考研数三真题及解析Word下载.docx
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丑2COS0-2sinQ
J0f(rcos日,rsin日ydr+J和日Jof(rcos日,rsi^dr
4
丑2si^2cos日
『d叫f(rcos日,rsin日「dr+£
d叫f(rco少,rsin日『dr
f(X,y)dy
1J2x_x2
(D)2.tdx;
Xf(x,y)dy
【解析】根据图可得,在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域
Di詔(r,8)0<
e
—,0<
r<
2sin日>
D2=4(r,0)—<
日<
一,0<
2cos9>
41142I
所以
故选B.
下列级数中发散的是
的比值判别法2牛收敛,所以选C.
心n
多解的充分必要条件为
由r(A)=r(A,b)<
3,故a=1或a=2,同时d=1或d=2.故选(d)
⑹—设二次型f(X,,X2,X3)在正交变换x=Py下的标准形为2y2+y2-y2,其中
P=(e1,e2,e3),若Q=@1,73,e?
)则f=(X1,X2,X3)在正交变换x=Qy下的标准形为
所以f=xtAx=yT(QTAQ)y=2y12-y;
+诟.选(A)
⑺若A,B为任意两个随机事件,则:
【解析】由于ABuA,ABuB,按概率的基本性质,我们有P(AB)<
P(A)且
P(A)+P(B)
P(AB)<
P(B),从而P(AB)<
JP(A)”P(B)<
_,选(C).
(8)设总体X~B(m,日),X1,X2,川,Xn为来自该总体的简单随机样本,X为样本均
值,则—X:
卜()
(C)(m—Hn—1胃(1-0)
n
D(X)=mT(1-0),从而Eg(Xj—X)2]=(n—1)E(S2)=m(n—1)日(1—日),选(B).
j
二、填空题:
9LI14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
又因为®
(1)=5,所以cp
(1)=J0f(t)dt+2f
(1)=5
故f
(1)=2
(0,0)=
(11)若函数z=z(x,y)由方程ex唯y*z+xyz=1确定,则dz
12
I答案】-3dx-3dy
【解析】当X=0,y=0时带入+xyz=1,得z=0.
对e心皿+xyz=1求微分,得
d(e"
皿+xyz)=e心用d(X+2y+3z)+d(xyz)
=eXty*Z(dx+2dy+3dz)+yzdx+xzdy+xydz=0
把x=0,y=0,z=0代入上式,得dx+2dy+3dz=0
(12)设函数y=y(x)是微分方程y"
+y'
-2y=0的解,且在x=0处取得极值3,则y(x)=
【答案】y(x)=rx+2ex
【解析】y"
+y'
—2y=0的特征方程为a2+a-2=0,特征根为几=-2,几=1,所
以该齐次微分方程的通解为y(x)=C1e2x+C2eX,因为y(x)可导,所以x=0为驻点,即
-2xI•x
+2e
y(0)=3,y'
(0)=0,所以G=1,C2=2,故y(x)=e
2
(13)设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1,B=A—A+E,其中E为3阶单位矩阵,则
【答案】21
【解析】A的所有特征值为2,-2,1.B的所有特征值为3,7,1.
所以|B|=3X7X1=21.
(14)设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0;
1,1;
0),则
P{XY—Y<
0}=
【答案】1
【解析】由题设知,X~N(1,1)Y~N(0,1),而且X、Y相互独立,从而
P{XY-YcO}=P{(X_1)Y<
0}=P{X-1>
0,YvO}+P{X-1<
0,Y>
0}
明、证明过程或演算步骤
(15)(本题满分10分)
设函数f(X)=X+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=c=kx3若f(x)与g(x)在xt0时是
等价无穷小,求a,b,k的值.
则有,
法二:
由已知可得得
2a
由分母xm3©
=0,得分子蝉仆一+网仏+恥咖=処(仆昕0,求得
C;
1
中、1+bsinx+bxcosx
于是1=lim竺=lim——2
Tg(x)T3kx2*
X+b(1+x)sinX+bx(1+x)cosx
-四3kx2(1+x)
x+b(1+x)sin<
+bx(1+x)cos:
=lim
^^0
3kx2
1+bsinX+b(1+x)cosx+b(1+x)cosx+bxcosx-bx(1+x)sinx
6kx
由分母lim6kx=0,得分子
li.II+bsinX+2b(1+x)cosx+bxcosx-bx(1+x)sinx]=|^(1+2bcosx)=0,求
得b=-1;
进一步,b值代入原式
1=limf(x^Tg(x)
111
1--sinx-(1+x)cosx——xcosx+-x(1+x)sinx
=lim——丄——2丄上—
T6kx
=lim
XT
111111
-^cosx-cosxto+x)sinx-2cosx+-xsinx+2(1+x)sinx+-xsinx+-x。
+x)cosx
6k
,求得k=-1
3
(16)(本题满分
计算二重积分
【解析】
10分)
JJx(x+y)dxdy,其中D={(x,y)x2+y2<
2,y>
x2}.
_2
45
JJx(x+y)dxdy=JJx2dxdy
DD
sx2dy
X
1-
=2fdxf
I・
=2『X2(J2-x2
'
0\
-x2)dx
=2J0x2C
x2dx-2
5
-22u^t
=脚2『厂
Psin2udu-2=--2
0545
Q为该商品的需求量,
(17)(本题满分10分)
为了实现利润的最大化,厂商需要对某商品确定其定价模型,设
P为价格,MC为边际成本,
n为需求弹性(口>
■0)•
(I)证明定价模型为P
(II)若该商品的成本函数为C(Q)=1600+Q2,需求函数为Q=40—P,试由(I)中
的定价模型确定此商品的价格
(I)略(II)P=30.
