吴云周论文电八极子的理论研究Word格式.docx
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9.
3.电八极矩的应用
1.0
3.1求真空中小区域电荷分布体系所产生的电场
10
.15
17
4.结论
参考文献
18
作者:
学号:
06111002027
专业班级:
指导教师:
吉永林
大多数文献中,关于对电多极矩展开的讨论中,只考虑到电四极子,而对电八极子的讨论很少。
通过对电八极子的理论研究,并运用此理论来求解实际的物理问题。
关键词:
电势;
多极展开;
电多极矩;
电八极矩;
电场
Thestudyofthetheoryoftheelectricityoctupole
son
Candidate:
WuYun-zhouMajor:
physics
StudentNo.:
06111002027Advisor:
JIYong-lin.
Mostoftheliteratureontheelectricalmultipolemomentstostartdiscussion.
takingintoaccountonlytheelectricquadrupole,whiletheelectricoctupolerarelydiscussed.Thetheoreticalstudyoftheelectricoctupole,andtousethistheorytosolvepracticalphysicalproblems.
KeywordsPotential;
multipoleexpansion;
electricmultipolemoments;
telectricoctupolemoment;
electricfield
讨论电荷集中分布在一个小区域内的体系同外场的相互作用,可以归结为研究电多极子同外场的相互作用,无论是连续分布还是不连续分布都可以这样等效。
由于点电荷、偶极子和电四极子的结果在电动力学中已经有了详细的讨
论,而没有对电八极子进行详细的讨论,但电八极子的理论对研究光谱的超精细结构、核物理和高能物理的某些问题的研究有着不可忽略的重要意义⑴。
本
论文将重点讨论有关电八极矩的知识。
电多极子是客观存在的,可以用数学公式推到证明电多极子的客观存在性。
本篇文章是在学习了电动力学中电四极矩的基础上,运用类比的方法进行数学推到,得出电八极矩,并研究电八极矩的特点、独立分量和物理意义[3'
4]。
最后运用电八极矩来计算集中分布在一个小区域内的体系同外场的相互作用。
1.电八极矩的来源
图1:
小区域电荷分布图
如果要求真空中分布在一个小区域内的电荷体系在远处激发的电势时,无论电荷体系的分布是连续的还是不连续的都可以用多极矩法来求解。
根据文献[1,5],若电荷分布在有限的体积V内,这个体积的线度为I,若考查P点的电场,而P点和体积V内任一点的距离为r,且r»
1。
则P点的电势为:
(1)
—dV
4兀JX—X
其中:
体积分为真空中给定电荷密度P(x'
)的电荷分布区域,r为场点P到源点x’的距离。
X-xj=J(x-x巧+(y—yF+(z—z'
2,x点在区域V内是变量,因
在电荷区域V内取一点0作为坐标原点建立直角坐标系,如图1所示:
而,r=
为I«
r,所以X'
分量可以看作小区域内的三元参量。
设R为坐标原点0到场点P的距离,则有:
R=Jx2+y2+z2
把(X-x)的函数f(X-x)对X'
在x'
=0点附近展开可以得到下列式子。
叫R-送兹汕j
g21
WX^XjR
+」
2!
I
+(-1)n
n!
下面我们分别来看一看(
a第1项可以表示为:
1
f(X,y,z)=R
b、第2项可以表示为:
(x'
£
++z'
)f(X,y,z)
excycz
+上耳无Nxjx;
…xSdv
ijks纠図次k…冰SR」
f(X+心x,y+Ay,z+位)
/crr、
TFQ
Z一+Ay—+心z—f(x,y,z)+…氐丿
那么对X(x,y,z)的三元函数进行麦克劳林展开有:
f(x-x'
)=f(x-x:
y-y:
z-z'
)
1fCCE、
=f(x,y,z)Ix一和'
一+z'
—f(X,y,z)+…
1!
