第5章《平面直角坐标系》常考题集0952平面直角坐标系.docx
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第5章《平面直角坐标系》常考题集0952平面直角坐标系
第5章《平面直角坐标系》常考题
填空题
1.(2006•余姚市)点P(﹣1,3)关于原点对称的点的坐标是 _________ .
2.(2005•青海)已知点A(3,n)关于y轴对称的点的坐标为(﹣3,2),那么n的值为 _________ ,点A关于原点对称的点的坐标是 _________ .
3.在直角坐标系内,点P(2,3)关于原点的对称点坐标为 _________ .
4.已知a>0,那么点P(﹣a2﹣1,a+3)关于原点的对称点Q在第 _________ 象限.
5.点P(3,﹣2)关于原点中心对称的点的坐标是 _________ .
6.(2001•上海)点A(1,3)关于原点的对称点坐标是 _________ .
解答题
7.如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3.
(1)观察每次变换前后的三角形的变化规律,若将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是 _________ ,B4的坐标是 _________ ;
(2)若按第
(1)题找到的规律将△OAB进行n次变换,得到△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,推测An的坐标是 _________ ,Bn的坐标是 _________ .
8.(2005•绍兴)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,0),B(2,0).
(1)画出等腰三角形ABC(画一个即可);
(2)写出
(1)中画出的三角形ABC的顶点C的坐标.
19.如图:
在直角坐标系中,第一次将△AOB变换成△OA1B1,第二次将三角形变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2,变换成△OA3B3,已知A(1,3),A1(3,3),A2(5,3),A3(7,3);B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0).
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此变化规律再将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是 _________ ,B4的坐标是 _________ .
(2)若按
(1)找到的规律将△OAB进行了n次变换,得到△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点有何变化,找出规律,推测An的坐标是 _________ ,Bn的坐标是 _________ .
10.(2010•宣武区一模)请在所给网格中按下列要求操作:
(1)请在网格中建立平面直角坐标系,使A点坐标为(0,2),B点坐标为(﹣2,0);
(2)在x轴上画点C,使△ABC为等腰三角形,请画出所有符合条件的点C,并直接写出相应的C点坐标.
11.附加题:
请自己动手,建立平面直角坐标系,在坐标系中描出下列各点的位置:
A(﹣4,4),B(﹣2,2),C(3,﹣3),D(5,﹣5),E(﹣3,3),F(0,0)
你发现这些点有什么位置关系?
你能再找出类似的点吗?
(再写出三点即可)
12.在平面直角坐标系中,顺次连接(﹣2,1),(﹣2,﹣1),(2,﹣2),(2,3)各点,你会得到一个什么图形?
试求出该图形的面积.
13.如图所示是某台阶的一部分,如果点A的坐标为(0,0),B点的坐标为(1,1),
(1)请建立适当的直角坐标系,并写出C,D,E,F的坐标;
(2)说明B,C,D,E,F的坐标与点A的坐标比较有什么变化?
(3)如果该台阶有10级,你能得到该台阶的高度吗?
14.在平面直角坐标系内,已知点(1﹣2a,a﹣2)在第三象限的角平分线上,求a的值及点的坐标.
15.如图所示的直角坐标系中,四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(0,0)、B(9,0)、C(7,5)、D(2,7).求四边形ABCD的面积.
16.在平面直角坐标系内,A、B、C三点的坐标分别是A(5,0)、B(0,3)、C(5,3),O为坐标原点,点E在线段BC上,若△AEO为等腰三角形,求点E的坐标.(画出图象,不需要写计算过程)
17.如图,A(﹣1,0),C(1,4),点B在x轴上,且AB=3.
(1)求点B的坐标,并画出△ABC;
(2)求△ABC的面积.
18.已知坐标平面内的三个点A(1,3),B(3,1),O(0,0),求△ABO的面积.
19.写出如图中“小鱼”上所标各点的坐标并回答:
(1)点B、E的位置有什么特点;
(2)从点B与点E,点C与点D的位置看,它们的坐标有什么特点?
20.在平面直角坐标系中,已知点A(2a﹣b,﹣8)与点B(﹣2,a+3b)关于原点对称,求a、b的值.
第5章《平面直角坐标系》常考题集(09):
5.2平面直角坐标系
参考答案与试题解析
填空题
181.(2006•余姚市)点P(﹣1,3)关于原点对称的点的坐标是 (1,﹣3) .
