21 二次函数含答案Word文档格式.docx
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【例1】判断下列函数哪些是二次函数:
(1)y=-2x2;
(2)y=
;
(3)y=x(2-x);
(4)y=(x+2)2-(x+2)(x-1).
【分析】如果是二次函数,那么化简后的函数解析式右边是关于自变量(降幂排列)的二次式,
(2)式右边不是整式;
(4)式右边化简后是一次式.
【解】
(1)是二次函数;
(2)不是二次函数;
(3)由原式得y=-x2+2x,是二次函数;
(4)由原式得y=3x+6,不是二次函数.
【绿色通道】判定一个函数是不是二次函数,先把这个解析式展开成一般式,再看这个式子是不是整式,如果是整式,则看自变量的最高次数是否为2.
【变式训练】
1.下列函数中(x,t为自变量),哪些是二次函数?
如果是二次函数,请指出二次项、一次项系数及常数项.
(1)y=
+3x2;
(2)y=(x-3)(4-2x)+2x2;
(3)s=
t2+t+1;
(4)y=x2-3
-7.
【分析】根据二次函数的定义进行判断,次项、一次项系数及常数项注意不要漏掉负号.
(1)y=3x2
,是二次函数,二次项系数是3,一次项系数是0,常数项是
(2)由原式得y=10x-12,不是二次函数;
(3)是二次函数,二次项系数是
,一次项系数是1,常数项是1;
(4)不是二次函数.
【例2】如图,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD,设AB边长为x米,求菜园的面积y(单位:
米
)与x(单位:
米)的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).
【分析】先用含x的代数式表示矩形的另一边长AD,再根据矩形面积公式得到函数关系式.
【解】∵篱笆的长为30米,AB边长为x米,∴另一边AD长为
米.
∴y=x·
=
.
【绿色通道】解决此类问题的关键是找出题目中的等量关系,而等量关系常见的有周长、面积、线段长等.
2.求例2中自变量x的取值范围.
【分析】根据每条边的长都大于零来列出自变量满足的不等式组,解这个不等式组即可求出自变量的取值范围.
【解】由题意,得
,解得0<
x<
30,即自变量x的取值范围是0<
30.
3.
如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=12,E是AB上一点,F是BC上一点,且BF=2BE,若设BE=x,△DEF的面积为S.求S关于x的函数关系,并求自变量x的取值范围.
【分析】先用x的代数式表示AE、BF、CF的长,再利用△DEF的面积等于矩形面积依次减去△ADE、△BEF、△CDF的面积这一等量关系列出函数关系式.
【解】∵BE=x,∴AE=6-x,BF=2x,CF=12-2x.
∵S△DEF=S矩形ABCD-S△ADE-S△BEF-S△CDF,
∴S=12×
6-
×
12(6-x)-
·
x·
2x-
6(12-2x)=-x2+7x.
由题意,得
6,即自变量x的取值范围是0<
6.
【例3】已知二次函数y=x2+bx-c,当x=-1时,y=0;
当x=3时,y=0,求
(1)b、c的值;
(2)当x=-2时,函数的值.
【分析】本题二次函数解析式中有两个待定的系数b和c,因此,通常需要建立两个方程才能求出这两个系数.
(1)把x=-1,y=0;
x=3时,y=0分别代入函数解析式y=x2+bx-c,得
,解得
(2)二次函数的解析式为y=x2-2x-3,当x=-2时,y=5.
【绿色通道】利用待定系数法求二次函数的解析式,通过已知条件转化为通过解已学过的一元一次方程或二元一次方程,求得二次函数的系数.
4.已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=0时,y=-2;
当x=1时,y=0;
当x=2时,y=4,求二次函数的解析式.
【解】把x=0,y=-2;
x=1,y=0;
x=2时,y=4,分别代入函数解析式y=ax2+bx+c,得
,∴二次函数的解析式为y=x2+x-2.
【同步测控】
基础自测
1.下列函数中,是二次函数的是…………()
A.y=8x2+1B.y=8x+1
C.y=
D.y=
2.某工厂第一年的利润为20(万元),第三年的利润y(万元),与平均年增长率x之间的函数关系式是.
3.二次函数y=(-2x+1)2的二次项系数a,一次项系数b和常数项c,则b2-4ac=.
4.有一长方形纸片,长、宽分别为8cm和6cm,现在长宽上分别剪去宽为xcm(x<
6)的纸条(如图),则剩余部分(图中阴影部分)的面积y=.
5.二次函数y=x2+bx+3中,当x=3时,y=0,则b的值为.
6.使二次函数y=x2-5x-6的值为0的x的值是.
7.自由下落的物体的高度h(米)与下落的时间t(秒)的关系为h=4.9t2.现在有一铁球从离地面19.6米的高的建筑物的顶部作自由下落,到达地面需要的时间是秒.
8.已知正方形的周长是Ccm,面积是Scm2.
(1)求S与C之间的函数关系式;
(2)当S=1cm2时,求正方形的边长.
9.正方形的边长为1cm,假设边长增加xcm时,正方形的面积增加ycm2.
(1)请写出y与x之间的关系表达式;
(2)当正方形边长分别增加1cm,
cm,2cm时,正方形的面积增加多少?
10.在二次函数y=x2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x
-1
2
3
4
y
7
m
求m的值.