IExdy氏丿
/曙
*f\
■c■c,c1
X〒+y〒+z匸jf(x,y,z)+■■■
exdycz丿
/rrr<
■C.C.Cl
X+y中zIf(x,y,z)
Iexcycz丿
3)式中的每一项可以表示为怎样的式子。
rCr
..CCC
=(xex+ye^zez)'
(ex—+(?
y—+ez〒)f(x,y,z)excycz
R
C、第3项可以表示为:
err
c,,c.,c
X一+y—+z—
、法dyczJ
k法
f-2
.2C
r訂2
3
匹X'
x;
i,j
l2
尋2
芒1
&
i<
5XjR
f(x,y,z)
"
2
frff、
X,+y"
+z'
E
f(x,y,z)
怎怎r2r2\
M+紬盏y沁養22辺磊汽y,z)
d第4项可以表示为:
X—+y—+z—If(x,y,z)
、dxcy也丿
f宀3总用
=Xr+y—+z—+6xyz777777
I<
xcycz<
^<
ycz
^33J^3
+3x'
2z'
-^+3x'
y'
2—+3y・一^+3xz2—
內dx<
z&
点ycy<
zd^dz.
点3)
…2|f(x,y,z)
cycz丿
c31
+3x*2y
+3yz*2
:
艺kXXX次aCj&
kR
e第n式可以表示为:
(X•空+yg+zgnf(x,y,z)=gCXdycz
n!
i化,'
芈'
cxcxjcx^lcxsR
有n个
如果取
rR则有:
1-
=一-x
3!
11,
'
习丄+丄2Xyj
R2!
i,jyj
g3
点X网澈k
ppp
ZXXjXk-
i,j,k
丄丄屮
<
5x^2jR
1十•…-
k...“1
i,j,k:
:
sXXjXkXs氓点Xj&
k…点XsR
(4)
把(4)式带入
(1)式中可以得到电势的表达式为:
-„11L,,C1
—xW—+——送xixi+,
cXicXjR
2!
..」
i,j
+■R
-送XiX'
xk
3!
i,j,kcXidXjdXk
(1n
+牛送XiXxk…Xsl---ci
i,j,k・s7EXj&
j&
k…cxsR」
Q=IP(x'
)dV'
P=Vx'
P(x'
)dV
令:
Di,j=V3Xi'
Xjjp(x'
)dV'
Gi,j,k=VXi'
xjxkP(x'
Di,j,k・s=Vx/xjxkx;
P(xJdV'
再把(6)式代入(5)式,则电势的表达式可以简略地表示为:
护)
4gR
1Pd
即使真空中电荷系统分布不连续,只需要把积分改为求和一样可以推导出与(7)式同样的结果。
对于电势的表达式(7)式中的第1项:
Q
4兀e0R
(8)
其物理意义是:
分布在小区域内的电荷体系在电荷分布区域外产生的电势,在零级近似的情况下可看作是将带电体系电荷集中于坐标原点处产生的电势⑵
对于电势的表达式(7)式中的第2项:
4m0R4®
R3
(9)
这是电势的一级修正。
在(6)式中,P(x)是偶函数,x'
”P(x'
)为奇函数,对x'
)在对称区间
上积分为零。
只有电荷分布关于原点不对称,才有电偶极矩电势的修正项。
若电荷分布关于原点不对称,设X点上有一点电荷+Q,-X'
点上有一点电
荷-Q,由(6)式中第二项可得电偶极矩为:
(其中「为有负电荷到正电荷的矢径。
P=2Qx'
=QI
如图2所示为电偶极子,它产生的电势为:
若I«
R,则有:
11
r+s:
R--cosT,rs:
R+-cos^
2-2
111,AIzIc⑴
r+r_R2R3&
IR丿
图2:
电偶极子
因此电偶极子产生的电势是:
—.卫丄丄
4阻&
Rg0czR
此式与(9)式符合。
在讨论极性分子在远处的电场时,可以近似地看成电偶极子。
[5]
(10)
对于电势的表达式(
宀24二「
7)式中的第3项
占2
^x^Xj
这是电四极矩Di,j产生的电势。
如图3所示为电四极子。
易知D33=6pl,则它产生的电势为:
如3)=-^—丄送Gi,j,k一-—-4兀名03!