(I)由于利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=PQ-C(Q),两边对Q求导,得
匹十+Q竺—C(Q)=P+Q-dP-MC.dQdQdQ
故当P=MC时,利润最大.
型,得P-2(4^P1,从而解得P=30.
40—P
1
P
(18)(本题满分10分)
X0引,曲线y=f(x)在点
设函数f(x)在定义域I上的导数大于零,若对任意的
(X0,f(X0))处的切线与直线X=X0及x轴所围成区域的面积恒为4,且f02=,求f(x)表
【解析】曲线的切线方程为
达式.
y-'
UxoXfTxjXx-Xo),切线与x轴的交点为
X0
故面积为:
s=」一^4.
2f'
(Xo)
故f(X)满足的方程为f(X)=8f'
(X),此为可分离变量的微分方程,
解得f,又由于f(0)=2,带入可得C=-4,从而f(x2—8—tJx+ChJ4—X
(19)(本题满分10分)
(I)设函数u(x),v(x)可导,利用导数定义证明[u(x)v(x)]'
=『(x)v(x)+u(x)v'
(x);
(II)设函数U1(X),U2(X),川,Un(x)可导,f(X)=U1(X)U2(X)川Un(x),写出f(x)的
求导公式.
f'
(X)=[Ui(X)U2(X)川Un(x)]'
=Ui'
(X)U2(X)lilUn(X)+Ui(X)U2'
(X)lilUn(X)+il|+Ui(X)U2(X)|||u/(x)
=u(x)v'
(X)+u'
(x)v(x)
(II)由题意得
f(X)=[Ui(X)U2(X)川Un(x)]'
(X)U2(X)IHUn(X)+Ui(X)U2'
(X)IHUn(X)+il|+Ui(X)U2(X)l||Un\X)
(20)(本题满分
设矩阵A=
11分)fa
-1
,且A=O.
(I)求a的值;
(II)若矩阵X满足X-XA2
【答案】a=O,X=
<
12
-AX+AXA2=E,其中E为3阶单位矩阵,求X.
T丿
(I)A3=0=A=0=
a
=
1-a2
-a
=a=0=a=0
(II)由题意知
22
-XA-AX+AXA2=E=
(E-A)X(E-A)=E二
2二
X=(E-A2-A)
X(E-A2)_AX(E-A2
(E-A2「=[(E-A2)(E-A)『
)=E
=(E—A「
(0
E-A2-A=!
I-1
1、
2>
「0
1M
0〕
-1i\0
0、
1-1
1MD
T
1M1
2MD
b
r1
2M)
J
-1MI0
0"
f/l
-1M0
-1M1
T10
-2
1M0
-1M2
0憧
-1'
『1
0MB
-2、
TI0
0M1
1°
1l\2
-b
1憧
f3
—2
(21)(本题满分
"
-3、
-3
相似于矩阵B=
a丿
10
1丿
一1丿
分)
11
(I)求a,b的值;
(II)求可逆矩阵
使PdAP为对角矩阵.
【答案】a=4,b=5,P=
-r
(1)A~B=tr(A)=tr(B)=3+a=1+b+1
—3
A=
B=
0^
M
+
3」
=E+C
-12七、
C=
-12七
J-23,
J丿
C的特征值打=/2=0,打=4
(1
3)
匕1=(2,1,0)T;
上2=(-3,0,1)T
匕3=(-1,一1,1)^
A:
=0时(0E—C)x=0的基础解系为
=5时(4E—C)X=0的基础解系为
A的特征值Xa=1中花:
1,1,5
令P=(q,J&
3)』1
I
-1,
「1
V-
(22)(本题满分
11分)
[2「n2,x>
f(X)={,对X进行独立重复的观测,直到
10,
第2个大于3的观测值出现时停止,记丫为观测次数
设随机变量X
的概率密度为
x<
(I)求丫的概率分布;
(II)求E(Y).
17
I答案】⑴p{y呵=dMTj(nT)(8)2(8):
n=2,3,川;
(II)E(丫)=16.
(I)记p为观测值大于3的概率,则P=P(X>
3)=In2dx=1,
从而P{Y=n}=C:
」p(1-p)n-p=(n—1)(—)2(—)n-,n=2,3,|||为Y的概率分布;
88
(II)法一汾解法:
将随机变量Y分解成Y=M+N两个过程,其中M表示从1到n(nck)次试验观测值大
于3首次发生,N表示从n+1次到第k试验观测值大于3首次发生.
则M-Ge(n,p),NLGe(k-n,p)(注:
Ge表示几何分布)
直接计算
□c
记S1(X)=送n(n—1)x2—1<
1,则
n=2
2-4x+2x2=
设总体X的概率密度为f(xf)詔1-
(I)0=2X-1,X=丄2Xiny
所以日=min{Xi,X2,lil,Xn}为日的最大似然估计量.
=2J042sin2t2cos2tdt
24x2x2
所以S(x“S(x)-2S2(x)+S3(x2〒:
.二
从而E(丫)=S(7“16.
(23)(本题满分11分)
—日<X兰1
0'
X'
其中8为未知参数,
[0,其他’
X1,X2^|,Xn为来自该总体的简单随机样本
(I)求日的矩估计量;
(II)求0的最大似然估计量.
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