工程力学组合变形汇总.docx
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工程力学组合变形汇总
10组合变形
1、斜弯曲,弯扭,拉(压)弯,偏心拉伸(压缩)等组合变形的概念;
2、危险截面和危险点的确定,中性轴的确定;如双向偏心拉伸,中性轴方程为
12zo2yo0
iyiz
3、危险点的应力计算,强度计算,变形计算、。
4、截面核心。
解题范例
10.1、定性分析图10.1示结构中各构件将发生哪些基本变形?
图10.1
[解](a)AD杆时压缩、弯曲组合变形,BC杆是压缩、弯曲组合变形;AC杆不发生变形。
(b)AB杆是压弯组合变形,BC杆是弯曲变形。
(c)AB是压缩弯曲组合变形,BC是压弯组合变形。
(d)CD是弯曲变形,BD发生压缩变形,AB发生弯伸变形,BC发生拉弯组合变形。
10.2分析图10.2中各杆的受力和变形情况。
为压弯变形。
偏心受压,产生压缩和弯曲变形。
BC段:
弯曲。
BC段:
压弯组合。
[解](a)力可分解成水平和竖直方向的分力
(b)所受外力偶矩作用,产生弯曲变形。
(c)该杆受竖向集中荷载,产生弯曲变形.
(d)该杆受水平集中荷载
(e)AB段:
受弯,弯曲变形,
(f)AB段:
受弯,弯曲变形,
(g)AB段:
斜弯曲,BC段:
弯纽扭合。
10.3分析图10.3示构件中(AB、BC和CD)各段将发生哪些变形?
图10.3
[解]AB段发生弯曲变形,
BC段发生弯曲、扭转变形;
CD段发生拉伸、双向弯曲变形。
10.4一悬臂滑车架如图
10.4所示,杆AB为18号工字钢(截面面积
30.6cm2,
Wz=185cm3),其长度为l=2.6m。
试求当荷载F=25kN作用在AB的中点处时,杆内的最大正应
力。
设工字钢的自重可略去不计。
B
图10.4
[解]取AB为研究对象,对A点取矩可得FNBCY12.5kN
FNABFNBCX
2
分别作出AB的轴力图和弯矩图
25
2
Fl
4
l/2
l
kN
kN.m
轴力作用时截面正应力均匀分布,FN(压)
A
弯矩作用时截面正应力三角形分布,M(下拉上压)Wz
可知D截面处上边缘压应力最大,叠加可得最大正应力94.9MPa(压
10.5如图10.5所示,截面为16a号槽钢的简支梁,跨长L=4.2m,受集度为q的均布荷载作
用,q=2KN/m。
梁放在=20o的斜面上,试确定梁危险截面上A点和B点处的弯曲正应力。
[解]双向弯曲梁,在梁跨中点处的截面是危险截面,该截面上的弯矩、
12
MZmaxqlcos4.15kNm
8
ymax
12
81ql2sin1.5kMm
从型钢规格中查得16A号钢的抗弯截面模量
WZ108cm3IZ73.3cm4z01.08cmb6.3cm
离中和轴最远的点是危险点
A点:
cmaxMWZmaxMymaxI6.3z0145.22MPa
cmaxWZIy
B点:
tmaxMymaxMymaxz060.5.MPatmaxWZIy
习题解析
10.1矩形截面木檩条,跨度L=4m,荷载及截面尺寸如图10.6所示,木材为杉木,弯曲容
许应力[σ]=12MPa,E=9×103MPa容许挠度为L/200,试验算穰条的强度和刚度。
[解]⑴首先进行强度的校核:
先将q分解成为两个分量
qX=716N/m,qz=1430N/m,
二者对应最大弯矩分别为
Mxmax=1432N·m,Mzmax=2860N·m,
代入强度条件公式得
Mxmax/Wx+Mzmax/WZ=1053.MPa<=12MPa故强度条件满足.
