高中数学二次函数试题Word文件下载.docx

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4．最值

1

21021已知函数fxx2x，gxx2xx[2,4]．2

已知函数fxx2x3在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是2

A．1,B．0,2C．1,2D．,2

若函数y的最大值为M，最小值为m，则M+m的值等于________．

已知函数fx4x4axa2a2在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．22

5．奇偶性

已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fxx1x．画出函数fx的图像，并求出函数的解析式．

22变式1：

若函数fxm1xm1x1是偶函数，则在区间,0上fx是

A．增函数B．减函数C．常数D．可能是增函数，也可能是常数

若函数fxaxbx3aba1x2a是偶函数，则点a,b的坐标是________．2

设a为实数，函数f（x）x2|xa|1，xR．

（I）讨论f（x）的奇偶性；

（II）求f（x）的最小值．

6．图像变换

x24x3,3x0已知f（x）3x3,0x1．

2x6x5,1x6

（1）画出函数的图象；

（2）求函数的单调区间；

（3）求函数的最大值和最小值．

指出函数yx2x3的单调区间．

已知函数f（x）|x22axb|（xR）．给下列命题：

2①f（x）必是偶函数；

②当f（0）f

（2）时，f（x）的图像必关于直线x=1对称；

③若ab0，则f（x）在区间2

[a，＋∞）上是增函数；

④f（x）有最大值|ab|．

其中正确的序号是________．③

设函数f（x）x|x|bxc,给出下列4个命题：

①当c=0时，yf（x）是奇函数；

②当b=0，c>

0时，方程f（x）0只有一个实根；

③yf（x）的图象关于点（0，c）对称；

④方程f（x）0至多有两个实根．2

上述命题中正确的序号为．

7．值域

2

求二次函数f（x）2x26x在下列定义域上的值域：

（1）定义域为xZ0x3；

（2）定义域为2,1．变式1：

函数f（x）2x6x2x2的值域是

A

．20,

9

B．C．D．20,420,22

9

20,

2

函数y=cos2x+sinx的值域是__________．

已知二次函数f（x）=ax2+bx（a、b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）=f（1－x），且方程f（x）=x有等根．

（1）求f（x）的解析式；

（2）是否存在实数m、n（m<

n），使f（x）的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．8．恒成立问题

当a,b,c具有什么关系时，二次函数fxaxbxc的函数值恒大于零？

恒小于零？

已知函数f（x）=lg（ax2+2x+1）．

（I）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；

（II）若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）x2ax3a，若x2,2时，有f（x）2恒成立，求a的取值范围．变式3：

若f（x）=x2+bx+c，不论、为何实数，恒有f（sin）≥0，f（2+cos）≤0．

（I）求证：

b+c=－1；

（II）求证：

c≥3；

（III）若函数f（sin）的最大值为8，求b、c的值．9．根与系数关系

右图是二次函数fxaxbxc的图像，它与x轴交于点

x1,0和x2,0，试确定a,b,c以及x1x2，x1x2的符号．

二次函数yax2b与一次函数yaxb（ab）在同一个直角坐标系的图像为

y

O

x

OA．

OB．

C．

D．

直线ymx3与抛物线C1:

yx5mx4m,C2:

yx（2m1）xm3,

C3:

