学年人教版八年级数学第一学期期中测试题及答案Word格式.docx
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,②∠APB=38°
,③∠D=24°
,④AB+BC>AP+PC
其中正确的结论共有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题(每题4分,共24分)
11.若点A(﹣4,2)与点B关于y轴对称,则点B的坐标为 .
12.如图,AB=DC,请补充一个条件:
使△ABC≌△DCB.(填其中一种即可)
13.如图,∠1= .
14.如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3= °
.
15.如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°
,PC∥OA,PD⊥OA于点D,PC=4,则PD= .
16.如图,在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过点O作MN∥BC,分别交AB、AC于点M,N.若AB=8,AC=10,则△AMN的周长是 .
三、解答题(共86分)
17.(10分)如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.
求证:
DC∥AB.
18.(10分)如图:
点B,E,C,F在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥DF.求证:
AB=DE,AC=DF.
19.(10分)如图,∠A=∠B,CE∥DA,CE交AB于E.求证:
△CEB是等腰三角形.
20.(10分)如图,电信部门要在S区修建一座发射塔.按照设计要求,发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条高速公路m和n的距离也必须相等,发射塔应建在什么位置?
在图上标出它的位置.(尺规作图)
21.(10分)如图,已知D为△ABC边BC延长线上一点,DF⊥AB于F交AC于E,∠A=35°
,∠D=42°
,求∠ACD的度数.
22.(12分)如图,AD∥BC,∠A=90°
,E是AB上的一点,且AD=BE,∠1=∠2.
(1)求证:
△ADE≌△BEC;
(2)若AD=6,AB=14,求△CDE的面积.
23.(12分)如图,△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中,已知A(﹣1,﹣1),B(4,﹣1),C(3,1).
(1)画出△ABC及关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)写出点A的对应点A1的坐标是 ,点B的对应点B1的坐标是 ,点C的对应点C1的坐标是 ;
(3)请直接写出以AB为边且与△ABC全等的三角形的第三个顶点(不与C重合)的坐标 .
24.(12分)在△ABC中,AB=AC,D是AB上一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E.
(1)如图1,求证:
DB=EC;
(2)现将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转一个角度,如图2,连接DB、EC.
①结论DB=EC是否仍然成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,请说明理由;
②延长BD交EC于点P(请自己在图2中画出图形并表明字母),若∠ACB=70°
,请求出∠BPC的度数.
参考答案与试题解析
【分析】根据轴对称图形的概念:
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
【解答】解:
A、是轴对称图形,故此选项正确;
B、不是轴对称图形,故此选项错误;
C、不是轴对称图形,故此选项错误;
D、不是轴对称图形,故此选项错误;
故选:
【点评】此题主要考查了轴对称图形,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
【分析】根据三角形的三边关系可得6﹣4<第三根小棒的长度<6+4,再解不等式可得答案.
设第三根小棒的长度为xcm,
由题意得:
6﹣4<x<6+4,
解得:
2<x<10,
C.
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系,关键是掌握三边关系定理:
三角形两边之和大于第三边.角形的两边差小于第三边.
【分析】利用邻补角先由多边形的每一个内角都等于108°
得到每一个外角都等于72°
,然后根据多边形的外角和等于360度可计算出边数.
∵一个多边形的每一个内角都等于108°
,
∴一个多边形的每一个外角都等于180°
﹣108°
=72°
∴多边形的边数=
=5.
B.
【点评】本题考查了多边形内角和定理:
(n﹣2)•180(n≥3)且n为整数);
多边形的外角和等于360度.
【分析】根据三角形全等的判定定理,有AAS、SSS、ASA、SAS四种.逐条验证即可.
A、∠M=∠N,符合ASA,能判定△ABM≌△CDN,故A选项不符合题意;
B、AM∥CN,得出∠MAB=∠NCD,符合AAS,能判定△ABM≌△CDN,故D选项不符合题意.
C、AB=CD,符合SAS,能判定△ABM≌△CDN,故B选项不符合题意;
D、根据条件AM=CN,MB=ND,∠MBA=∠NDC,不能判定△ABM≌△CDN,故C选项符合题意;
D.
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理,普通两个三角形全等共有四个定理,即AAS、ASA、SAS、SSS,直角三角形可用HL定理,本题是一道较为简单的题目.
【分析】先根据角角边证明△ABC与△CED全等,再根据全等三角形对应边相等,全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后,利用排除法求解.
∵AC⊥CD,
∴∠1+∠2=90°
∵∠B=90°
∴∠1+∠A=90°
∴∠A=∠2,
在△ABC和△CED中,
∴△ABC≌△CED(AAS),
故B、C选项正确;
∵∠2+∠D=90°
∴∠A+∠D=90°
故A选项正确;
∴∠ACD=90°
∠1+∠2=90°
故D选项错误.
【点评】本题主要考查全等三角形的性质,先证明三角形全等是解决本题的突破口,也是难点所在.做题时,要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证.