考点:
关于原点对称的点的坐标.4435607
分析:
关于原点对称的点,横、纵坐标都互为相反数.
182.(2005•青海)已知点A(3,n)关于y轴对称的点的坐标为(﹣3,2),那么n的值为 2 ,点A关于原点对称的点的坐标是 (﹣3,﹣2) .
考点:
关于原点对称的点的坐标;关于x轴、y轴对称的点的坐标.4435607
分析:
平面直角坐标系中任意一点P(x,y),分别关于x轴的对称点的坐标是(x,﹣y),关于y轴的对称点的坐标是(﹣x,y),关于原点的对称点是(﹣x,﹣y).
183.在直角坐标系内,点P(2,3)关于原点的对称点坐标为 (﹣2,﹣3) .
184.已知a>0,那么点P(﹣a2﹣1,a+3)关于原点的对称点Q在第 四 象限.
185.点P(3,﹣2)关于原点中心对称的点的坐标是 (﹣3,2) .
186.(2001•上海)点A(1,3)关于原点的对称点坐标是 (﹣1,﹣3) .
点评:
解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:
(1)关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;
(2)关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;
(3)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.
解答题
187.如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3.
(1)观察每次变换前后的三角形的变化规律,若将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是 (16,3) ,B4的坐标是 (32,0) ;
(2)若按第
(1)题找到的规律将△OAB进行n次变换,得到△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,推测An的坐标是 (2n,3) ,Bn的坐标是 (2n+1,0) .
考点:
规律型:
图形的变化类;点的坐标.4435607
专题:
规律型.
分析:
根据图形写出点A系列的坐标与点B系列的坐标,根据具体数值找到规律即可.
解答:
解:
(1)因为A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3)…纵坐标不变为3,横坐标都和2有关,为2n,那么A4(16,3);
因为B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0)…纵坐标不变,为0,横坐标都和2有关为2n+1,那么B的坐标为B4(32,0);
(2)由上题规律可知An的纵坐标总为3,横坐标为2n,Bn的纵坐标总为0,横坐标为2n+1.
点评:
依次观察各点的横纵坐标,得到规律是解决本题的关键.
188.(2005•绍兴)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,0),B(2,0).
(1)画出等腰三角形ABC(画一个即可);
(2)写出
(1)中画出的三角形ABC的顶点C的坐标.
考点:
坐标与图形性质;等腰三角形的性质.4435607
分析:
(1)由题意可得,AB的中垂线是y轴,则在y轴上任取一点即可;
(2)根据所画情况而定,如(0,3)
解答:
解:
(1)如图;
(2)C(0,3)或(0,5)都可以(答案不唯一).
点评:
本题综合考查了图形的性质和坐标的性质及等腰三角形的性质;发现并利用AB的中垂线是y轴是正确解答本题的关键.
189.如图:
在直角坐标系中,第一次将△AOB变换成△OA1B1,第二次将三角形变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2,变换成△OA3B3,已知A(1,3),A1(3,3),A2(5,3),A3(7,3);B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0).
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此变化规律再将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是 (9,3) ,B4的坐标是 (32,0) .
(2)若按
(1)找到的规律将△OAB进行了n次变换,得到△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点有何变化,找出规律,推测An的坐标是 (2n+1,3) ,Bn的坐标是 (2n+1,0) .
考点:
坐标与图形性质.4435607
专题:
规律型.
分析:
对于A1,A2,An坐标找规律可将其写成竖列,比较从而发现An的横坐标为2n+1,而纵坐标都是3,同理B1,B2,Bn也一样找规律.
解答:
解:
(1)已知A(1,3),A1(3,3),A2(5,3),A3(7,3);
对于A1,A2,An坐标找规律比较从而发现An的横坐标为2n+1,而纵坐标都是3;
同理B1,B2,Bn也一样找规律,规律为Bn的横坐标为2n+1,纵坐标为0.
由上规律可知:
(1)A4的坐标是(9,3),B4的坐标是(32,0);
(2)An的坐标是(2n+1,3),Bn的坐标是(2n+1,0)
点评:
本题是观察坐标规律的问题,需要分别从横坐标,纵坐标两方面观察规律,写出答案.