yx23mx2m3中至少有一条相交，则m的取值范围是．

对于函数f（x），若存在x0R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=ax2+bx

3

+1（a>

0）有两个相异的不动点x1、x2．

1（I）若x1<

1<

x2，且f（x）的图象关于直线x=m对称，求证m>

；

2

（II）若|x1|<

2且|x1－x2|=2，求b的取值范围．

10．应用

绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，

若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；

若每瓶售价每降低0.05元，则

可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一

个方安：

销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？

在抛物线fxx2ax与x轴所围成图形的内接矩形（一边

在x轴上）中（如图），求周长最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数．

某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与

投资成正比，其关系如图一；

B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：

利润和投资单位：

万元）

（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：

怎样

分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？

其最大利润约为多少元（精

确到1万元）？

设a为实数，记函数f（x）ax2xx的最大值为g（a）．

（Ⅰ）求g（a）；

（Ⅱ）试求满足g（a）g（1

a）的所有实数a．

4

二次函数答案

1．（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法

b22aa324acb变式1：

解：

由题意可知1，解得b12，故选D．4ac11c11

由题意可知b20c1，解得b=0，∴1，解得c=2．22

2变式3：

解：

由题意可设所求二次函数的解析式为fx3x1k，

展开得fx3x6x3k，∴x1x22,x1x22

22∴x1x2x1x22x1x223k，323k26264，即4，解得k．9339

24所以，该二次函数的图像是由fx3x1的图像向上平移单位得到的，它的解析式是3

fx3x12452，即fx3x6x．33

2．（北师大版第52页例2）图像特征

2x1x2bx1x24acb变式1：

根据题意可知，∴f，故选D．22a4a2

∵f1xf1x，∴抛物线fxxpxq的对称轴是x1，2

∴p1即p2，∴fxx22xq，∴f0q、f13q、f11q，2

故有f1f0f1，选C．

观察函数图像可得：

①a>

0（开口方向）；

②c=1（和y轴的交点）；

③4a2b10（和x轴的交点）；

④ab10（f10）；

2⑤b4a0（判别式）；

⑥1b2（对称轴）．2a

3．（人教A版第43页B组第1题）单调性

函数fxx4ax2图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a，2

由已知函数在区间,6内单调递减可知区间,6应在直线x2a的左侧，

∴2a6，解得a3，故选D．

函数fxxa1x5在区间,1）上为增函数，由于其图像（抛物线）开口向上，所以其对2

称轴xa111a11，解得a2，或与直线x重合或位于直线x的左侧，即应有22222

5

∴f24a1257，即f27．

函数fxxkx的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是x

∵已知函数在[2,4]上是单调函数，∴区间[2,4]应在直线x

即有k，2k的左侧或右侧，2kk2或4，解得k4或k8．22

24．（人教A版第43页B组第1题）最值变式1：

作出函数fxx2x3的图像，

开口向上，对称轴上x=1，顶点是（1，2），和y轴的交点是（0，3），

∴m的取值范围是1m2，故选C．

函数有意义，应有x240，解得2x2，

∴0x244

02

06，

∴M=6，m=0，故M+m=6．a变式3：

函数fx的表达式可化为fx4x22a．2

①当02a12，即0a4时，fx有最小值22a，依题意应有22a3，解得a，这个值与22

0a4相矛盾．a22②当0，即a0时，f0a2a2是最小值，依题意应有a2a2

3，解得a12

a

0，∴a1③当a2，即a4时，f2168aa22a2是最小值，2

2依题意应有168aa2a2

3，解得a5a

4，∴a5

综上所述，a1

a5

5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性

222变式1：

函数fxm1xm1x1是偶函数m10m1，

当m1时，fx1是常数；

当m1时，fx2x1，在区间,0上fx是增函数，故选D．2

根据题意可知应有a12a0且b0，即a11且b0，∴点a,b的坐标是,0．33

（I）当a0时，函数f（x）（x）|x|1f（x），此时，f（x）为偶函数；

22当a0时，f（a）a1，f（a）a2|a|1，

f（a）f（a），f（a）f（a），此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．

6

22

（II）（i）当xa时，f（x）xxa1（x）a

23，4

，则函数f（x）在（,a]上单调递减，从而函数f（x）在（,a]上的最小值为f（a）a21．21131

若a，则函数f（x）在（,a]上的最小值为f（）a，且f（）f（a）．

2242

1232

（ii）当xa时，函数f（x）xxa1（x）a，

24

1131

若a，则函数f（x）在（,a]上的最小值为f（）a，且f（）f（a），

22421

若a，则函数f（x）在[a,）上单调递增，从而函数f（x）在[a,）上的最小值为f（a）a21．

13

综上，当a时，函数f（x）的最小值为a；

24112

当a时，函数f（x）的最小值为a1；

2213

当a时，函数f（x）的最小值为a．

若a

6．（北师大版第64页A组第9题）图像变换

函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间．

当x0时，yx2x3x14，当x0时，yx2x3x14．

作出函数图像，由图像可得单调区间．

在,1和0,1上，函数是增函数；

在1,0和1,上，函数是减函数．

若a1,b1,则f（x）|x22x1|x22x1，显然不是偶函数，所以①是不正确的；

若a1,b4,则f（x）|x22x4|，满足f（0）f

（2），但f（x）的图像不关于直线x=1对称，所以②是不正确的；

若ab0，则f（x）|x22axb|x22axb，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是xa，∴f（x）