【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线,由线段垂直平分线的性质可得AD=BD,再根据△ADC的周长为10可得AC+BC=10,又由条件AB=8可得△ABC的周长.
∵在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于
AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.
∴MN是AB的垂直平分线,
∴AD=BD,
∵△ADC的周长为10,
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10,
∵AB=8,
∴△ABC的周长为:
AC+BC+AB=10+8=18.
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法.题目难度不大,解题时要注意数形结合思想的应用.
【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰,所以应该分两种情况进行分析.
当腰长为4cm时,4+4=8cm,不符合三角形三边关系,故舍去;
当腰长为8cm时,符合三边关系,其周长为8+8+4=20cm.
故该三角形的周长为20cm.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;
已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=AF,∠ADE=∠ADF.
如图,∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,
在Rt△ADE和Rt△ADF中,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),
∴AE=AF,∠ADE=∠ADF,
只有AB=AC时,BD=CD.
综上所述,结论错误的是BD=CD.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,熟记性质是解题的关键,作出图形更形象直观.
【分析】根据全等三角形的性质得出即可,根据全等得出∠ACB=∠DCE,都减去∠ACE即可.
∵△ABC≌△DEC,
∴∠ACB=∠DCE,CE=CB,
∴∠BCE=∠DCA=40°
∴∠B=∠CEB=
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用,注意:
全等三角形的对应角相等,对应边相等.
【分析】如图,在AC的延长线上截取CE=CB,连接PE.由AB=AC,推出∠ABC=∠ACB=76°
,由点P是△ABC内角和外角角平分线的交点,推出∠APB=
∠ACB=38°
,CD平分∠ACE,推出∠BCD=∠ECD=
(180°
﹣76°
)=52°
,推出∠D=∠ECD﹣∠CAB=52°
﹣28°
=24°
,故①②③正确,利用全等三角形的性质以及三角形的三边关系可以证明④错误;
如图,在AC的延长线上截取CE=CB,连接PE.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=76°
∵点P是△ABC内角和外角角平分线的交点,
∴∠APB=
,CD平分∠BCE,
∴∠BCD=∠ECD=
∴∠D=∠ECD﹣∠CAB=52°
故①②③正确,
PC=PC,∠PCE=∠PCB,CE=CB,
∴△PCE≌△PCB(SAS),
∴PE=PB,
∵AB=AC,AP=AP,∠PAC=∠PAB,
∴△PAC≌△PAB(SAS),
∴PC=PB=PE,
∴PA+PC=PA+PE>AC+CE,
∵AB=AC,BC=CE,
∴PA+PC>AB+BC,故④错误,
【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系,全等三角形的判定和性质,角平分线的定义等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
11.若点A(﹣4,2)与点B关于y轴对称,则点B的坐标为 (4,2) .
【分析】根据“关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数”解答.
∵点A(﹣4,2)与点B关于y轴对称,
∴点B的坐标为(4,2).
故答案为:
(4,2).
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好轴对称的点的坐标规律:
(1)关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;
(2)关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数.
AC=BD 使△ABC≌△DCB.(填其中一种即可)
【分析】由图形可知BC为公共边,则可再加一组边相等或一组角相等,可求得答案.
∵AB=CD,BC=CB,
∴可补充AC=BD,
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB(SSS),
AC=BD.
【点评】本题主要考查全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定方法是解题的关键,即SSS、SAS、ASA、AAS和HL.
13.如图,∠1= 70°
.
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,据此进行计算.
由三角形外角性质可得,130°
=∠1+60°
∴∠1=130°
﹣60°
=70°
70°
【点评】本题主要考查了三角形外角性质,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
14.如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3= 135 °
【分析】观察图形可知∠1与∠3互余,∠2是直角的一半,利用这些关系可解此题.
观察图形可知:
△ABC≌△BDE,
∴∠1=∠DBE,
又∵∠DBE+∠3=90°
∴∠1+∠3=90°
∵∠2=45°
∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°
+45°
=135°
故填135.
【点评】此题综合考查角平分线,余角,要注意∠1与∠3互余,∠2是直角的一半,特别是观察图形的能力.
,PC∥OA,PD⊥OA于点D,PC=4,则PD= 2 .
【分析】作PE⊥OB于E,根据角平分线的性质可得PE=PD,根据平行线的性质可得∠BCP=∠AOB=30°
,由直角三角形中30°
的角所对的直角边等于斜边的一半,可求得PE,即可求得PD.
作PE⊥OB于E,
∵∠BOP=∠AOP,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PE=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∵∠BOP=∠AOP=15°
∴∠AOB=30°
∵PC∥OA,
∴∠BCP=∠AOB=30°
∴在Rt△PCE中,PE=
PC=
×
4=2(在直角三角形中,30°
角所对的直角边等于斜边的一半),
∴PD=PE=2,
故答案是:
2.