190.(2010•宣武区一模)请在所给网格中按下列要求操作:
(1)请在网格中建立平面直角坐标系,使A点坐标为(0,2),B点坐标为(﹣2,0);
(2)在x轴上画点C,使△ABC为等腰三角形,请画出所有符合条件的点C,并直接写出相应的C点坐标.
考点:
坐标与图形性质;等腰三角形的性质.4435607
专题:
网格型.
分析:
(1)根据A点坐标为(0,2),B点坐标为(﹣2,0),则点A所在的纵线一定是y轴,B所在的横线一定是x轴.
(2)分AB时底边或腰两种情况进行讨论.
解答:
解:
(1)在网格中建立平面直角坐标系如图所示:
(2)满足条件的点有4个:
C1:
(2,0);C2:
(
,0);C3:
(0,0);C4:
(
,0).
点评:
本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形的性质;对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.
191.附加题:
请自己动手,建立平面直角坐标系,在坐标系中描出下列各点的位置:
A(﹣4,4),B(﹣2,2),C(3,﹣3),D(5,﹣5),E(﹣3,3),F(0,0)
你发现这些点有什么位置关系?
你能再找出类似的点吗?
(再写出三点即可)
考点:
坐标与图形性质.4435607
分析:
本题可根据“横纵坐标互为相反数,那么这些点在一条直线上”来解题.
解答:
解:
由上图所示,这些点在同一直线上,在二四象限的角平分线上.类似的点还有如:
(1,﹣1)、(﹣1,1)、(2,﹣2)等.
点评:
用的知识点为:
二四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数.
192.在平面直角坐标系中,顺次连接(﹣2,1),(﹣2,﹣1),(2,﹣2),(2,3)各点,你会得到一个什么图形?
试求出该图形的面积.
考点:
坐标与图形性质.4435607
分析:
本题需要根据点的坐标特点,分别描点、顺次连线,再观察整个图形的形状.
由于点(﹣2,1),(﹣2,﹣1)和点(2,﹣2),(2,3)的横坐标分别相同两点的连线都垂直于x轴,故图形是梯形,再根据梯形面积公式求面积.
解答:
解:
如图依次连接可得:
图形是梯形,面积为:
×(2+5)×4=14.
点评:
本题主要是对点的坐标的表示及正确描点、连线等知识的直接考查.同时考查了数形结合思想,题目的条件既有数又有形,解决问题的方法也要既依托数也依托形,体现了数形的紧密结合,但本题对学生能力的要求并不高.
193.如图所示是某台阶的一部分,如果点A的坐标为(0,0),B点的坐标为(1,1),
(1)请建立适当的直角坐标系,并写出C,D,E,F的坐标;
(2)说明B,C,D,E,F的坐标与点A的坐标比较有什么变化?
(3)如果该台阶有10级,你能得到该台阶的高度吗?
考点:
坐标与图形性质.4435607
分析:
从A(0,0)到B(1,1)可以看出,每一级台阶的横坐标、纵坐标都比前一个依次增加1,由此即可得解.
解答:
解:
(1)以A点为原点,水平方向为x轴,建立平面直角坐标系.
所以C,D,E,F各点的坐标分别为C(2,2),D(3,3),E(4,4),F(5,5).
(2)B,C,D,E,F的坐标与点A的坐标相比较,
横坐标与纵坐标分别加1,2,3,4,5;
(3)每级台阶高为1,宽也为1,
所以10级台阶的高度是10,长度为11.
点评:
本题也可以用坐标平移的观点来解,即向右平移1个单位,再向上平移1个单位,依此类推.
194.在平面直角坐标系内,已知点(1﹣2a,a﹣2)在第三象限的角平分线上,求a的值及点的坐标.
考点:
坐标与图形性质.4435607
分析:
根据第三象限角平分线上点的特点解答即可.
解答:
解:
∵点(1﹣2a,a﹣2)在第三象限的角平分线上,
∴1﹣2a=a﹣2,解得a=1,
故此点坐标为(﹣1,﹣1).
点评:
本题主要考查第三象限角平分线上点的特点:
点的横纵坐标相等.
195.如图所示的直角坐标系中,四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(0,0)、B(9,0)、C(7,5)、D(2,7).求四边形ABCD的面积.
考点:
坐标与图形性质.4435607
分析:
本题应利用分割法,把四边形分割成两个三角形加上一个梯形后再求面积.