i,j,kcxicxjcxkR
S1c1丄1c1
w止—p+P
4兀名0辽r+4兀5czr_
11、
lr+「_丿
111C21
——D332
色R4兀S6czR
此式与(10)式符合。
电四极子在空间中所激发的电势。
1c
P--
cz
A亠
1.C
比pl—r
4隔「
对于电势的表达式(7)式中的第4项
03)_11G兰丄
一市G333gR
4n0MzR
(12)
研究电八极矩,我们可以将电八极子放在同一坐标轴上来研究。
以
例,在z轴上放上两对正电荷和两对负电荷组成的体系,可以看作是一对电八极子+p和-p组成,如图4所示。
设相邻两个电荷之间的距离均为I,它的电八极矩可由电八极矩的第一种定义式计算出来。
如下:
G333为
G333=Q
77|t_f5|tf3|K
LV2丿丿丿m^iLl2丿l2丿l2丿和3昇7|〕3]l2丿l2丿」
=48QI3
■Q
丄.
图4:
电八极子
由(11)式可以计算出z轴上的电八极子在
P点所产生的电势为:
半(3)_11Gg31
4n3!
333CZ3R
=-8QI3"
31
4n0cZR
又因为如图4中R»
l则可作一下近似:
cII
日走0乏02;
r^r+一-cos0;
「2走r+一-cos0;
r^r,
R--cos0
则有:
此结果与
(13)式的结果相同。
电八极子在空间所激发的电势。
综上所述:
集中在小区域内的电荷系统在远处所产生的电势可以等效于各电多极子在远处激发的电势的叠加[5]。
(14)
定义一个三阶张量G=(Xj'
Xj'
xkPU'
dV‘为电八极矩。
也可写为:
G,j,k=VxXj'
P(x》V'
电八极矩的第一种定义是直接从电势的多极展开式中提取出来的,他的每一个分量都有着各自不同的物理意义。
根据张量的性质:
右Gi'
j'
k=-Gj'
k'
j,则Gi,j,k为反对称张量。
又G123=G231=G312=—G213=—6321=—G132,所以电八极矩为反对称张量。
G333,G12^—G23^—G312=—G213=—G321=—G132,G112=G121=G211,G113=G131=G311
这里只有七个图像,又说电八极矩有十个分量,是不是电八极矩的第一定
22电八极矩的第二种定义
根据Gjk=Vx:
Xjjx;
P(x)dV'
有:
Giij=Giji=Gjii;
Giik=Giki=Gkii;
Gijj=Gjj=Gjji
Gjjk=Gjkj=Gkjj;
Gikk=Gkik=Gkki;
Gjkk=Gkjk=Gkkj
由第一种定义可知:
电八极矩有十个分量,但是只有七个分量是独立的。
现在我们来证明一下电八极矩只有七个独立分量:
证明:
当RHO时,有:
因此下式也成立:
则W(3)仍就可以写为:
(18)
芒1
点x6Xj€xkR
根据张量的第二定义有:
可见电八极矩实际上只有七个独立分量。
由于G11k+G22k+G33k=0,使电八极矩的分量的数目在第一种定义的基础上减少了三个,但G111,G222,G333分量没有了电八极矩第一种定义中的明显的物理意义⑹。
以后我们将沿用电八极矩的第二种定义:
Xi'
xk-^xkr乜ijV(x'
3/
电八极矩的第二种定义是在考虑到■^2;
=O(RHO)成立的特点来定义的。
多极矩才与原点的选择无关,而更高的电多极矩有赖于原点位置的选择[9]0
此式表示圆线圈在P点所产生的电势可以近似地等效为电荷集中在坐标原
点0处的带电体在空间P处所激发的电势。
根据(9)式有:
(21)
以有P=Jxdq=0成立。
因此有:
图7:
带电圆线圈在x-0-y
平面的偶极矩分布图
根据(10)式有:
(23)
=1D■可可1
24兀®
R
式中D=iJp'
j)dq是电四极矩的第二定义,是一个二阶张量。
又++k—
x1<
x2cx3
那么(5)式、(6)式变为如下的形式:
2Di,j^^丄0i,j6x&
jR
Di,j=〔(SXi'
Xjj-r"
§
i,jdq
(24)
又由于T鳥
由此有下列关系式成立:
—rSq;
D22iJLGyy'
—r"
2dq*2dq;
D2^Di^^JL3xydq"
Qzydq
D11i((3xX,
Di,j=jD33=[(3zz'
—r
卩31:
=D1^=^JL3xzdq;
D23=D32
(25)
因为电荷只分布在x_o_y平面内,如
图8,下面在球坐标下分别求解电四极矩:
(提示:
Dii
D12
-q、
2旧
=[(3x'
2-r迄dq
2兀22I2
=NaT(3acos-adq
、3严+cos2<
t>
、1
0机一丿-1fq
.3qa
=扎J!