在区间[a，＋∞）上是增函数，即③是正确的；

显然函数f（x）|x2axb|xR没有最大值，所以④是不正确的．

xbxc,x0

f（x）x|x|bxc2，

xbxc,x0

（1）当c=0时，f（x）xxbx，满足f（x）fx，是奇函数，所以①是正确的；

2x2c0x2c0xc,x0

（2）当b=0，c>

0时，f（x）xxc2，方程f（x）0即或，

x0x0xc,x0

x2c0x2c0

显然方程无解；

方程的唯一解是x，所以②是正确的；

x0x0

（3）设x0,y0是函数f（x）x|x|bxc图像上的任一点，应有y0x0|x0|bx0c，而该点关于（0，c）对称的点是

x0,2cy0

，代入检验2cy0x0|x0|bx0c即

y0x0|x0|bx0c，也即y0x0|x0|bx0c，所以x0,2cy0也是函数f（x）x|x|bxc图像上的

点，所以③是正确的；

（4）若b1,c0，则f（x）x|x|x，显然方程x|x|x0有三个根，所以④是不正确的．7．（北师大版第54页A组第6题）值域

作出函数f（x）2x6x2x2的图象，容易发现在2,上是增函数，在,2上

33

是减函数，求出f

（2）20，f

（2）4，f（）

99，注意到函数定义不包含x2，所以函数值域是20,．22

∵y=cos2x+sinx=－2sin2x+sinx+1，令t=sinx[－1,1]，则y=－2t2+t+1，其中t[－1,1]，

99

∴y[－2,]，即原函数的值域是[－2,]．

88变式3：

（I）∵

b

f（1+x）=f（1－x），∴=1，又方程f（x）=x有等根ax2+（b－1）x=0有等根，

2a

11

∴△=（b－1）2=0b=1a=－，∴f（x）=x2+x．

22（II）∵f（x）为开口向下的抛物线，对称轴为x=1，

1当m≥1时，f（x）在[m,n]上是减函数，

∴3m=f（x）min=f（n）=－n2+n（*），3n=f（x）max=f（m）=－m2+m，

221

两式相减得：

3（m－n）=－（n2－m2）+（n－m），

2∵1≤m<

n，上式除以m－n得：

m+n=8，代入（*）化简得：

n2－8n+48=0无实数解．2当n≤1时，f（x）在[m,n]上是增函数，

∴3m=f（x）min=f（m）=－m2+m，3n=f（x）max=f（n）=－n2+n，

22∴m=－4，n=0．

3当m≤1≤n时，对称轴x=1[m,n]，

∴3n=f（x）max=f

（1）=n=与n≥1矛盾．

26

综合上述知，存在m=－4、n=0满足条件．

8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题

（I）函数f（x）的定义域为R，即不等式ax2+2x+1>

0的解集为R，

a>

0

∴应有a>

1，∴实数a的取值范围是（1,+）．

△=4－4a<

（II）函数f（x）的值域为R，即ax2+2x+1能够取（0,+）的所有值．

1当a=0时，ax2+2x+1=2x+1满足要求；

2当a≠0时，应有0<

a≤1．∴实数a的取值范围是[0,1]．

△=4－4a≥0

解法一：

（转化为最值）

f（x）2在2,2上恒成立，即f（x）x2ax1a0在2,2上恒成立．

⑴a41a0，

2a2

a24（1a）0

f

（2）0

⑵f

（2）0，5a2．综上所述5a222．

a2或

a222

解法二：

（运用根的分布）⑴当

a5

2，即a4时，应有g（a）f

（2）73a2，即a，a不存在；

23

aa2a

a32，⑵当22，即4a4时，应有g（a）f（）

224

即－222a222，4a222；

⑶当

a

2，即a4时，应有g（a）f

（2）7a2，即a5，5a42

综上所述5a222．

证明：

（I）依题意，f（sin）=f

（1）≥0，f（2+cos）=f

（1）≤0，

∴f

（1）=01+b+c=0b+c=－1，（II）由（I）得：

f（x）=x2－（c+1）x+c（*）

∵f（2+cos）≤0（2+cos）2－（c+1）（2+cos）+c≤0

（1+cos）[c－（2+cos）]≥0，对任意成立．

∵1+cos≥0c≥2+cos，∴c≥（2+cos）max=3．（III）由（*）得：

f（sin）=sin2－（c+1）sin+c，

设t=sin，则g（t）=f（sin）=t2－（c+1）t+c，－1≤t≤1，这是一开口向上的抛物线，对称轴为t=

c+1

，2

3+1

由（II）知：

t=2，∴g（t）在[－1,1]上为减函数．

2∴g（t）max=g（－1）=1+（c+1）+c=2c+2=8，∴c=3∴b=－c－1