1,则无法判断工叫的发散性。
(3)根式判别法
设工g为正项级数,且存在正整数N()及正常数1,
①若对任意n>
N
(”都有阪5*1,则工%收敛。
②若对任意n>
(八都有甌2Z,则》叫发散。
(4)根式判别法的极限形式设》g为正项级数,且凹呱7,则
1若1v1,则》Un收敛。
2苟>
1,则工U“发散。
3若1=1,则无法判断工%的发散性。
积分判别法设伪[1,+00)上非负减函数,那么正项级数工f(D)与反常积分「/(.丫阻同敛散。
三、一股项级数
n交错级数
莱布尼茨判别法
若交错级数满足:
①{切}单调递减;
②丘巴耳=o,则级数收敛。
绝对收敛级数及其性质
(1)若级数工UJ收敛,则工%为绝对收敛级数。
(2)绝对收敛级数的性质
1绝对收敛级数一走收敛,但反之却一股不成立,原级数收敛而不绝对收敛的情况,称为条件收敛。
2级数的重排:
设级数绝对收敛,且冥和等于S,则任意重排后所得到的级数也绝对收敛,且有相同的和数。
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
(1)阿贝尔判别法
若{“}为单调有界,且工\订收敛,则级数工收敛。
(2)狄利克雷判别法若{%}单调递减且ULO,工V"
的部分和数列有界,则级数收敛。
12.2课后习题详解
§
1级数的收敛性
H证明下列级数的收敛性,并求其和:
(1)-^―+—-—+—-—十…+F
1・66-1111-16(5“一4)(5"
+1)
(2)時-扣各-*2-(£
-*)-
1
(3)y!
台m(w+1Xw+2)
(4)工〔缶+2+]+亦)
y2n-l
证明:
(1)
=—+++・・•+
1-66111116(5”-4X5/2+1)
弓(T哙扣…+(€r禽)]=i(l)
55/2+1
limS,.=lim-(l-—-—)=-
”十宀《>55z?
+l5
所以原级数收敛,且和数S=1/50
(2)
故原级数的前n项和
11n1S”=2S;
_石歹=2(2-戸丁)_(1-歹)
°
12”—1
=3_盯_——
EmS„=3
所以原级数收敛且和数S=3。
证明:
若级数工叫发散,c#),则工cu“也发散。
假设工仙收敛,因GOz故级数工(CUn)/C=IX收敛,这与题设工%发散矛盾r所以若工叫发散r工CUn也发散(C=0)0
设级数工g与级数工'
I都发散,试问工(Un+Vn)一走发散吗?
又若5与%(数,则能得出什么结论?
解:
(1)当昭与》Vn都发散时%)不一走发散,如驰=》(-i)Mvn=z(-i)n+,两级数均发散J§
z(Un+vn)=Z0=O,即工(un+vn)收敛。
又如/工叫=工Vn=£
l/nf两级数均发散,且工(un+vn)=》2/n发散。
(2)当Un与Vn(n=l,2,...)均非负时,则K(Un+Vn)—走发散,这是因为:
由工%发散知,存在£
>
0,对任意自然数N,总存在自然数m(m>
N)和p使
IUfn+1+Um+2+…++pI—
而由q与V"
(n=1,2f...)非负有
(Um+1+vm+1)+(Um+2+vm+2)+…+(+p+vm+p)I~I+1++2+…++pI+I'
m*1+vm+2+・・・+vm+pI—£
由柯西准则知》(Un+Vn)发散。
若数列{aj收敛于a『则级数_%.)二勺
»
=:
级数的前n项和Sn二(aj-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+l)=aj-an+i#而
电溫-训勞旦歹)血一«
5卩"
8・>
=]_」
lims"
Hlim(aIFt)Mala
3X8IK•
X
(1)爆M(b*&
)建。
(2)llleb憩母•iM(一、pIl/bn£
)H57
吊温-
(一)爭爭3雪一一炷音
snu(b2-三)+(b3-b2)+…+(bn+1-bn)HF+-•b一
hmSynmxe—11q)H8
(2)培磔3郢nR*口
Sn"
(5-I一孑)+(-Zb2I133)+…+(一3nI一3n+1)H5-Il、bn+一
limSnlim•T-I^-)nI-
s—8;
!
-r一b一s2(_/bn二f)Hfo
(一)如1
n(a4n—l)(a+=)
(2)M(—lr
亍一
2J+1
+1)
(3)M
心?
2(22+二
解:
(d+n-1)(。
+?
?
)a+”一1a+H
&
n=1/(a+n-1)r则a〕=1/a,卿$=0.由第4题可得,原式=l/a0
、i2H-r1z、—・(?
-rl)-rW
(7-―-=(-1)———心+1)力(刃+1)
=(-1广丄+(-1严丄nn+1
一(7小丄+(-1)小亠n〃+1
=-[(-1广一(・1严亠]nM-rl
记对=(-1)%r则山=-If
h叫4=0r由第4题可得,原式二-(-I)-O=l0巧一
(3)
2卄1_11
(/+1)((?
:
+1)2+1]/+1(h+1)2+1
记》=n2+1■贝U
limb=+”/=2
i刀-1
由第5题可得,原式=1/2。
应用柯西准则判别下列级数的敛散性。
(1)Zsin2n/2n0
—2“・+1
(3)Z(-1)%。
⑷X
(1)任意的自然数P,
又^±
=0r从而任给的£
>
o,存在NGZ+r当m>
N时,对任意的正整数P,有
2
由柯西准则得原级数收敛。
(2)当p二1时,
二(〃心1)2二1
二2(也+1)2+(加+1)2一3
由柯西准则知原级数发散。
(3)任给的自然数P(不管是奇数还是偶数),
111_
m+1〃?
+2w-3
1111《心1
=++…+(—1Y
加+1w-r2w+37刃+4m^p
1,111/心1、
=一(一+T(一1))
w+1加+2加+3w4m+p
故任给的正数£
0,取N二[1/s]r当m>
N时及任意的自然数pf
由柯西准则知原级数收敛。
(1)当p=m时,
^2(w+w)2加二1
2恥一2忑
,对任意正数N,总存在m二N+1及P二m,使
Z
<
=1
Jo”十«
)+(加十£
)?
证明级数》叫收敛的充要条件是:
任给正数£
存在某正整数N,对一切n>
N总有IUN+4+]+…+Un|<
£
•
充分性任给正数£
存在正整数N,对一切n>
N,总有IUn+Un+1+…+Un|<
2/当然对n>
m>
N的m有|un+un+i+•・・+从|<
£
。
从而
Ium+1+um*2+••-+unI=I(«
N+uN+l+--+Un)・(Un+Un+]+…+)|<
|UN+U^+1+...+
UmI+丨
un+un+1+…+un|<
2e
由柯西准则知级数工%收敛。
必要性若级数Dn收敛,由柯西准则知对任给正数£
存在自然数M,当n>
M时,IUm+1+Um+2+...+unI<
s,特别地,取N>
Nj+1,则对任意n>
Nf有IUN+UN+1+…+UnI<
e<
举例说明:
若级数IX对每个固走的P满足条件
lim(g+・・+““)=0
此级数仍可能不收敛。
如级数工(1/0)若p为某一个固走的数,则
lim(wr+1+-.+w)
F1T8L
=litn(—!
—++—!
—)
n+lp
=lirn—!
—+…+litn—-—=0
lx”+1幷%fl+n
但级数工(1/n)发散。
设级数工%满足:
加括号后级数十…十"
心)收敛(3=0),且在同一括号中的…山心符号相同'
证明工*亦收敛。
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