a=
=02—=J3xy'
dq
2兀33
=入af3r'
cos^sin©
dA=-入a
02
图8:
电荷分布在x-o-y平面内
2兀
TdU小0哟2JO
D33=也—r"
2dq=
L
2JI
从「a3d*=-入a沖
2兀=一2兀几a3=-qa2
因为电荷只分布在(X-0-y)平面那么z=0;
所以有D13=D31=D23=D32=O。
将上面的各个电四极矩代入到(7)式中就可以得到如下的表达式:
『2)1
又因为:
21
送Di.
24兀^0i,jr次纠R
芒口仏二⑴+D
24兀坯ID11ix2g丿'
D2217IRj'
D33
(26)
i(x2+y2+z2产卜日—x(x2+y2+z2鬥
c_2
16^5Zcos®
根据(11)式有:
(30)
在(29)式中G,j,k=J(£
xk—Wxkrp'
j)P(x)dV'
3
又因为有:
(i=j)
(iHj)
G111—[(x3—1xr2)dq
G333=[(z*—3z^)dq
G113=斗(x*2z'
-^zL2)dq丄3
212
G223=[(目'
z'
——zL)dq
=[(yz^)dq
G222=4(y"
-―yr2)dq丄3
G112=[(x,2y'
—^yr^dq
G221=U(Xy*——Xr'
jdq
212
G331=T(xz*一)dq
G123
=G231=G312=G132=G321
=G213=;
L(yZ'
2-1yr'
2)dq
Gi31
Gi22
=G311=[(x*2z'
-1xr"
=G212=[(xy-3yr"
)dq
;
Gi21
Gi33
G233
=g323=:
L(yz"
=G211=:
[(x^yJ^xY"
2)dq3
=G313=t(xz"
2-1zr'
P/・2・1Ph2XI
呻yz--yr)dq
2
图9:
如图9所示:
电荷分布在x-o-y平面(z=0),那么在球坐标下求解电八极矩如下:
寫Z=0
二G311=G131=G233=G333=G123=G231=G312=G132=G321
271
=00
=G213=G133=G223=G232二G322=G133=G313=G323=0
Gzr=62“=[x"
2y'
dq=Aa40兀sin半cos2半d半=一1〉£
4cos3
2;
!
G331
=[(-1Xr"
2)dq=—1Aa4[」cos单d半=14cos半
333
=0
G332
門(-[yZ勺dq=-1'
L33
G221
=t(x'
y2-[xr"
2)dq=[兀入a4cos半sin2半d半=->
-a4sin3半
33
2122兀32
G12=q(x2y'
——yL)dq=[扎a(acos④sinQ—
又因为有如下的关系式:
/2.2
ex3R&
3(xy
+z2
c2r22—-x(x+yex[_
/2.2.2
=—-x(x+y+zex[_
3xR5+6xR3-15x3
35■
)2+3x2(x2+y2+z2)2
第14页共17页
c(c1、C(3y2—R
3xR2-15xy2
i2
c^\^dyRJ
R5
R7
同理可以得到如下的关系:
3yR2-15x2y
将上面的各个电八极矩代入(
29)
cp(3)
式有:
——-SGjk---
4兀呂03!
i,j,k点Xj(5Xj点XkR
由于电势的叠加性原理,均匀带电的微小圆环在远处激发的电势为:
cp=cp(0)
(1)
(2)+cp(3)q
qa2
=+———3(1一3cos2日)
4®
R16m0R
均匀带电圆线圈在远处所产生的电场强度为:
=E^Eq+E^
3(1—3cos28))
4%R16%R
42斗2
4P_^13qaR5(1—3cos2日)—qa3si门20£
4阳0R16兀E0R16兀名0R
qa
均匀带电圆线圈在空间产生的相互作用能为:
4兀%R16兀E0R3(^3C0S日)
以上这个例子是在实际中经常会遇到的电荷集中在一个小区域内带电体在
远处产生的电场。
如:
原子或原子核产生
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