⑵再进行刚度的核算:
与qX相应的挠度fX=5qxl4=14.9mm
XX384EIZ
与qz相应的挠度fz=5qzl4=14.mm
zz384EIx
fmax=fxfz=20.51mm<[L/200]=20mm(容许挠度)
可以认为刚度满足要求。
10.2由木材制成的矩形截面悬臂梁,在梁的水平对称面内受到力P1=1.6kN的作用,在铅直对称面内受到力P2=0.8kN作用(如图10.7所示)。
已知:
b=90mm,h=180mm,E=1.0×104MPa。
试求梁的横截面上的最大正应力及其作用点的位置,并求梁的最大挠度。
如果
截面为圆形,d=13Omm,试求梁的横截面上的最大正应力。
图10.7
[解]P1,P2单独作用在梁上时,所引起的最大弯矩
MyP1l21.63.2kNm
MZ1P210.80.8kNm
都在梁固定端,截面上1、2两点是危险点
MyMZ14.82MPa(1点为拉应力,2点为压应力)WyWZ
梁的最大挠度在自由端,其值为
P2(3l)3P2(2l)2
3EI2EI
l5P2l3
248EI
1.5mm
所以最大挠度为
max
P1l
39mm
3EI
f2z39.03mm
如果截面为圆形:
WyWZD3
yZ32
max
10.3试分别求出图
22
MymaxMZmax
15.3MPa(发生在固定端截面上)
10.8示不等截面及等截面杆内的最大正应力,并作比较(图中尺寸
单位为mm)。
[解](a)
轴力N=P=350kN
MPe3500.0514.5kNm
50PP
max
WZ
11.67MPa
12A
b2hA
6
(b)NP8.75MPa.AA
10.4一伞形水塔,受力如图10.9,其中P为满水时的重力,Q为地震时引起的水平载荷
立柱的外径D=2m,壁厚t=0.5m,如材料的许用应力[σ]=8MPa,试校核其强度。
由Q引起的正应力
max
PMmax
AW
[解]水塔为压弯组合编形
max
Mmax
(最大值在固定端)
33
180010330010340
2
D2
D32
D3
1Dd4
17.068MPa
所以,不满足强度条件.
10.5起重机受力如图10.10,P1=3OkN,P2=22OkN,P3=6OkN,
它们的作用线离立柱中心线的距离分别为
1.Om,1.2m和1.6m,如立柱为实心钢柱,
材料许用应力[σ]=16OMPa,试设计其底部A--A处的直径。
[解]该杆为压弯组合变形
设底部A-A处直径D,柱底部所受的压应力有两部分
P1P2P3
A
3022060)103
d2
394.9103
d2
柱底部最大弯矩
MmaxP1l1P2l2P3l3468kNm
由此弯矩产生的最大压力
3
Mmax468103324769.43
23310
2Wd3d3
柱底部所受的压应力12160MPa
由于21,若只考虑弯矩的作用解得
d=31cm
取d=40cm
10.6上题中,若立柱为空心钢管,内外径之比d/D=0.9,试设计A-A处的直径。
[解]此题为压弯组合变形,将立柱在A-A处截开,合压力
FP1P2P33022060310kN
底部面积
D2d2)
0.15D
弯矩
D3
3214)
D(10.94)0.3439D
3232
FMZ
AWZ
F232MZ30.15D20.3439D3
[]16.103
解得
MZP110P21.2P31.630102201.2601.6468kNm
D43cm,d0.9D38cm
可取D45cm,d38cm
10.7三角形构架ABC,受力如图10.11
。
水平杆AB由18号工字钢制成
试求AB
杆的最大应力。
如产生力
图10.11
P的小车能在AB杆上移动,则又如何?