解答:
解:
过D,C分别作DE,CF垂直于AB,E、F分别为垂足,则有:
S=S△OED+SEFCD+S△CFB=
×AE×DE+
×(CF+DE)×EF+
×FC×FB.
=
×2×7+
×(7+5)×5+
×2×5=42.
故四边形ABCD的面积为42平方单位.
点评:
主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用.要掌握两点间的距离公式和图形有机结合起来的解题方法.
196.在平面直角坐标系内,A、B、C三点的坐标分别是A(5,0)、B(0,3)、C(5,3),O为坐标原点,点E在线段BC上,若△AEO为等腰三角形,求点E的坐标.(画出图象,不需要写计算过程)
考点:
坐标与图形性质;等腰三角形的性质.4435607
专题:
作图题.
分析:
要根据题意描点画图,设计等腰三角形时,可以按A,O,E都有可能作为等腰三角形的顶点,分类画图,根据勾股定理计算点的坐标,注意点E在线段BC上这个限制条件.
解答:
解:
图形如下:
(1)若等腰△AEO以A为顶角所在的顶点,则E(1,3);
(2)若等腰△AEO以E为顶角所在的顶点,则E(2.5,3);
(3)若等腰△AEO以O为顶角所在的顶点,则E(4,3).
点评:
本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形的性质;在设计等腰三角形时,用到了分类思想,每次分类的标准只能有一个,或者按边,或者按角,本题是按顶角来分类的.
197.如图,A(﹣1,0),C(1,4),点B在x轴上,且AB=3.
(1)求点B的坐标,并画出△ABC;
(2)求△ABC的面积.
考点:
三角形的面积;坐标与图形性质.4435607
分析:
(1)由于点B在x轴上,所以纵坐标为0,又AB=3,所以B的坐标就可以确定了,根据坐标也就画出了图形;
(2)根据已知条件可以得到AB边上的高为4,然后利用三角形的面积公式就可以求出△ABC的面积.
解答:
解:
(1)∵点B在x轴上,∴纵坐标为0,又AB=3,∴B(2,0)或(﹣4,0);
(2)S△ABC=
=6.
点评:
此题主要考查了利用坐标求线段长,然后求三角形的面积.
198.已知坐标平面内的三个点A(1,3),B(3,1),O(0,0),求△ABO的面积.
考点:
三角形的面积;坐标与图形性质.4435607
分析:
过A,B分别作y轴,x轴的垂线,则三角形ABC的面积可以转化为梯形和三角形的面积的和差的问题解决.
解答:
解:
如图所示,
过A,B分别作y轴,x轴的垂线,垂足为C,E,两线交于点D,
则C(0,3),D(3,3),E(3,0).
又因为O(0,0),A(1,3),B(3,1),
所以OC=3,AC=1,OE=3,BE=1,
AD=DC﹣AC=3﹣1=2,
BD=DE﹣BE=3﹣1=2,
则四边形OCDE的面积为3×3=9,
△ACO和△BEO的面积都为
×3×1=
,
△ABD的面积为
×2×2=2,
所以△ABO的面积为9﹣2×
﹣2=4.
点评:
一些不规则图形可以转化为一些以求面积的图形的和或差来计算.
199.如图,在平面直角坐标系中,△AOB为等腰直角三角形,A(4,4)
(1)求B点坐标;
(2)若C为x轴正半轴上一动点,以AC为直角边作等腰直角△ACD,∠ACD=90°,连OD,求∠AOD的度数;
(3)过点A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半轴上一点,G在EF的延长线上,以EG为直角边作等腰Rt△EGH,过A作x轴垂线交EH于点M,连FM,等式
=1是否成立?
若成立,请证明:
若不成立,说明理由.
考点:
全等三角形的判定;坐标与图形性质;等腰三角形的性质.4435607
专题:
计算题;探究型.
分析:
(1)因为△AOB为等腰直角三角形,A(4,4),作AE⊥OB于E,则B点坐标可求;
(2)作AE⊥OB于E,DF⊥OB于F,求证△DFC≌△CEA,再根据等量变换,证明△AOB为等腰直角三角形,则∠AOD的度数可求;
(3)等式成立.在AM上截取AN=OF,连EN,易证△EAN≌△EOF,再根据角与角之间的关系,证明△NEM≌△FEM,则有AM﹣MF=OF,即可求证等式成立.