能力提升
1.若函数
是二次函数,那么m的值是………………………()
A.2B.-1或3C.3D.
2.y=(m2-2m-3)x2+(m-1)x+m2是关于x的二次函数要满足的条件是_______.
4.某商店将每件进价为8元的某种商品每件10元出售,一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件,将这种商品的售价降低x元时,则销售利润y=_________.
5.某工厂计划给一批长方体形状的产品涂上油漆,已知长方体的长和宽相等,高比长多0.5m.
(1)长方体的长和宽用x(m)表示,每个长方体所需涂漆的表面积为S(m2),求S关于x的函数关系式;
(2)如果每平方米所需油漆的费用是5(元),每个长方体所需涂漆费用为y(元),求y关于x的函数解析式.
6.心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:
分钟)之间满足函数关系y=-0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30),y的值越大,表示接受能力越强.
(1)若用10分钟提出概念,学生的接受能力y的值是多少?
(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念,那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?
通过计算来回答.
创新应用
7.某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙,建造如图所示的长方体水池,培育不同品种的鱼苗.他已备足可以修高为1.5m、长18m的墙的材料准备施工,设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm,即AD=EF=BC=xm.(不考虑墙的厚度).
(1)若想水池的总容积为36m3,x应等于多少?
(2)求水池的总容积V与x的函数关系式,并直接写出x的取值范围;
参考答案
1.下列函数中,是二次函数的是………………………………………………………()
A.y=8x2+1B.y=8x+1C.y=
A
y=20x2+40x+20
解析:
化为一般形式,得y=4x2-4x+1,a=4,b=-4,c=1.
阴影部分矩形的长为(8-x)cm,宽为(6-x)cm,根据矩形面积公式,y=(8-x)(6-x)=x2-14x+48.
x2-14x+48
-4
当y=0时,x2-5x-6=0,解这个方程便可求得x的值.
6或-1
解:
(1)S=
(2)当S=1时,由S=
,得1=
,解得C=4或C=-4(舍去).
∴C=4,此时,正方形边长为1cm.
分析:
增加后的正方形边长为(1+x)cm,面积为(1+x)2cm,再减去原正方形的面积即得y的值.
(1)y=(x+1)2=1=x2+2x.
(2)当x=1时,y=3;
当x=
时,y=3+2
当x=2时,y=8.
10.(长春市07)在二次函数y=x2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
选择表中的两对数据代入二次函数的解析式,求出b,c的值,得到二次函数的解析式,再将x=2代入,便可求出m的值.
把x=-1,y=2;
x=0时,y=-1分别代入函数解析式y=x2+bx+c,得
11.若函数
A.2B.-1或3C.3D.
根据二次函数的定义,x的次数m2-2m-1=2且二次项系数m2+m≠0,可解得m=3.
C
12.y=(m2-2m-3)x2+(m-1)x+m2是关于x的二次函数要满足的条件是_______.
二次函数的条件是二次项系数m2-2m-3≠0,可解得m≠3且m≠-1.
m≠3且m≠-1
13.某商店将每件进价为8元的某种商品每件10元出售,一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件,将这种商品的售价降低x元时,则销售利润y=_________.
降低x元时,该商品每件的利润为(10-8-x)元,此时销售量增加为(100+
)件,根据等量关系:
销售利润=每件的利润×
销售量,得y=(10-8-x)(100+
)=-100x2+100x+200.
-100x2+100x+200
14.一辆汽车的行驶距离S(m)关于行驶时间t(s)的函数解析式是S=9t+
t2,则汽车的速度为km/时,若汽车行驶的限速为60km/时的公路上,超速(填“有”或“否”).
(1)t=1s,S=9×
1+
12=9.5m,
=9.5m/s=34.2km/时;
(2)∵34.2km/时<
60km/时,∴汽车没有超速.
34.2km/时否
15.某工厂计划给一批长方体形状的产品涂上油漆,已知长方体的长和宽相等,高比长多0.5m.
(1)先将长方体的高用x的代数式表示,再根据长方体的表面积公式求得S关于x的函数关系式;
(2)由等量关系:
长方体所需涂漆费用=5×
长方体的表面积,求得y关于x的函数解析式.
(1)先将长方体的长和宽都为x(m),则高为(x+0.5)m,根据长方体的表面积公式,得S关于x的函数关系式为:
S=2x2+4x(x+0.5)=6x2+2x;
(2)由题意,得y=5S=5(6x2+2x)=30x2+10x.
16.心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:
本题实质是“已知自变量求函数值”的问题,再通过比较函数值的大小来求得接受能力的强弱.
(1)当x=10时,y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1×
102+2.6×
10+43=59.
(2)当x=8时,y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1×
82+2.6×
8+43=57.4,
∴用8分钟与用10分钟相比,学生的接受能力减弱了;
当x=15时,y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1×
152+2.6×
15+43=59.5,
∴用15分钟与用10分钟相比,学生的接受能力增强了.
17.某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙,建造如图所示的长方体水池,培育不同品种的鱼苗.他已备足可以修高为1.5m、长18m的墙的材料准备施工,设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm,即AD=EF=BC=xm.(不考虑墙的厚度).
根据长方体的体积=长×
宽×
高来列方程或函数关系式.
(1)1.5x(18-3x)=36,解得x1=2,x2=4.
(2)V=1.5x(18-3x)=-4.5x2+27x.
∵
,∴0<
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