[解]AB杆产生压缩与弯曲组合变形
NBC
P1.5
21.5sin300
150kN
荷载移动到中点时弯矩最大,其值为MmaxNBCsin3001.5125kNm
MDN
cmaxD717.92MPa(截面的上边缘为压应力)
WZA
10.8上题中,若工字钢材料的许用应力[σ]=10O0MPa,试选择AB杆的截面尺寸。
[解]接上题cmaxNDMD,WZMD125cm3
cmaxAWZZ
32
选16号普通工字钢,WZ141cm3,A26.1cm2
强度校核:
cmax936.3MPa<
即选16号普通工字钢,WZ141cm3,A26.1cm2.
10.9图10.12示钻床,受力P=15kN,铸铁立柱的许用应力[σ]=35MPa,试计算立柱所需的直径d。
图10.12
[解]为拉弯组合变形,只考虑弯矩的作用解得
tmax
WZ
WZ
33
0.17103m3
3或32d
0.17103
解得
d12cm
取d=14cm
代入验算:
tmaxPMmax28.95MPa35MPaAWz
10.10砖砌烟囱,高H=30m,自重Q=200OkN,受水平风力q=2kN/m作用,如图10.13所示。
如烟囱底部截面的外径D=3m时,内径d=2m,求烟囱底部截面上的最大压应力。
图10.13
[解]由自重引起的压应力大小为
Q
0.509MPaA
烟囱底部截面上的弯距大小为
max
12ql2
5
9.0105Nm
maxAW0.92MPa
10.11如图10.14所示某厂房柱子,受到吊车竖直轮压力P=22OKN,屋架传给柱顶的水平力Q=8KN,以及风载荷q=1kN/m的作用,P力的作用线离底部柱的中心线的距离e=0.4m,柱子底部截面尺寸为1m×0.3m,试计算柱底部的危险点的应力。
图10.14
[解]分析知,危险截面在底部,危险点在右侧边缘.力的作用分为三部分,P的作用PeP
1c()(右侧边缘受压)
1cWA
Q作用下:
2t
Ql
W
(右侧边缘受拉)
在均布荷载的作用:
3t
qll/2
W
(右侧边缘受压)
危险点的应力为:
max
3t
10.11如图10.15,功率N=8.8kW的电动机轴以转速n=80Or/min旋转着,胶带传动轮的直径D=250mm,胶带轮重力G=70ON。
轴可看成长度L=120mm的悬臂梁,其许用应力
[σ]=100MPa。
试按最大切应力理论求直径d。
图10.15
[解]转子在水轮机部分产生的外力偶矩Nk3
Mn9.55k0.105103Nm
n
D
2TT2Mn
可解得:
T=840N
轴所受荷载分解x,y两个方向,其值为
o
pyG3Tsin452481.64N
py3Tcos4501781.64N
二者合力
ppx2py27y31.80.50k2NN
危险载的处最大弯矩
MmaxpL0.366kNm
由些弯矩产生的最大正压力
max
max
Wz
轴产生弯扭变形,由扭矩M产生的最大切应力
max
Mt
Wp
n
r3
2max42max
maxmax
用最大切应力理论
代入后得
M2Mt2
Wz
[]
Wz
d3
32
可解得d=157mm.
10.21如图10.16,电动机带动一胶带轮轴,轴直径d=40mrn,胶带轮直径D=30Omm,轮
重G=6OON。
若电动机功率N=14KW,转速n=980r/min,胶带紧边与松边拉力之比T/t=2,
轴的[σ]=12OMPa。
试按最大切应力理论校核轴的强度。
图10.16
[解]电动机所产生的扭距为
Mn9.55Nk136.43N·mn
=(T-t)D/2
令拉紧边拉力T,则松边拉力t=T/2,于是可解得
T=1819N,t=909N
危险截面处最大弯距
max
1PL
118199096000.8665.6Nm
max
max
Wz
105.98MPa
最大扭转切应力
maxMn52.99MPa,
maxWp
代入第三强度理论公式得
242149.88MPa120MPa
不符合要求.