解答:
解:
(1)作AE⊥OB于E,
∵A(4,4),
∴OE=4,
∵△AOB为等腰直角三角形,且AE⊥OB,
∴OE=EB=4,
∴OB=8,
∴B(8,0);
(2)作AE⊥OB于E,DF⊥OB于F,
∵△ACD为等腰直角三角形,
∴AC=DC,∠ACD=90°
即∠ACF+∠DCF=90°,
∵∠FDC+∠DCF=90°,
∴∠ACF=∠FDC,
在△DFC和△CEA中,
∴△DFC≌△CEA,
∴EC=DF,FC=AE,
∵A(4,4),
∴AE=OE=4,
∴FC=OE,即OF+EF=CE+EF,
∴OF=CE,
∴OF=DF,
∴∠DOF=45°,
∵△AOB为等腰直角三角形,
∴∠AOB=45°,
∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°;
方法一:
过C作CK⊥x轴交OA的延长线于K,
则△OCK为等腰直角三角形,OC=CK,∠K=45°,
又∵△ACD为等腰Rt△,
∴∠ACK=90°﹣∠OCA=∠DCO,AC=DC,
∴△ACK≌△DCO(SAS),
∴∠DOC=∠K=45°,
∴∠AOD=∠AOB+∠DOC=90°;
(3)
成立,理由如下:
在AM上截取AN=OF,连EN.
∵A(4,4),
∴AE=OE=4,
又∵∠EAN=∠EOF=90°,AN=OF,
∴△EAN≌△EOF(SAS),
∴∠OEF=∠AEN,EF=EN,
又∵△EGH为等腰直角三角形,
∴∠GEH=45°,即∠OEF+∠OEM=45°,
∴∠AEN+∠OEM=45°
又∵∠AEO=90°,
∴∠NEM=45°=∠FEM,
又∵EM=EM,
∴△NEM≌△FEM(SAS),
∴MN=MF,
∴AM﹣MF=AM﹣MN=AN,
∴AM﹣MF=OF,
即
;
方法二:
在x轴的负半轴上截取ON=AM,连EN,MN,
则△EAM≌△EON(SAS),EN=EM,∠NEO=∠MEA,
即∠NEF+∠FEO=∠MEA,而∠MEA+∠MEO=90°,
∴∠NEF+∠FEO+∠MEO=90°,而∠FEO+∠MEO=45°,
∴∠NEF=45°=∠MEF,∴△NEF≌△MEF(SAS),∴NF=MF,
∴AM=OF=OF+NF=OF+MF,即
.
注:
本题第(3)问的原型:
已知正方形AEOP,∠GEH=45°,
将∠GEH的顶点E与正方形的顶点E重合,∠GEH的两边分别
交PO、AP的延长线于F、M,求证:
AM=MF+OF.
点评:
此题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质结合求解,综合性强,难度较大.考查学生综合运用数学知识的能力.
200.写出如图中“小鱼”上所标各点的坐标并回答:
(1)点B、E的位置有什么特点;
(2)从点B与点E,点C与点D的位置看,它们的坐标有什么特点?
考点:
关于x轴、y轴对称的点的坐标.4435607
专题:
几何图形问题.
分析:
根据图象可直观看出点B和点E在y轴上,且到x轴的距离都是2个单位长度所以它们关于x轴对称;点C与点D也是关于x轴对称,所以它们的横坐标相同纵坐标互为相反数.
解答:
解:
(1)点B(0,﹣2)和点E(0,2)关于x轴对称;
(2)点B(0,﹣2)与点E(0,2),点C(2,﹣1)与点D(2,1),它们的横坐标相同纵坐标互为相反数.
点评:
主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律.解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:
(1)关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;
(2)关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;
(3)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.
201.在平面直角坐标系中,已知点A(2a﹣b,﹣8)与点B(﹣2,a+3b)关于原点对称,求a、b的值.
解答:
解:
根据题意,得
,
解得
.
点评:
这一类题目是需要识记的基础题.解决的关键是对知识点的正确记忆.
这类题目一般可以转化为方程或方程组的问题,能够熟练运用消元法解方程组.
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- 关 键 词:
- 平面直角坐标系 平面 直角 坐标系 考题 0952
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