【点评】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质,难度一般,作辅助线是关键.
16.如图,在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过点O作MN∥BC,分别交AB、AC于点M,N.若AB=8,AC=10,则△AMN的周长是 18 .
【分析】由已知条件根据平行线的性质、角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质;
可推出MO=MB,NO=NC.从而得到△AMN的周长,答案可得.
∵BO平分∠ABC,
∴∠ABO=∠OBC.
又∵MN∥BC,
∴∠MOB=∠OBC.
∴∠ABO=∠MOB.
∴MO=MB.
同理可得:
NO=NC.
∴△AMN的周长=AM+MN+AN
=AM+MO+ON+AN
=AM+MB+NC+AN
=AB+AC
=8+10
=18,
18.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质和平行线的性质;
进行有效的线段的等量代换是正确解答本题的关键.
【分析】由条件可证△AOB≌△COD,可求得∠A=∠C,则可证得DC∥AB.
【解答】证明:
在△ODC和△OBA中
∴△ODC≌△OBA(SAS);
∴∠C=∠A,
∴DC∥AB(内错角相等,两直线平行).
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质,掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(全等三角形的对应边相等、对应角相等)是解题的关键.
【分析】结合已知条件可由ASA得出△ABC≌△DEF,进而可得出结论.
∵FB=EC,
∴BC=EF,
又∵AB∥ED,AC∥DF,
∴∠B=∠E,∠ACB=∠DFE,
在△ABC与△DEF中,
∵
∴△ABC≌△DEF(ASA),
∴AB=DE,AC=DF.
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题,应熟练掌握.
【分析】由线的平行可得角相等,进行角的等量代换后再由两角相等确定等腰三角形.
∵CE∥DA,
∴∠A=∠CEB.
又∵∠A=∠B,
∴∠CEB=∠B.
∴CE=CB.
∴△CEB是等腰三角形.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及判定;
进行角的等量代换是正确解答本题的关键.
【分析】根据角平分线的性质:
角平分线上的点到角两边的距离相等;
线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可得答案.
作∠mon的角平分线,作AB的垂直平分线,得
∠mon的角平分线与AB的垂直平分线的交点C即为所求得点.
【点评】本题考查了作图,画出角平分线与线段的垂直平分线是解题关键.
【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答.
∵∠AFE=90°
∴∠AEF=90°
﹣∠A=90°
﹣35°
=55°
∴∠CED=∠AEF=55°
∴∠ACD=180°
﹣∠CED﹣∠D=180°
﹣55°
﹣42°
=83°
答:
∠ACD的度数为83°
【点评】三角形外角与内角的关系:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形内角和定理:
三角形的三个内角和为180°
【分析】
(1)根据已知可得到∠A=∠B=90°
,DE=CE,AD=BE从而利用HL判定两三角形全等;
(2)由三角形全等可得到对应角相等,对应边相等,由已知可推出∠DEC=90°
,由已知我们可求得BE、AE的长,再利用勾股定理求得ED的长,利用三角形面积公式解答即可.
【解答】.解:
(1)∵AD∥BC,∠A=90°
,∠1=∠2,
∴∠A=∠B=90°
,DE=CE.
∵AD=BE,
在Rt△ADE与Rt△BEC中
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)
(2)由△ADE≌△BEC得∠AED=∠BCE,AD=BE.
∴∠AED+∠BEC=∠BCE+∠BEC=90°
∴∠DEC=90°
又∵AD=6,AB=14,
∴BE=AD=6,AE=14﹣6=8.
∵∠1=∠2,
∴ED=EC=
∴△CDE的面积=
【点评】本题考查全等三角形,解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定,本题属于中等题型.
(2)写出点A的对应点A1的坐标是 (1,﹣1) ,点B的对应点B1的坐标是 (﹣4,﹣1) ,点C的对应点C1的坐标是 (﹣3,1) ;
(3)请直接写出以AB为边且与△ABC全等的三角形的第三个顶点(不与C重合)的坐标 (0,﹣3)或(0,1)或(3,﹣3) .
(1)根据各点坐标画出三角形即可,再根据轴对称的性质,画出三角形即可;
(2)根据△△A1B1C1各顶点的位置写出其坐标即可;
(3)根据以AB为公共边且与△ABC全等的三角形的第三个顶点的位置,写出其坐标即可.
(1)画图如图所示:
(2)由图可得,点A1的坐标是(1,﹣1),点B1的坐标是(﹣4,﹣1),点C1的坐标是(﹣3,1);
(3)∵AB为公共边,
∴与△ABC全等的三角形的第三个顶点的坐标为(0,﹣3),(0,1)或(3,﹣3).
【点评】本题主要考查了运用轴对称变换进行作图以及坐标确定位置的运用,解决问题的关键是掌握画一个图形的轴对称图形的方法,画图时先从确定一些特殊的对称点开始.
若不成立,请说明理
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