10.22卷扬机轴为圆形截面,直径d=30mm,其它尺寸如图10.17示。
许用应力[σ]=80MPa,试求最大许可起重载荷P。
[解]支反力RARBP/2设C点在轴与轮交点处,外力距
TATR
TCPD/2
图10.17
轴跨中为危险截面
1
Mmaxpl0.2p
4
MtTCPD/20.09P
max
max
Wz
轴产生弯扭变形,由扭矩M产生的最大切应力
max
Mt
Mn
Wp
WP
WP2WZ
根据第三强度理论可得
图10.18
24280MPa
将数值代入可得,P≤945.5N
3
10.23一起重螺旋的载荷和尺寸如图10.18所示。
己知起重载荷W=40×103N,载荷的偏心距e=5mm。
若起重时推力P=32ON,力臂l=500mm,起重最大高度h=30Omm,螺纹根部直径d=40mm,螺杆的[σ]=10OMPa,试用最大切应力理论校螺杆强度。
提示:
校核时不计螺纹影响,螺杆可近似看作d=40mm的等截面圆杆。
[解]螺杆弯、压、扭组合变形,危险截面处的弯距
MmaxWe200Nm
MmaxW'
max31.7931.8563.64MPa(压力)
WA
危险截面处的扭距
MnPl160Nm
maxn12.73MPa
maxWp
用最大扭转切应力理论进行校核:
24268.54MPa<100MPa
满足要求.
10.24图10.19示钢制圈轴上有两个齿轮,齿轮C上作用着铅直切线力P1=5kN,齿轮D上作用着水平切线力P2=lOkN。
若[σ]=100MPa,齿轮C直径dc=30Omm,齿轮D直径dD=150mm。
试用第四强度理论求轴的直径。
图10.19
[解]支座反力RBP1150,RA
600
P1450
600
W
由第四强度理论
WZ
M20.75M
2n
上式中的MnP1dc0.75kNm
2
Mymax1.125kNm
MZ0.19kNm,M1.14kNm
100106
d31.1420.750.75213.1210632
解得
d51.1mm
10.25如图10.20所示电动机功率N=6kW,转速n=1430r/min,胶带水平张力T=1kN,
电动机轴和电枢重G=94N,单边磁拉力Pb=60ON(铅直平面),轴材料为30号
钢,[σ]=74MPa。
试按第三强度理论校核轴的强度。
[解]计算简图如10.21示,由分析得,外力矩
T9.55Nk9.5561040Nm
n1430
剪应力为:
T40D3/164016/3.140.02839.26MPaWp
C截面有:
M5732326.5MPa
Wz3.140.0283
按第三强度理论
图10.21
24226.4249.3232.25MPa74MPa
10.26有一术质拉杆如图10.22所示,截面原为边长a的正方形,拉力P与杆轴重合。
后因使用上的需要,在杆的某一段范围内开
a/2宽的切口。
试求m-m截面上的最大拉应
力。
这个最大拉应力是截面削弱以前的拉应力值的几倍。
图10.22
[解]未削弱之前,拉应力为
PP
Aa2
削弱之后竖向下力P产生的弯矩
M
Pa4
由P引起的拉应力
2P
2
a
由弯矩引起的最大拉应力
P
a
''M
WZ
46P
1
22a2a2
a
6
2
所以
8P
max
2
a
max8(倍)
10.27受拉构件形状如图10.23所示,已知截面尺才为40mm×5mm,通过轴线的拉力
P=12kN。
现拉杆开有切口,如不计应力集中影响,当材料的[σ]=10OMPa时,试确定切口的容
许最大深度,并绘出切口截面的应力变化图。
图10.23
[解]设槽深为x
PM
tmax
'
A'WZ
MPx/2
A'(hx)b
b2
WZ(hx)2
Z6
由得x5.2103m
10.28一圆截面直杆受偏心拉力作用,其偏心距e=20mm,杆的直径为70mm,容许拉
应力[σ]=120MPa,试求此杆容许承受的偏心拉力。
[解]分析有
PeP
WA
即:
P0.023P2120106
1/320.0731/40.072
计算可得偏心拉力为:
P=140.5kN.
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